2025年河南濮阳建业国际学校数学高一第一学期期末学业水平测试模拟试题含解析.doc

2025年河南濮阳建业国际学校数学高一第一学期期末学业水平测试模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知函数的最小正周期，且是函数的一条对称轴，是函数的一个对称中心，则函数在上的取值范围是（）
A. B.
C. D.
2．函数的单调递减区间为　　
A. B.
C. D.
3．已知向量，满足，，且与夹角为，则（）
A. B.
C. D.
4．在正方体中，异面直线与所成的角为（）
A.30° B.45°
C.60° D.90°
5．函数与的图象在上的交点有（）
A.个 B.个
C.个 D.个
6．已知均为上连续不断的曲线，根据下表能判断方程有实数解的区间是（）
x

0
1
2
3

3.011
5.432
5.980
7.651

3.451
4.890
5.241
6.892
A. B.
C. D.
7．已知为所在平面内一点，，则（）
A. B.
C. D.
8．函数的图象大致是　　
A. B.
C. D.
9．已知条件，条件，则p是q的（）
A充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
10．已知是锐角，那么是（）
A.第一象限角 B.第二象限角
C.小于180°的正角 D.第一或第二象限角
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知是球上的点，,，,则球的表面积等于________________
12．设，，依次是方程，，的根，并且，则，，的大小关系是___
13．函数的定义域为_________________________
14．已知幂函数在上单调递减，则___________.
15．下列说法正确的序号是__________________.（写出所有正确的序号）
①正切函数在定义域内是增函数；
②已知函数的最小正周期为,将的图象向右平移个单位长度,所得图象关于轴对称,则的一个值可以是；
③若,则三点共线；④函数的最小值为；
⑤函数在上是增函数,则的取值范围是.
16．某超市对6个时间段内使用两种移动支付方式的次数用茎叶图作了统计，如图所示，使用支付方式的次数的极差为______；若使用支付方式的次数的中位数为17，则_______.
支付方式A

支付方式B
4 2
0
6 7
1 0
5 3
1
2
6 m 9
1

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．一种药在病人血液中的含量不低于2克时，它才能起到有效治疗的作用，已知每服用且克的药剂，药剂在血液中的含量（克）随着时间（小时）变化的函数关系式近似为，其中
（1）若病人一次服用9克的药剂，则有效治疗时间可达多少小时？
（2）若病人第一次服用6克的药剂，6个小时后再服用3m克的药剂，要使接下来的2小时中能够持续有效治疗，试求m的最小值
18．为推动治理交通拥堵、停车难等城市病，不断提升城市道路交通治理能力现代化水平，乐山市政府决定从2021年6月1日起实施“差别化停车收费”，收费标准讨论稿如下：A方案：首小时内3元，2-4小时为每小时1元(不足1小时按1小时计)，以后每半小时1元(不足半小时按半小时计)；单日最高收费不超过18元．B方案：每小时1.6元
（1）分别求两个方案中，停车费y(元)与停车时间(小时)之间的函数关系式；
（2）假如你的停车时间不超过4小时，方案A与方案B如何选择？并说明理由
(定义：大于或等于实数x的最小整数称为x的向上取整部分，记作，比如：，)
19．已知正方体，分别为和上的点，且，.

（1）求证：；
（2）求证：三条直线交于一点.
20．通过研究学生的学习行为，专家发现，学生的注意力随着老师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的兴趣激增，中间有一段时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散，设f（t）表示学生注意力随时间t（分钟）的变化规律（f（t）越大，表明学生注意力越集中）经过实验分析得知：
（1）讲课开始后第5分钟与讲课开始后第25分钟比较，何时学生的注意力更集中？
（2）讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中？能持续多少分钟？
（3）一道比较难的数学题，需要讲解25分钟，并且要求学生的注意力至少达到180，那么经过适当安排，老师能否在学生达到所需的状态下讲授完这道题目？
21．已知，.
（1）求；
（2）若，，求，并计算.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】依题意求出的解析式，再根据x的取值范围，求出的范围，再根据正弦函数的性质计算可得.
【详解】函数的最小正周期，
∴，解得：，
由于是函数的一条对称轴，且为的一个对称中心，
∴，（），则，（），则，
又∵，，由于，∴，故，
∵，∴，∴，∴.
故选：B
2、A
【解析】根据所给的二次函数的二次项系数大于零，得到二次函数的图象是一个开口向上的抛物线，根据对称轴，考查二次函数的变化区间，得到结果
【详解】解：函数的二次项的系数大于零，
抛物线的开口向上，
二次函数的对称轴是，
函数的单调递减区间是
故选A
【点睛】本题考查二次函数的性质，属于基础题
3、D
【解析】根据向量的运算性质展开可得，再代入向量的数量积公式即可得解.
【详解】根据向量运算性质，

