2025-2026学年山西省长治市数学高一第一学期期末监测试题含解析.doc

2025-2026学年山西省长治市数学高一第一学期期末监测试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知，则的大小关系为
A. B.
C. D.
2．第24届冬季奥林匹克运动会，将于2022年2月4日～2月20日在北京和张家口联合举行．为了更好地安排志愿者工作，现需要了解每个志愿者掌握的外语情况，已知志愿者小明只会德、法、日、英四门外语中的一门．甲说，小明不会法语，也不会日语：乙说，小明会英语或法语；丙说，小明会德语．已知三人中只有一人说对了，由此可推断小明掌握的外语是（）
A.德语 B.法语
C.日语 D.英语
3．过点A（3，4）且与直线l：x﹣2y﹣1＝0垂直的直线的方程是
A.2x+y﹣10＝0 B.x+2y﹣11＝0
C.x﹣2y+5＝0 D.x﹣2y﹣5＝0
4．函数的定义域是
A.（-1，2] B.[-1,2]
C.（-1 ，2） D.[-1,2)
5．若函数在上的最大值为4，则的取值范围为（）
A. B.
C. D.
6．设，，则下面关系中正确的是（）
A B.
C. D.
7．采用系统抽样方法从人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为，分组后在第一组采用简单随机抽样方法抽到的号码为.抽到的人中，编号落入区间的人做问卷，编号落入区间的人做问卷，其余的人做问卷.则抽到的人中，做问卷的人数为
A. B.
C. D.
8．如图中,分别是正三棱柱(两底面为正三角形的直棱柱)的顶点或所在棱的中点，则表示直线是异面直线的图形有（）

