吉林省白城市洮南十中2025年高一数学第一学期期末质量检测试题含解析.doc

吉林省白城市洮南十中2025年高一数学第一学期期末质量检测试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．尽管目前人类还无法精准预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系式为．年月日，日本东北部海域发生里氏级地震，它所释放出来的能量是年月日我国四川九寨沟县发生里氏级地震的（）
A.倍 B.倍
C.倍 D.倍
2．已知幂函数f（x）=xa的图象经过点P（-2，4），则下列不等关系正确的是（　　）
A. B.
C. D.
3．已知实数，满足，，则的最大值为（）
A. B.1
C. D.2
4．如图中的图象所表示的函数的解析式为（）

A.
B
C.
D.
5．下列函数在其定义域上既是奇函数又是减函数的是（）
A. B.
C. D.
6．函数的图像大致为（）
A. B.
C. D.
7．在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石，布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔(L.E.J.Brouwer)，简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的是（ ）
A. B.
C. D.
8．已知命题：，，则是（）
A.， B.，
C.， D.，
9．已知函数的图象是一条连续不断的曲线，且有如下对应函数值表：

1
2
4
5
6

123136
15.552
10.88
-52.488
-232.064
在以下区间中，一定有零点的是（）
A.（1，2） B.（2，4）
C.（4，5） D.（5，6）
10．下列关系中正确个数是（）
①②③④
A.1 B.2
C.3 D.4
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知函数若互不相等，且，则的取值范围是　　　　
12．已知函数，
（1）______
（2）若方程有4个实数根，则实数的取值范围是______
13．已知幂函数经过点，则______
14．给出下列命题：
①存在实数,使； ②函数是偶函数；
③若是第一象限的角，且，则；
④直线是函数的一条对称轴；
⑤函数的图像关于点成对称中心图形.
其中正确命题序号是__________.
15．已知命题：，都有是真命题，则实数取值范围是______
16．若，则的值为______
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数是定义在上的奇函数，且.
（1）确定函数的解析式并用定义证明在上是增函数
（2）解不等式：.
18．已知，且
（1）求的值；
（2）求的值.
19．若幂函数在其定义域上是增函数.
（1）求的解析式；
（2）若，求的取值范围.
20．已知函数(a>0且a≠1).
(1)若f(x)在[-1，1]上的最大值与最小值之差为，求实数a的值；
(2)若，当a>1时，解不等式.
21．有一种新型的洗衣液，去污速度特别快，已知每投放个(，且)单位的洗衣液在一定量水的洗衣机中，它在水中释放的浓度(克/升)随着时间(分钟)变化的函数关系式近似为，其中.若多次投放，则某一时刻水中的洗衣液浓度为每次投放的洗衣液在相应时刻所释放的浓度之和.根据经验，当水中洗衣液浓度不低于克/升时，它才能起到有效去污的作用.
(1)若只投放一次个单位的洗衣液，当两分钟时水中洗衣液的浓度为克/升，求的值；
(2)若只投放一次个单位的洗衣液，则有效去污时间可达几分钟？
(3)若第一次投放个单位的洗衣液，分钟后再投放个单位的洗衣液，则在第分钟时洗衣液是否还能起到有效去污的作用？请说明理由.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】设里氏级和级地震释放出的能量分别为和,可得出，利用对数的运算性质可求得的值，即可得解.
【详解】设里氏级和级地震释放出的能量分别为和,
由已知可得，
则，故
故选：C.
2、A
【解析】根据幂函数的图像经过点，可得函数解析式，然后利用函数单调性即可比较得出大小关系
【详解】因为幂函数的图像经过点，
所以，解得，
所以函数解析式为：，
易得为偶函数且在单调递减，在单调递增
A：，正确； B：，错误；
C：，错误；D：，错误
故选A
【点睛】本题考查利用待定系数法求解函数解析式，函数奇偶性和单调性的关系：奇函数在对应区间的函数单调性相同；偶函数在对应区间的函数单调性相反
3、C
【解析】运用三角代换法，结合二倍角的正弦公式、正弦型函数的最值进行求解
【详解】由，得，
令，则
，
因为，
所以，即，
所以的最大值为，
故选：C
4、B
【解析】分段求解：分别把0≤x≤1及1≤x≤2时解析式求出即可
【详解】当0≤x≤1时，设f（x）=kx，由图象过点（1，），得k=，所以此时f（x）=x；
当1≤x≤2时，设f（x）=mx+n，由图象过点（1，），（2，0），得，解得所以此时f（x）=．函数表达式可转化为：y＝|x－1|(0≤x≤2)
故答案为B
【点睛】本题考查函数解析式的求解问题，本题根据图象可知该函数为分段函数，分两段用待定系数法求得
5、D
【解析】对于A：由定义法判断出不是奇函数，即可判断；
对于B：判断出在R上为增函数，即可判断；
对于C：不能说在定义域是减函数，即可判断；
对于D：用图像法判断.
【详解】对于A：的定义域为R..所以不是奇函数，故A错误；
对于B：在R上为增函数.故B错误；
对于C：在为减函数，在为减函数，但不能说在定义域是减函数.故C错误；
对于D：，作出图像如图所示：

