2025年广西壮族自治区南宁市第三中学数学高一上期末达标检测模拟试题含解析.doc

2025年广西壮族自治区南宁市第三中学数学高一上期末达标检测模拟试题
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．与2022°终边相同的角是（）
A. B.
C.222° D.142°
2．设两条直线方程分别为，，已知，是方程的两个实根，且，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是
A. B.
C. D.
3．关于函数有下述四个结论：
①是偶函数；②在区间单调递减；
③在有个零点；④的最大值为.
其中所有正确结论的编号是（ ）
A.①②④ B.②④
C.①④ D.①③
4．已知集合，,则（）
A. B.
C. D.
5．函数的定义域是（）
A.（-1，1） B.
C.（0，1） D.
6．下列函数中为奇函数的是（ ）
A. B.
C. D.
7．已知，若，则m的值为（ ）
A.1 B.
C.2 D.4
8．若，，，，则（ ）
A. B.
C. D.
9．已知，是第三象限角，则的值为（）
A. B.
C. D.
10．已知命题：角为第二或第三象限角，命题：，命题是命题的（）
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知关于x的不等式的解集为，则的解集为_________
12．已知命题：，都有是真命题，则实数取值范围是______
13．已知集合，，则________________.（结果用区间表示）
14．16/17世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，约翰纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数.后来天才数学家欧拉发现了对数与指数的关系，即.
现在已知， ，则__________.
15．若一个扇形的周长为，圆心角为2弧度，则该扇形的面积为__________
16．已知函数的图象上关于轴对称的点恰有9对,则实数的取值范围_________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．设全集为，，.
（1）当时，求；
（2）若，求的取值范围.
18．（1）计算
（2）已知角的终边过点，求角的三个三角函数值
19．阅读材料：我们研究了函数的单调性、奇偶性和周期性，但是这些还不能够准确地描述出函数的图象，例如函数和，虽然它们都是增函数，图象在上都是上升的，但是却有着显著的不同.如图1所示，函数的图象是向下凸的，在上任意取两个点，函数的图象总是在线段的下方，此时函数称为下凸函数；函数的图象是向上凸的，在上任意取两个点，函数的图象总是在线段的上方，则函数称为上凸函数.具有这样特征的函数通常称做凸函数.

定义1：设函数是定义在区间I上的连续函数，若，都有，则称为区间I上的下凸函数.如图2.下凸函数的形状特征：曲线上任意两点之间的部分位于线段的下方.定义2：设函数是定义在区间I上的连续函数，若，都有，则称为区间I上的上凸函数.如图3.上凸函数的形状特征：曲线上任意两点之间的部分位于线段的上方.上凸（下凸）函数与函数的定义域密切相关的.例如，函数在为上凸函数，在上为下凸函数.函数的奇偶性和周期性分别反映的是函数图象的对称性和循环往复，属于整体性质；而函数的单调性和凸性分别刻画的是函数图象的升降和弯曲方向，属于局部性质.关于函数性质的探索，对我们的启示是：在认识事物和研究问题时，只有从多角度、全方位加以考查，才能使认识和研究更加准确.结合阅读材料回答下面的问题：
（1）请尝试列举一个下凸函数：___________；
（2）求证：二次函数是上凸函数；
（3）已知函数，若对任意，恒有，尝试数形结合探究实数a的取值范围.
20．如果一个函数的值域与其定义域相同，则称该函数为“同域函数”.已知函数的定义域为且.
（Ⅰ）若，，求的定义域；
（Ⅱ）当时，若为“同域函数”，求实数的值；
（Ⅲ）若存在实数且，使得为“同域函数”，求实数的取值范围.
21．已知函数.
（1）求的定义域；
（2）讨论的单调性；
（3）求在区间[,2]上的值域.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】终边相同的角，相差360°的整数倍，据此即可求解.
【详解】∵2022°＝360°×5＋222°，∴与2022°终边相同的角是222°.
故选：C.
2、B
【解析】两条直线之间的距离为 ,选B
点睛:求函数最值，一般通过条件将函数转化为一元函数，根据定义域以及函数单调性确定函数最值
3、A
【解析】利用偶函数的定义可判断出命题①的正误；去绝对值，利用余弦函数的单调性可判断出命题②的正误；求出函数在区间上的零点个数，并利用偶函数的性质可判断出命题③的正误；由取最大值知，然后去绝对值，即可判断出命题④的正误.
【详解】对于命题①，函数的定义域为，且，则函数为偶函数，命题①为真命题；
对于命题②，当时，，则，此时，函数在区间上单调递减，命题②正确；
对于命题③，当时，，则，
当时，，则，
由偶函数的性质可知，当时，，则函数在上有无数个零点，命题③错误；
对于命题④，若函数取最大值时，，则，
，当时，函数取最大值，命题④正确.
因此，正确的命题序号为①②④.
故选A.
【点睛】本题考查与余弦函数基本性质相关的命题真假的判断，解题时要结合自变量的取值范围去绝对值，结合余弦函数的基本性质进行判断，考查推理能力，属于中等题.
4、A
【解析】由已知得，
因为，
所以，故选A
5、B
【解析】根据函数的特征，建立不等式求解即可.
【详解】要使有意义，则，所以函数的定义域是.
故选：B
6、D
【解析】利用奇函数的定义逐个分析判断
【详解】对于A，定义域为，因为，所以是偶函数，所以A错误，
对于B，定义域为，因为，且，所以是非奇非偶函数，所以B错误，
对于C，定义域为，因为定义域不关于原点对称，所以是非奇非偶函数，所以C错误，
对于D，定义域为，因为，所以是奇函数，所以D正确，
故选：D
7、B
【解析】依题意可得，列方程解出
【详解】解：，，
故选：
8、C
【解析】由于，所以先由已知条件求出，的值，从而可求出答案
【详解】，
因为，，
所以，，
因为，，
所以，，
则
故选：C
【点睛】此题考查同角三角函数的关系的应用，考查两角差的余弦公式的应用，考查计算能力，属于基础题.
9、A
【解析】利用同角三角函数的平方关系求出的值，然后利用两角差的余弦公式求出的值.
【详解】为第三象限角，所以，，
因此，.
故选：A.
【点睛】本题考查利用两角差的余弦公式求值，在利用同角三角函数基本关系求值时，要结合角的取值范围确定所求三角函数值的符号，考查计算能力，属于基础题.
10、D
【解析】利用切化弦判断充分性，根据第四象限的角判断必要性.
【详解】当角为第二象限角时，，
所以，
当角为第三象限角时，，
所以，
所以命题是命题的不充分条件.
当时，显然，当角可以为第四象限角，命题是命题的不必要条件.
所以命题是命题的既不充分也不必要条件.
故选：D