，
故选：D
4、C
【解析】首先由可得是异面直线和所成角，再由为正三角形即可求解.
【详解】连接

因为为正方体，所以，
则是异面直线和所成角．又,
可得为等边三角形，则，所以异面直线与所成角为，
故选：C
【点睛】本题考查异面直线所成的角，利用平行构造三角形或平行四边形是关键，考查了空间想象能力和推理能力，属于中档题.
5、B
【解析】在上解出方程，得出方程解的个数即可.
详解】当时，解方程，得，整理得，
得或.
解方程，解得、、、或.
解方程，解得、、.
因此，方程在上的解有个.
故选B.
【点睛】本题考查正切函数与正弦函数图象的交点个数，可以利用图形法解决，也转化为方程根的个数来处理，考查计算能力，属于中等题.
6、C
【解析】根据函数零点的存在性定理可以求解.
【详解】由表可知，，，
令，则均为上连续不断的曲线，
所以在上连续不断的曲线，
所以，
，
；
所以函数有零点的区间为，
即方程有实数解的区间是.
故选：C.
7、A
【解析】根据平面向量的线性运算及平面向量基本定理即可得出答案.
【详解】解：因为为所在平面内一点，，
所以.
故选：A
8、A
【解析】利用函数的奇偶性排除选项B、C项，然后利用特殊值判断，即可得到答案
【详解】由题意，函数满足，
所以函数为偶函数，排除B、C，
又因为时，，此时，所以排除D，
故选A
【点睛】本题主要考查了函数的图象的识别问题，其中解答中熟练应用函数的奇偶性进行排除，以及利用特殊值进行合理判断是解答的关键，着重考查了分析问题解决问题的能力，属于基础题.
9、B
【解析】利用充分条件和必要条件的定义进行判断
【详解】由，得，即，
由，得，即
推不出，但能推出，
∴p是q的必要不充分条件.
故选：B
10、C
【解析】由题知，故，进而得答案.
【详解】因为是锐角,所以,所以,满足小于180°的正角.
其中D选项不包括，故错误.
故选：C

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
由已知S,A,B,C是球O表面上的点，所以 ，又，，所以四面体的外接球半径等于以长宽高分别以SA,AB,BC三边长为长方体的外接球的半径，因为，,所以，所以球的表面积
点睛：本题考查了球内接多面体，球的表面积公式，属于中档题．其中根据已知条件求球的直径（半径）是解答本题的关键
12、
【解析】本题首先可以根据分别是方程的根得出，再根据即可得出，然后通过函数与函数的性质即可得出，最后得出结果
【详解】因为，，，
所以，
因为，，
所以，，
因为函数与函数都是单调递增函数，前者在后者的上方，
所以，
综上所述，
【点睛】本题考查方程的根的比较大小，通常可通过函数性质或者根的大致取值范围进行比较，考查函数思想，考查推理能力，是中档题
13、 (-1,2) .
【解析】分析：由对数式真数大于0，分母中根式内部的代数式大于0联立不等式组求解x的取值集合得答案
详解：由，解得﹣1＜x＜2
∴函数f（x）=+ln（x+1）的定义域为（﹣1，2）
故答案为（﹣1，2）
点睛：常见基本初等函数定义域的基本要求
(1)分式函数中分母不等于零
(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.
(3)一次函数、二次函数的定义域均为R.
(4)y＝x0定义域是{x|x≠0}
(5)y＝ax(a>0且a≠1)，y＝sin x，y＝cos x的定义域均为R.
(6)y＝logax(a>0且a≠1)的定义域为(0，＋∞)
14、
【解析】由系数为1解出的值，再由单调性确定结论
【详解】由题意，解得或，
若，则函数为，在上递增，不合题意
若，则函数为，满足题意
故答案为：
15、③⑤
【解析】对每一个命题逐一判断得解.
【详解】①正切函数在内是增函数,所以该命题是错误的；
②因为函数的最小正周期为,所以w=2,所以将的图象向右平移个单位长度得到
,所得图象关于轴对称,所以，所以的一个值不可以是，所以该命题是错误的；
③若,因为，所以三点共线，所以该命题是正确的；
④函数=，所以sinx=-1时，y最小为-1，所以该命题是错误的;
⑤函数在上是增函数,则,所以的取值范围是.所以该命题是正确的.
故答案为③⑤
【点睛】本题主要考查正切函数的单调性，考查正弦型函数的图像和性质，考查含sinx的二次型函数的最值的计算，考查对数型函数的单调性，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
16、 ①.； ②.
【解析】根据极差，中位数的定义即可计算.
【详解】解：由茎叶图可知：使用支付方式的次数的极差为：；
使用支付方式的次数的中位数为17，
易知：，