所以既是奇函数又是减函数.故D正确.
故选：D
6、A
【解析】通过判断函数的奇偶性排除CD,通过取特殊点排除B，由此可得正确答案.
【详解】∵
∴ 函数是偶函数，其图像关于轴对称，∴ 排除CD选项；
又时，，∴，排除B，
故选.
7、C
【解析】根据已知定义，将问题转化为方程有解，然后逐项进行求解并判断即可.
【详解】根据定义可知：若有不动点，则有解.
A．令，所以，此时无解，故不是“不动点”函数；
B．令，此时无解，，所以不是“不动点”函数；
C．当时，令，所以或，所以“不动点”函数；
D．令即，此时无解，所以不是“不动点”函数.
故选：C.
8、D
【解析】根据命题的否定的定义写出命题的否定，然后判断
【详解】命题：，的否定是：，
故选：D
9、C
【解析】由表格数据，结合零点存在定理判断零点所在区间.
【详解】∵
∴ ，，，,
又函数的图象是一条连续不断的曲线，
由函数零点存在定理可得在区间上一定有零点
故选：C.
10、A
【解析】根据集合的概念、数集的表示判断
【详解】是有理数，是实数，不是正整数，是无理数，当然不是整数．只有①正确
故选：A
【点睛】本题考查元素与集合的关系，掌握常用数集的表示是解题关键

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、（10，12）
【解析】
不妨设a<b<c，
作出f(x)的图象，如图所示：
由图象可知0<a<1<b<10<c<12，
由f(a)=f(b)得|lga|=|lgb|，即−lga=lgb，
∴lgab=0，则ab=1，
∴abc=c，
∴abc的取值范围是(10,12)，
12、 ①-2 ②.
【解析】先计算出f(1)，再根据给定的分段函数即可计算得解；令f(x)=t，结合二次函数f(x)性质，的图象，利用数形结合思想即可求解作答.
【详解】(1)依题意，，则，
所以；
(2)函数的值域是，令，则方程在有两个不等实根，
方程化为，因此，方程有4个实数根，等价于方程在有两个不等实根，
即函数的图象与直线有两个不同的公共点，
在同一坐标系内作出函数的图象与直线，而，如图，

