北京海淀人大附2025年高一数学第一学期期末质量检测模拟试题含解析.doc

北京海淀人大附2025年高一数学第一学期期末质量检测模拟试题
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知函数，则下列说法正确的是（）
A.的最小正周期为 B.的图象关于直线
C.的一个零点为 D.在区间的最小值为1
2．已知函数在区间是减函数，则实数a的取值范围是
A. B.
C. D.
3．已知，则（）
A. B.
C.5 D.-5
4．若关于的不等式的解集为，则函数在区间上的最小值为（）
A. B.
C. D.
5．对于函数的图象，关于直线对称；关于点对称；可看作是把的图象向左平移个单位而得到；可看作是把的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的倍而得到以上叙述正确的个数是　　
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
6．函数的单调递增区间是（）
A. B.
C. D.
7．下列函数，其中既是偶函数又在区间上单调递减的函数为
A. B.
C. D.
8．已知函数，，的零点分别，，，则，，的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
9．已知函数是定义域上的递减函数，则实数a的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
10．已知角的终边与单位圆相交于点，则=（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．设偶函数的定义域为，函数在上为单调函数，则满足的所有的取值集合为______
12．直线与平行，则的值为_________.
13．调查某高中1000名学生的肥胖情况，得到的数据如表：

偏瘦
正常
肥胖
女生人数
88
175
y
男生人数
126
211
z
若，则肥胖学生中男生不少于女生的概率为_________
14．若f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=，若方程f（x）=kx恰有3个不同的根，则实数k的取值范围是______
15．请写出一个同时满足下列两个条件的函数：____________.
（1） ，若则（2）
16．已知，函数在上单调递增，则的取值范围是__
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数（，）的部分图象如图所示.

（1）求的解析式；
（2）若对任意，恒成立，求实数m的取值范围；
（3）求实数a和正整数n，使得（）在上恰有2021个零点.
18．已知1与2是三次函数的两个零点.
（1）求的值；
（2）求不等式的解集.
19．设函数.
（1）若在区间上的最大值为，求的取值范围；
（2）若在区间上有零点，求的最小值.
20．已知函数.
(1)解关于不等式；
(2)若对于任意，恒成立，求的取值范围.
21．设函数，其中.
（1）当时，求函数的零点；
（2）若，求函数的最大值.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】根据余弦函数的图象与性质判断其周期、对称轴、零点、最值即可.
【详解】函数，周期为，故A错误；
函数图像的对称轴为，，，
不是对称轴，故B错误；
函数的零点为，，，
所以不是零点，故C错误；
时，，所以，即，所以，故D正确.
故选：D
2、C
【解析】先由题意得到二次函数在区间是增函数，且在上恒成立；列出不等式组求解，即可得出结果.
【详解】因为函数在区间是减函数，
所以只需二次函数在区间是增函数，且在上恒成立；
所以有：，解得；
故选C
【点睛】本题主要考查由对数型复合函数的单调性求参数的问题，熟记对数函数与二次函数的性质即可，属于常考题型.
3、C
【解析】令，代入直接计算即可.
【详解】令，即，
则，
故选：C.
4、A
【解析】由题意可知，关于的二次方程的两根分别为、，求出、的值，然后利用二次函数的基本性质可求得在区间上的最小值.
【详解】由题意可知，关于的二次方程的两根分别为、，
则，解得，则，
故当时，函数取得最小值，即.
故选：A.
5、B
【解析】由判断；由判断；由的图象向左平移个单位，得到的图象判断；由的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的倍，得到函数的图象判断.
【详解】对于函数的图象，令，求得，不是最值，故不正确；
令，求得，可得的图象关于点对称，故正确；
把的图象向左平移个单位，得到的图象，故不正确；
把的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的倍，得到函数的图象，故正确，故选B
【点睛】本题通过对多个命题真假的判断，综合考查三角函数的对称性以及三角函数的图象的变换规律，属于中档题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.
6、C
【解析】根据诱导公式变性后，利用正弦函数的递减区间可得结果.
【详解】因为，
由，得，
所以函数的单调递增区间是.
故选：C
7、A
【解析】分别考查函数的奇偶性和函数的单调性即可求得最终结果.
【详解】逐一考查所给的函数的性质：
A.，函数为偶函数，在区间上单调递减；
B.，函数为非奇非偶函数，在区间上单调递增；
C.，函数为奇函数，在区间上单调递减；
D.，函数为偶函数，在区间上单调递增；
据此可得满足题意的函数只有A选项.
本题选择A选项.
【点睛】本题主要考查函数的单调性，函数的奇偶性等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
8、A
【解析】
判断出三个函数的单调性，可求出，，并判断，进而可得到答案
【详解】因为在上递增，当时，，所以；
因为在上递增，当时，恒成立，故的零点小于0，即；
因为在上递增，当时，，故，
故．
故选：A．
9、B
【解析】由指数函数的单调性知，即二次函数是开口向下的，利用二次函数的对称轴与1比较，再利用分段函数的单调性，可以构造一个关于a的不等式，解不等式即可得到实数a的取值范围
【详解】函数是定义域上的递减函数，
当时，为减函数，故；
当时，为减函数，由，得，开口向下，对称轴为，即，解得；
当时，由分段函数单调性知，，解得；
综上三个条件都满足，实数a的取值范围是
故选：B.
【点睛】易错点睛：本题考查分段函数单调性，函数单调性的性质，其中解答时易忽略函数在整个定义域上为减函数，则在分界点处（）时，前一段的函数值不小于后一段的函数值，考查学生的分析能力与运算能力，属于中档题.
10、C
【解析】先利用三角函数的定义求角的正、余弦，再利用二倍角公式计算即可.
【详解】角的终边与单位圆相交于点，故，
所以，
故.
故选：C.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】∵，
又函数在上为单调函数
∴=
∴，或
∴
∴满足的所有的取值集合为
故答案为
12、
【解析】根据两直线平行得出实数满足的等式与不等式，解出即可.
【详解】由于直线与平行，则，
解得.
故答案为：.
【点睛】本题考查利用两直线平行求参数，考查运算求解能力，属于基础题.
13、
【解析】先求得，然后利用列举法求得正确答案.
【详解】依题意，
依题意，
记，则所有可能取值为，
，
，共种，
其中肥胖学生中男生不少于女生的为，，，共种，
故所求的概率为.
故答案为：
14、 [-，-）∪（，]
【解析】利用周期与对称性得出f（x）的函数图象，根据交点个数列出不等式得出k的范围
【详解】∵当x＞2时，f（x）=f（x-1），∴f（x）在（1，+∞）上是周期为1的函数，作出y=f（x）的函数图象如下：