解得：.
故答案为：；.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）
【解析】（1）分两段解不等式，解得结果即可得解；
（2）求出当时，，再根据函数的单调性求出最小值为，解不等式可得解.
【详解】（1）由题意，当可得，
当时，，解得，此时；
当时，，解得，此时，
综上可得，
所以病人一次服用9克的药剂，则有效治疗时间可达小时；
（2）当时，，
由，在均为减函数，
可得在递减，即有，
由，可得，可得m的最小值为
【点睛】本题考查了分段函数的应用，正确求出分段函数解析式是解题关键，属于中档题.
18、（1），
（2）当停车时间不超过3.75小时，选B方案；当停车时间大于3.75小时不超过4小时，选A方案，理由见解析.
【解析】（1）根据题意可得答案；
（2）根据（1）的答案分析即可.
【小问1详解】
根据题意可得：
A方案：当，；当时，
当时，；当，
所以
B方案：
【小问2详解】
显然当时，；
又因为，，
所以存在，使得，
即，解得
故当停车时间不超过3.75小时，选B方案；当停车时间大于3.75小时不超过4小时，选A方案
19、（1）详见解析；（2）详见解析
【解析】（1）连结和，由条件可证得和，从而得到∥.（2）结合题意可得直线和必相交，根据线面关系再证明该交点直线上即可得到结论
【详解】证明：(1)如图，连结和，

在正方体中，，
∵，
∴，
又，，
∴
又在正方体中，，,
∴，
又，
∴
同理可得，
又，
∴
∴∥.
（2）由题意可得（或者和不平行），
又由(1)知∥，
所以直线和必相交，不妨设，
则，
又，
所以，
同理
因为，
所以，
所以、、三条直线交于一点
【点睛】（1）证明两直线平行时，可根据三种平行间的转化关系进行证明，也可利用线面垂直的性质进行证明，解题时要注意合理选择方法进行求解
（2）证明三线共点的方法是：先证明其中的两条直线相交，再证明该交点在第三条直线上．解题时要依据空间中的线面关系及三个公理，并结合图形进行求解
20、（1）讲课开始25分钟时，学生的注意力比讲课开始后5分钟更集中
（2）讲课开始10分钟，学生的注意力最集中，能持续10分钟
（3）不能
【解析】（1）分别求出比较即可；
（2）由单调性得出最大值，从而得出学生的注意力最集中所持续的时间；
（3）由的解，结合的单调性求解即可.
【小问1详解】
因为，
所以讲课开始25分钟时，学生的注意力比讲课开始后5分钟更集中
【小问2详解】
当时，是増函数，且
当时，是减函数，且
所以讲课开始10分钟，学生的注意力最集中，能持续10分钟
【小问3详解】
当时，令，则
当时，令，则
则学生注意力在180以上所持续的时间为
所以老师不能在学生达到所需要的状态下讲授完这道题
21、（1）
（2），
【解析】（1）利用同角三角函数的关系可得.
（2）将写成，再用两角差的余弦求解；由可求，先化简再代入求解.
【小问1详解】
，且，
解得，，
所以.
【小问2详解】
因，，所以，
所以，
所以
.
因为，，所以，，
所以
.