观察图象得，当时，函数与直线有两个不同公共点，
所以实数的取值范围是.
故答案为：-2；
13、##0.5
【解析】将点代入函数解得，再计算得到答案.
【详解】，故，.
故答案为：
14、④⑤
【解析】根据两角和与差的正弦公式可得到sinα+cosαsin（α）结合正弦函数的值域可判断①；根据诱导公式得到＝sinx，再由正弦函数的奇偶性可判断②；举例说明该命题正误可判断③；x代入到y＝sin（2xπ），根据正弦函数的对称性可判断④；x代入到，根据正切函数的对称性可判断⑤.
【详解】对于①，sinα+cosαsin（α），故①错误；
对于②，＝sinx，其为奇函数，故②错误；
对于③，当α、β时，α、β是第一象限的角，且α＞β，但sinα＝sinβ，故③错误；
对于④，x代入到y＝sin（2xπ）得到sin（2π）＝sin1，故命题④正确；
对于⑤，x代入到得到tan（）＝0，故命题⑤正确.
故答案为④⑤
【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了三角函数的化简与求值问题，是综合性题目
15、
【解析】由于，都有，所以，从而可求出实数的取值范围
【详解】解：因为命题：，都有是真命题，
所以，即，解得，
所以实数的取值范围为，
故答案为：
16、0
【解析】由，得到
∴sin
∴2sin+4
两边都除以，得：2tan
故答案为0

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1），证明见解析
（2）
【解析】（1）由题意可得，从而可求出，再由，可求出，从而可求出函数的解析式，然后利用单调性的定义证明即可，
（2）由于函数为奇函数，所以将转化为，再利用函数为增函数可得，从而求得解集
【小问1详解】
因为函数是定义在上的奇函数，
所以，即，得，
所以，
因为，所以，解得，
所以，
证明：任取，且，
则

，
因为，所以，，，
所以，即，
所以在上是增函数
【小问2详解】
因为在上为奇函数，
所以转化为，
因为在上是增函数，
所以，解得，
所以不等式的解集为
18、（1）7（2）
【解析】（1）根据题意求得，然后利用两角和的正切公式即可得出答案；
（2）利用诱导公式及二倍角的余弦公式，结合平方关系化弦为切计算即可得解.
【小问1详解】
解：由已知得，或，
∴或，
又∵，∴或，
又∵，∴，∴，
∴；
【小问2详解】
解：
.
19、（1）；（2）或.
【解析】（1）根据幂函数的概念，以及幂函数单调性，求出，即可得出解析式；
（2）根据函数单调性，将不等式化为，求解，即可得出结果.
【详解】（1）因为是幂函数，所以，解得或，
又是增函数，即，，则；
（2）因为为增函数，所以由可得，解得或
的取值范围是或.
20、 (1)2或；(2)或.
【解析】(1)对a值分类讨论，根据单调性列出最值之差表达式即可求解；
(2)由函数的奇偶性、单调性脱去给定不等式中的法则“”，转化为一元二次不等式，求解即得.
【详解】(1)①当，f(x)在[-1，1]上单调递增，，解得，
②当时，f(x)在[-1，1]上单调递减，，解得，
综上可得，实数a的值为2或.
(2)由题可得定义域为，且，所以为上的奇函数；
又因为，且，所以在上单调递增；
所以，
或，
所以不等式的解集为或.
【点睛】解抽象的函数不等式，分析对应函数的奇偶性和单调性是解决问题的关键.
21、（1）；（2）分钟；（3）见详解.
【解析】（1）由只投放一次个单位的洗衣液，当两分钟时水中洗衣液的浓度为克/升，根据已知可得，，代入可求出的值；（2）由只投放一次个单位的洗衣液，可得，分、两种情况解不等式即可求解；（3）令，由题意求出此时的值并与比较大小即可.
【详解】（1）因为，当两分钟时水中洗衣液的浓度为克/升时，可得，即，解得；（2）因为，所以，当时，，将两式联立解之得；当时，，将两式联立解之得，综上可得，所以若只投放一次个单位的洗衣液，则有效去污时间可达分钟；（3）当时，由题意，因为，所以在第分钟时洗衣液能起到有效去污的作用.
【点睛】本题主要考查分段函数模型的选择和应用，其中解答本题的关键是正确理解水中洗衣液浓度不低于克/升时，它才能起到有效去污的作用，属中等难度题.