2026届湖北沙市中学高一数学第一学期期末综合测试模拟试题含解析.doc

2026届湖北沙市中学高一数学第一学期期末综合测试模拟试题
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知等边的边长为2，为内（包括三条边上）一点，则的最大值是
A.2 B.
C.0 D.
2．已知，则三者的大小关系是
A. B.
C. D.
3． “”是函数满足：对任意的，都有”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4．设，，，则a，b，c的大小关系为（）
A. B.
C. D.
5．在线段上任取一点，则此点坐标大于1的概率是（ ）
A. B.
C. D.
6．不等式的解集是（）
A.或 B.或
C. D.
7．经过点的直线到，两点的距离相等，则直线的方程为
A. B.
C.或 D.都不对
8．复利是一种计算利息的方法.即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息.某同学有压岁钱1000元，存入银行，年利率为2.25%；若放入微信零钱通或
者支付宝的余额宝，年利率可达4.01%.如果将这1000元选择合适方式存满5年，可以多获利息( )元.（参考数据：）
A.176 B.100
C.77 D.88
9．已知函数，若实数满足，则实数的取值范围是（）
A. B.
C. D.
10．已知函数，则函数的零点个数是　　
A.1 B.2
C.3 D.4
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．直线l过点P(－1,2)且到点A(2,3)和点B(－4,5)的距离相等，则直线l的方程为____________
12．函数且的图象恒过定点__________.
13．集合，，则__________.
14．已知，则______
15．定义在上的奇函数满足：对于任意有，若，则的值为__________.
16．已知甲、乙两组数据已整理成如图所示的茎叶图，则甲组数据的中位数是___________，乙组数据的25%分位数是___________

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数，对任意的，，都有，且当时，
（1）求证：是上的增函数；
（2）若，解不等式
18．如图所示，某市政府决定在以政府大楼O为中心，正北方向和正东方向的马路为边界的扇形地域内建造一个图书馆.为了充分利用这块土地，并考虑与周边环境协调，设计要求该图书馆底面矩形的四个顶点都要在边界上，图书馆的正面要朝市政府大楼.设扇形的半径OM＝R，∠MOP＝45°，OB与OM之间的夹角为θ.

（1）将图书馆底面矩形ABCD的面积S表示成θ的函数.
（2）若R＝45 m，求当θ为何值时，矩形ABCD的面积S最大？最大面积是多少？(取＝1.414)
19．已知函数（且）的图象过点
（1）求的值.
（2）若.
（i）求的定义域并判断其奇偶性；
（ii）求的单调递增区间.
20．已知定义域为的函数是奇函数.
(1) 求实数的值；
(2) 判断并用定义证明该函数在定义域上的单调性；
(3) 若方程在内有解，求实数的取值范围
21．已知全集，集合，.
（1）当时，求；
（2）若，且，求的取值范围.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】
建立如图所示的平面直角坐标系，则，设点P的坐标为，
则
故
令，则t表示内（包括三条边上）上的一点与点间的距离的平方．结合图形可得当点与点B或C重合时t可取得最大值，且最大值为，故的最大值为．选A
点睛：
通过建立坐标系，将问题转化为向量的坐标运算可使得本题的解答代数化，在得到向量数量积的表达式后，根据表达式的特征再利用数形结合的思路求解是解题的关键，借助图形的直观性可容易得到答案
2、A
【解析】因为<，所以,选A.
3、A
【解析】当时，在上递减，在递减，且在上递减，任意都有，充分性成立；若在上递减，在上递增，任意，都有，必要性不成立，“”是函数满足：对任意的，都有”的充分不必要条件，故选A.
4、A
【解析】根据指数函数和对数函数的单调性得出的范围，然后即可得出的大小关系.
【详解】由题意知，
，即，
，即，
，又，
即，∴
故选：A
5、B
【解析】设“所取点坐标大于1”为事件A，则满足A的区间为[1,3]
根据几何概率的计算公式可得，
故选B.
点睛：(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解
(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域
（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率
6、A
【解析】把不等式左边的二次三项式因式分解后求出二次不等式对应方程的两根，利用二次不等式的解法可求得结果
【详解】由，得，解得或
所以原不等式的解集为或
故选：A
7、C
【解析】当直线的斜率不存在时，直线显然满足题意；
当直线的斜率存在时，设直线的斜率为
则直线为，即
由到直线的距离等于到直线的距离得：
，
化简得：或（无解），解得
直线的方程为
综上，直线的方程为或
故选
8、B
【解析】由题意，某同学有压岁钱1000元，分别计算存入银行和放入微信零钱通或者支付宝的余额宝所得利息，即可得到答案
【详解】由题意，某同学有压岁钱1000元，存入银行，年利率为2.25%，若在银行存放5年，可得金额为元，即利息为元，若放入微信零钱通或者支付宝的余额宝时，利率可达4.01%，若存放5年，可得金额为元，即利息为元，所以将这1000元选择合适方式存满5年，可以多获利息元，故选B
【点睛】本题主要考查了等比数列的实际应用问题，其中解答中认真审题，准确理解题意，合理利用等比数列的通项公式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题
9、D
【解析】由题可得函数关于对称，且在上单调递增，在上单调递减，进而可得，即得.
【详解】∵函数，定义域为，
又，
所以函数关于对称，
当时，单调递增，故函数单调递增，
∴函数在上单调递增，在上单调递减，
由可得，，
解得，且.
故选：D.
10、A
【解析】设，则函数等价为，由，转化为，利用数形结合或者分段函数进行求解，即可得到答案
【详解】由题意，如图所示，设，则函数等价为，
由，得，
若，则，即，不满足条件
若，则，则，满足条件，
当时，令，解得（舍去）；
当时，令，解得，即是函数的零点，
所以函数的零点个数只有1个，
故选A