A.①③ B.②③
C.②④ D.②③④
9．定义在上的奇函数以5为周期，若，则在内，的解的最少个数是
A.3 B.4
C.5 D.7
10．若不等式对一切恒成立，那么实数的取值范围是
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第________象限
12．已知函数，的图像在区间上恰有三个最低点，则的取值范围为________
13．已知函数，若，，则的取值范围是________
14．全集，集合，则______
15．设函数，则__________，方程的解为__________
16．已知函数，R的图象与轴无公共点，求实数的取值范围是_________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知，，
（）求及
（）若的最小值是，求的值
18．已知幂函数过点（2,4）
(1)求解析式
(2)不等式的解集为[1,2]，求不等式的解集.
19．已知函数.
（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；
（2）若当时，求的最大值和最小值及相应的取值.
20．已知函数.
（1）判断函数在上的单调性，并用定义证明；
（2）记函数，证明：函数在上有唯一零点.
21．已知以点为圆心的圆过点和，线段的垂直平分线交圆于点、，且,
（1）求直线的方程； （2）求圆的方程
（3）设点在圆上，试探究使的面积为 8 的点共有几个？证明你的结论
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】,且,, ,故选D.
2、B
【解析】根据题意，分“甲说对，乙、丙说错”、“乙说对，甲、丙说错”、“丙说对，甲、乙说错”三种情况进行分析，即可得到结果.
【详解】若甲说对，乙、丙说错：甲说对，小明不会法语也不会日语；乙说错，则小明不会英语也不会法语；丙说错，则小明不会德语，由此可知，小明四门外语都不会，不符合题意；
若乙说对，甲、丙说错：乙说对，则小明会英活或法语；甲说错，则小明会法语或日语；丙说错，小明不会德语；则小明会法语；
若丙说对，甲、乙说错：丙说对，则小明会德语；甲说错，到小明会法语或日语；乙说错，则小明不会英语也不会法语；则小明会德语或日语，不符合题意；综上，小明会法语.
故选：B.
3、A
【解析】依题意,设所求直线的一般式方程为,把点坐标代入求解,从而求出一般式方程.
【详解】设经过点且垂直于直线的直线的一般式方程为,
把点坐标代入可得:,解得,
所求直线方程为: .
故选:A
【点睛】本题考查了直线的方程、相互垂直的直线斜率之间的关系,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.
4、A
【解析】根据二次根式的性质求出函数的定义域即可
【详解】由题意得：
解得：﹣1＜x≤2，
故函数的定义域是（﹣1，2]，
故选A
【点睛】本题考查了求函数的定义域问题，考查二次根式的性质，是一道基础题．常见的求定义域的类型有：对数，要求真数大于0即可；偶次根式，要求被开方数大于等于0；分式，要求分母不等于0，零次幂，要求底数不为0;多项式要求每一部分的定义域取交集.
5、C
【解析】先分别探究函数与的单调性，再求的最大值.
【详解】因为在上单调递增，在上单调递增.
而，，
所以的取值范围为.
【点睛】本题主要考查分段函数的最值以及指数函数，对数函数的单调性，属于中档题.
6、D
【解析】根据元素与集合关系，集合与集合的关系判断即可得解.
【详解】解：因为，，
所以，.
故选：D.
7、C
【解析】从960人中用系统抽样方法抽取32人，则抽样距为k＝，
因为第一组号码为9，则第二组号码为9＋1×30＝39，…，
第n组号码为9＋(n－1)×30＝30n－21，由451≤30n－21≤750，
得，所以n＝16,17，…，25，共有25－16＋1＝10(人)
考点：系统抽样.
8、C
【解析】对于①③可证出，两条直线平行一定共面，即可判断直线与共面；
对于②④可证三点共面，但平面；三点共面，但平面，即可判断直线与异面.
【详解】由题意，可知题图①中，，因此直线与共面；
题图②中，三点共面，但平面，因此直线与异面；
题图③中，连接，则，因此直线与共面；
题图④中，连接，三点共面，但平面，
所以直线与异面.
故选C.
【点睛】本题主要考查异面直线的定义，属于基础题.
9、D
【解析】由函数的周期为5，可得f（x+5）=f（x），由于f（x）为奇函数，f（3）=0，若x∈（0，10），则可得出f（3）=f（-2）=-f（2）=0，即f（2）=0，∴f（8）=f（3）=0，∴f（7）=f（2）=0．在f（x+5）=f（x）中，令x=-2.5，可得f（2.5）=f（-2.5）=-f（2.5），∴f（2.5）=f（7.5）=0．再根据f（5）=f（0）=0，故在（0，10）上，y=f（x）的零点的个数是 2，2.5，3，5，7，7.5，8，共计7个.
故选D
点睛：本题是函数性质的综合应用，奇偶性周期性的结合，先从周期性入手，利用题目条件中的特殊点得出其它的零点，再结合奇偶性即可得出其它的零点.
10、D
【解析】由绝对值不等式解法，分类讨论去绝对值，再根据恒成立问题的解法即可求得a的取值范围
【详解】根据绝对不等式，分类讨论去绝对值，得

所以
所以
所以选D
【点睛】本题考查了绝对值不等式化简方法，恒成立问题的基本应用，属于基础题

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、二
【解析】由点P（tanα，cosα）在第三象限，得到tanα＜0，cosα＜0，从而得到α所在的象限
【详解】因为点P（tanα，cosα）在第三象限，所以tanα＜0，cosα＜0，
则角α的终边在第二象限，
故答案为二
点评：本题考查第三象限内的点的坐标的符号，以及三角函数在各个象限内的符号
12、
【解析】直接利用正弦型函数的性质的应用和函数的单调递区间的应用求出结果
【详解】解：，，

根据正弦型函数图象的特点知，轴左侧有1个或2个最低点
①若函数图象在轴左侧仅有1个最低点，则，
解得，
，，此时在轴左侧至少有2个最低点
函数图象在轴左侧仅有1个最低点不符合题意；
②若函数图象在轴左侧有2个最低点，则，解得，
又，则，
故，
时，在，恰有3个最低点
综上所述，
故答案：
13、
【解析】先利用已知条件，结合图象确定的取值范围，设，即得到是关于t的二次函数，再求二次函数的取值范围即可.
【详解】先作函数图象如下：