∵方程f（x）=kx恰有3个不同的根，∴y=f（x）与y=kx有三个交点，若k＞0，则若k＜0，由对称性可知.
故答案为[-，-）∪（，].
【点睛】本题考查了函数零点与函数图象的关系，函数周期与奇偶性的应用，方程根的问题常转化为函数图象的交点问题，属于中档题
15、，答案不唯一
【解析】由条件（1） ，若则.可知函数为R上增函数；
由条件（2）.可知函数可能为指数型函数.
【详解】令，
则为R上增函数，满足条件（1）.
又，
故
即成立.
故答案为：，（，等均满足题意）
16、
【解析】本题已知函数的单调区间，求参数的取值范围，难度中等．由，得，又函数在上单调递增，所以，即，注意到，即，所以取，得
考点：函数的图象与性质
【方法点晴】已知函数为单调递增函数，可得变量的取值范围，其必包含区间，从而可得参数的取值范围，本题还需挖掘参数的隐含范围，即函数在上单调递增，可知，因此，综合题

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）
（3）当时，；当时，
【解析】（1）根据图象的特点，通过的周期和便可得到的解析式；
（2）通过换元转化为一元二次不等式的恒成立问题，根据二次函数的特点得到，然后解出不等式即可；
（3）将函数的零点个数问题，转化为的图象与直线的交点个数问题，然后分析在一个周期内与的交点情况，根据的取值情况分类讨论即可
【小问1详解】
根据图象可知，且，的周期为：
解得：，此时，
，且
可得：
解得：
故
【小问2详解】
当时，
令，又恒成立
等价于在上恒成立
令，
则有：开口向上，且，只需即可满足题意
故实数m的取值范围是
【小问3详解】
由题意可得：的图象与直线在上恰有2021个零点
在上时，，分类讨论如下：
①当时，的图象与直线在上无交点；
②当时，的图象与直线在仅有一个交点，此时的图象与直线在上恰有2021个交点，则；
③当或时，的图象与直线在上恰有2个交点，的图象与直线在上有偶数个交点，不会有2021个交点；
④当时，的图象与直线在上恰有3个交点，此时才能使的图象与直线在上有2021个交点.
综上，当时，；当时，.
18、（1）；（2）
【解析】（1）根据函数零点的定义得，解方程即可得答案；
（2）由（1）得，进而根据二次函数性质解不等式即可.
【详解】解：（1）因为1与2是三次函数的两个零点
所以根据函数的零点的定义得：，解得：.
（2）由（1）得，
根据二次函数的性质得不等式的解集为：
所以不等式的解集为
19、（1）；（2）
【解析】⑴根据函数图象可得在区间上的最大值必是和其中较大者， 求解即可得到的取值范围；
⑵设方程的两根是，，由根与系数之间的关系转化为，对其化简原式大于或者等于，构造新函数，利用函数的最值来求解
解析：（1）因为图象是开口向上的抛物线，所以在区间上的最大值必是和中较大者，而，所以只要，即，得.
（2）设方程的两根是，，且，
则，
所以

，当且仅当时取等号.
设，
则，
由，得，因此，
所以，
此时，由知.
所以当且时，取得最小值.
点睛：本题考查了函数零点的判定定理，二次函数的性质以及解不等式，在求参量的最值时，利用根与系数之间的关系，转化为根的方程，运用函数的思想当取得对称轴时有最值，本题需要进行化归转化，难度较大
20、（1）当时，不等式的解集是
当时，不等式的解集是
当时不等式的解集是
（2）
【解析】（1）将不等式，转化成，分别讨论当时，
当时，当时，不等式的解集.
（2）将对任意，恒成立问题，转化为，恒成立，再利用均值不等式求的最小值，从而得到a的取值范围.
【详解】（1）因为不等式
所以
即
当时，解得
当时，解得
当时，解得
综上：当时，不等式的解集是
当时，不等式的解集是
当时不等式的解集是
（2）因为对于任意，恒成立
所以，恒成立
所以，恒成立
令
因为
当且仅当，即时取等号
所以
【点睛】本题主要考查了含参一元二次不等式的解法以及恒成立问题，还考查了转化化归的思想及运算求解的能力，属于中档题.
21、（1）1和
（2）答案见解析
【解析】（1）分段函数，在每一段上分别求解后检验
（2）根据对称轴与区间关系，分类讨论求解
【小问1详解】
当时，
当时，由得；
当时，由得（舍去）
当时，函数的零点为1和
【小问2详解】
①当时，，，
由二次函数的单调性可知在上单调递减

②当即时，，，
由二次函数的单调性可知在上单调递增

③当时，
在上递增，在上的最大值为
当时在递增，在上递减，
在上的最大值为
，当时
当时在上递增，
在上的最大值为
，当时
综上所述：
当时，
当时，
当时，
当时，