【点睛】本题主要考查了函数零点问题的应用，其中解答中利用换元法结合分段函数的表达式以及数形结合是解决本题的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于基础题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、x＋3y－5＝0或x＝－1
【解析】当直线l为x=﹣1时，满足条件，因此直线l方程可以为x=﹣1
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：y﹣2=k（x+1），化为：kx﹣y+k+2=0，
则，化为：3k﹣1=±（3k+3），解得k=﹣
∴直线l的方程为：y﹣2=﹣(x+1），化为：x+3y﹣5=0
综上可得：直线l的方程为：x+3y﹣5=0或x=﹣1
故答案为x+3y﹣5=0或x=﹣1
12、
【解析】令真数为，求出的值，再代入函数解析式，即可得出函数的图象所过定点的坐标.
【详解】令，得，且.
函数的图象过定点.
故答案为：.
13、
【解析】通过求二次函数的值域化简集合,再根据交集的概念运算可得答案.
【详解】因为,,
所以.
故答案为:
【点睛】本题考查了交集的运算,考查了求二次函数的值域,搞清楚集合中元素符号是解题关键,属于基础题.
14、
【解析】根据，利用诱导公式转化为可求得结果.
【详解】因为，
所以.
故答案为：.
【点睛】本题考查了利用诱导公式求值，解题关键是拆角：，属于基础题.
15、
【解析】由可得,则可化简,利用可得,由是在上的奇函数可得,由此
【详解】由题,因为,所以,由,则,
则,
因为,令,则,所以,
因为是在上的奇函数,所以,
所以,
故答案：0
【点睛】本题考查函数奇偶性、周期性的应用,考查由正切值求正、余弦值
16、 ①.45 ②.35
【解析】利用中位数的概念及百分位数的概念即得.
【详解】由题可知甲组数据共9个数，
所以甲组数据的中位数是45，
由茎叶图可知乙组数据共9个数，又，
所以乙组数据的25%分位数是35.
故答案为：45；35.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）证明见解析
（2）
【解析】（1）赋值法证明抽象函数单调性；（2）先根据，用辅助法求出，再利用第一问求出的函数单调性解不等式.
【小问1详解】
由可得：，令，，且，则，因为当时，，所以，，即，由于的任意性，故可证明是上的增函数；
【小问2详解】
令得：，因为，所以，故，由第一问得到是上的增函数，所以，解得：，故不等式解集为.
18、（1）S＝R2sin－R2，θ∈；（2）当θ＝时，矩形ABCD面积S最大，最大面积为838.35 m2.
【解析】（1）设OM与BC的交点为F，用表示出，，，从而可得面积的表达式；
（2）结合正弦函数的性质求得最大值
【详解】解：（1）由题意，可知点M为PQ的中点，所以OM⊥AD.
设OM与BC的交点为F，则BC＝2Rsin θ，OF＝Rcos θ，所以AB＝OF－AD＝Rcos θ－Rsin θ.
所以S＝AB·BC＝2Rsin θ(Rcos θ－Rsin θ)＝R2(2sin θcos θ－2sin2θ)＝R2(sin 2θ－1＋cos 2θ)＝R2sin－R2，θ∈.

（2）因为θ∈，所以2θ＋∈，
所以当2θ＋，即θ＝时，S有最大值.
Smax＝(－1)R2＝(－1)×452＝0.414×2 025＝838.35(m2).
故当θ＝时，矩形ABCD的面积S最大，最大面积为838.35 m2.
【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数的应用，解题关键是利用表示出矩形的边长，从而得矩形面积．利用三角函数恒等变换公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后结合正弦函数性质求得最大值
19、（1）；（2）（i）定义域为，是偶函数；（ii）.
【解析】（1）由可求得实数的值；
（2）（i）根据对数的真数大于零可得出关于实数的不等式，由此可解得函数的定义域，然后利用函数奇偶性的定义可证明函数为偶函数；
（ii）利用复合函数法可求得函数的增区间.
【详解】（1）由条件知，即，又且，所以；
（2）.
（i）由得，故的定义域为.
因为，故是偶函数；
（ii），
因为函数单调递增，函数在上单调递增，
故的单调递增区间为.
20、（1）1；（2）见解析；（3）[-1，3）.
【解析】(1)根据解得，再利用奇偶性的定义验证，即可求得实数的值；(2)先对分离常数后，判断出为递减函数，再利用单调性的定义作差证明即可；(3)先用函数的奇函数性质，再用减函数性质变形，然后分离参数可得，在内有解，令，只要.
【详解】（1）依题意得，，故，此时，
对任意均有，
所以是奇函数，所以.
（2）在上减函数，证明如下：任取，则

所以该函数在定义域上是减函数
（3）由函数为奇函数知，
，
又函数单调递减函数，从而，
即方程在内有解，
令，只要，
， 且，∴
∴当时，原方程在内有解
【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性以及函数值域的应用，属于难题.已知函数的奇偶性求参数，主要方法有两个，一是利用：（1）奇函数由恒成立求解，（2）偶函数由恒成立求解；二是利用特殊值：奇函数一般由求解，偶函数一般由求解，用特殊法求解参数后，一定要注意验证奇偶性.
21、（1）
（2）
【解析】（1）解出不等式，然后可得答案；
（2）由条件可得，，解出即可.
【小问1详解】
（1）由题意得：.
当时，，
所以，
.
【小问2详解】
因为，所以，即.
又，
所以，解得.
所以的取值范围.