由图可知，若，，设，则，，
由知，；由知，；
故，，
故时，最小值为，时，最大值为，
故的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】本题解题关键是数形结合，通过图象判断的取值范围，才能分别找到与相等函数值t的关系，构建函数求值域来突破难点.
14、
【解析】直接利用补集的定义求解
【详解】因为全集，集合，
所以，
故答案为：
15、 ①.1 ②.4或-2
【解析】（1）∵，
∴
（2）当时，由可得，解得；
当时，由可得，解得或（舍去）
故方程的解为或
答案：1，或
16、
【解析】令＝t＞0，则g(t)＝>0对t＞0恒成立，即对t＞0恒成立，再由基本不等式求出的最大值即可.
【详解】，R，
令＝t＞0，则f(x)＝g(t)＝，
由题可知g(t)在t＞0时与横轴无公共点，
则对t＞0恒成立，
即对t＞0恒成立，
∵，当且仅当，即时，等号成立，
∴，
∴.
故答案为：.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）.
【解析】（1）利用平面向量的数量积公式、模长公式求解；
（2）将的值域，转化为关于的一元二次函数的值域，根据
【详解】(1)，
，

（2），,
，
，
当时，当且仅当时，取最小值，解得；
当时，当且仅当时，取最小值，解得（舍）；
当时，当且仅当时，取最小值，解得（舍去），
综上所述，.
【点睛】本题主要考查求平面向量的数量积，向量的模，以及由函数的最值求参数的问题，熟记平面向量数量积的坐标表示，向量模的坐标表示，以及三角函数的性质即可，属于常考题型.
18、（1）；（2）
【解析】（1）先设幂函数解析式为，再由函数过点（2,4），求出，即可得出结果；
(2)先由不等式的解集为[1,2]，求出，进而可求出结果.
【详解】（1）设幂函数解析式为
因为函数图像过点（2,4），所以
所以所求解析式为
(2) 不等式的解集为[1,2]，
的解集为，
和是方程的两个根，
， ，因此；
所以不等式可化，
即，解得,
所以原不等式的解集为.
【点睛】本题主要考查函数的解析式，以及一元二次不等式解法，属于基础题型.
19、（1）最小正周期为，
（2）最小值为-1，的值为，最大值为2，的值为
【解析】（1）利用周期公式可得最小正周期，由的单调递增区间可得的单调递增区间；
（2）由得，当，即时，函数取得最大值，当，即时，函数取得最小值可得答案.
【小问1详解】
函数的最小正周期为，
令因为的单调递增区间是，
由 ，
解得，
所以，函数的单调递增区间是.
【小问2详解】
令，因为，
所以，即，
当，即时，函数取得最大值，
因此的最大值为，此时自变量的值为；
当，即时，函数取得最小值，
因此的最小值为，此时自变量的值为.
20、（1）在上单调递增，证明见解析；
（2）证明见解析.
【解析】（1）根据题意，结合作差法，即可求证；
（2）根据题意，结合单调性与零点存在性定理，即可求证.
【小问1详解】
函数在上单调递增.
证明：任取，则，
因为，所以，所以，
即，因此，故函数在上单调递增.
【小问2详解】
证明：因为，，
所以由函数零点存在定理可知，函数在上有零点，
因为和都在上单调递增，
所以函数在上单调递增，
故函数在上有唯一零点.
21、（1）；（2） 或；（3）2
【解析】（1）根据直线是线段的垂直平分线的方程，求出线段中点坐标和直线的斜率，即可解直线的方程；
（2）作图，利用圆的几何性质即可；
（3）用面积公式可以推出点Q到直线AB的距离，从而判断出Q的个数.
【详解】由题意作图如下：

（1）∵，的中点坐标为
∴直线的方程为：即；
（2）设圆心，则由在上得……①
又直径为，∴∴……②
①代入②消去得，解得或，
当时，当时∴圆心或，
∴圆的方程为： 或；
（3）∵
∴当面积为 8 时，点到直线的距离为
又圆心到直线的距离为，圆的半径，
且
∴圆上共有两个点，使的面积为 8；
故答案为：， 或，2.