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、或
【解析】由已知条件知，结合根与系数关系可得，代入化简后求解，即可得出结论.
【详解】关于x的不等式的解集为，
可得，方程的两根为，
∴,
所以，代入得，
，即，
解得或.
故答案为: 或.
【点睛】本题考查一元二次不等式与一元二次方程的关系，以及解一元二次不等式，属于基础题.易错点是忽视对的符号的判断.
12、
【解析】由于，都有，所以，从而可求出实数的取值范围
【详解】解：因为命题：，都有是真命题，
所以，即，解得，
所以实数的取值范围为，
故答案为：
13、
【解析】先求出集合A，B，再根据交集的定义即可求出.
【详解】，，
.
故答案为：.
14、2
【解析】先根据要求将指数式转为对数式，作乘积运算时注意使用换底公式去计算.
【详解】∵，
∴，
∴
故答案为2
【点睛】底数不同的两个对数式进行运算时，有时可以利用换底公式：将其转化为同底数的对数式进行运算.
15、4
【解析】设出扇形的半径，求出扇形的弧长，利用周长公式，求出半径，然后求出扇形的面积
【详解】设扇形的半径为：R，所以2R+2R＝8，所以R＝2，扇形的弧长为：4，半径为2，
扇形的面积为：4（cm2）
故答案为4
【点睛】本题是基础题，考查扇形的面积公式的应用，考查计算能力
16、
【解析】求出函数关于轴对称的图像，利用数形结合可得到结论.
【详解】若，则，，设为关于轴对称的图像，画出的图像，

要使图像上有至少9个点关于轴对称，即与有至少9个交点，则，且满足
，即
则，解得，
故答案为
【点睛】解分段函数或两个函数对称性的题目时，可先将一个函数的对称图像求出，利用数形结合的方式得出参数的取值范围；遇到题目中指对函数时，需要讨论底数的范围，分别画出图像进行讨论.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）.
【解析】（1）由，得到，，再利用集合的补集和交集运算求解；
（2）易知，，根据，且求解.
【详解】（1）当时，，，
所以或，
则；
（2），，
因为，且，
所以，解得，
所以的取值范围是，
18、（1）；（2），，
【解析】（1）根据指数、对数运算性质求解即可.
（2）根据三角函数定义求解即可.
【详解】（1）
.
（2）由题知：，
所以，，
19、（1），；
（2）证明见解析；（3）.
【解析】（1）根据下凸函数的定义举例即可；
（2）利用上凸函数定义证明即可；
（3）根据（2）中结论，结合条件，函数满足上凸函数定义，根据数形结合求得参数取值范围.
【小问1详解】
，；
【小问2详解】
对于二次函数，，满足

，
即，满足上凸函数定义，二次函数是上凸函数.
【小问3详解】
由（2）知二次函数是上凸函数，
同理易得二次函数为下凸函数，
对于函数，其图像可以由两个二次函数的部分图像组成，如图所示，

若对任意，恒有，
则函数满足上凸函数定义，即，
即.
20、（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）.
【解析】（Ⅰ）当，时，解出不等式组即可；
（Ⅱ）当时，，分、两种情况讨论即可；
（Ⅲ）分、且、且三种情况讨论即可.
【详解】（Ⅰ）当，时，由题意知：，解得：.
∴的定义域为；
（Ⅱ）当时，，
（1）当，即时，的定义域为，值域为，
∴时，不是“同域函数”.
（2）当，即时，当且仅当时，为“同域函数”.
∴.
综上所述，的值为.
（Ⅲ）设的定义域为，值域为.
（1）当时，，此时，，，从而，
∴不是“同域函数”.
（2）当，即，
设，则的定义域.
①当，即时，的值域.
若为“同域函数”，则，
从而，，
又∵，∴的取值范围为.
②当，即时，的值域.
若为“同域函数”，则，
从而，
此时，由，可知不成立.
综上所述，的取值范围为
【点睛】关键点睛：解答本题的关键是理解清楚题意，能够分情况求出的定义域和值域.
21、（1）
（2）函数在上为减函数
（3）
【解析】（1）直接令真数大于0即可得解；
（2）由和，结合同增异减即可得解；
（3）直接利用（2）的单调性可直接得值域.
【小问1详解】
由，得，解得.
所以定义域为；
小问2详解】
由在上为增函数，且为减函数，
所以在上为减函数；
【小问3详解】
由（2）知函数单调递减，因为 ，，
所以在区间上的值域为.