2025-2026学年上海市上海交大附中高一数学第一学期期末学业质量监测模拟试题含解析.doc

2025-2026学年上海市上海交大附中高一数学第一学期期末学业质量监测模拟试题
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知是第二象限角，且，则点位于（）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
2．若 ，则
A. B.
C.1 D.
3．为了得到函数的图象，只需把函数的图象（）
A.向左平行移动个单位长度 B.向右平行移动个单位长度
C.向左平行移动个单位长度 D.向右平行移动个单位长度
4．已知当时，函数取最大值，则函数图象的一条对称轴为
A. B.
C. D.
5．已知集合P=，，则PQ=（ ）
A. B.
C. D.
6．已知向量，，若，则（）
A. B.
C.2 D.3
7．已知函数,若,则恒成立时的范围是(　　)
A. B.
C. D.
8．命题“，”的否定是（）
A， B.，
C.， D.，
9．点M(1,4)关于直线l:x-y+1=0对称的点的坐标是（ ）
A.(4,1) B.(3,2)
C.(2,3) D.(-1,6)
10．如图所示，液体从一圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中，开始时，漏斗盛满液体，经过3分钟漏完.已知圆柱中液面上升的速度是一个常量，H是圆锥形漏斗中液面下落的距离，则H与下落时间(分)的函数关系表示的图象只可能是（ ）

A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知函数，.
（1）若函数的值域为R，求实数m的取值范围；
（2）若函数是函数的反函数，当时，函数的最小值为，求实数m的值；
（3）用表示m，n中的最大值，设函数，有2个零点，求实数m的范围.
12．如图是某个铁质几何体的三视图，其中每个小正方形格子的边长均为个长度单位，将该铁质几何体熔化，制成一个大铁球，如果在熔制过程中材料没有损耗，则大铁球的表面积为_______________________.

13．设，向量，，若，则_______
14．已知的图象的对称轴为_________________
15．已知是定义在正整数集上的严格减函数，它的值域是整数集的一个子集，并且，，则的值为___________.
16．无论取何值，直线必过定点__________
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．如图，四棱锥中，底面为矩形，面，为的中点
（1）证明：平面;
（2）设，，三棱锥的体积 ，求A到平面PBC的距离

18．某市一家庭今年一月份、二月份和三月份煤气用量和支付费用如下表所示：
月份
用气量(立方米)
煤气费(元)
1
4
4.00
2
25
14.00
3
35
19.00
该市煤气收费的方法是：煤气费＝基本费＋超额费＋保险费
若每月用气量不超过最低额度A(A>4)立方米时，只付基本费3元和每户每月定额保险费C(0<C≤5)元；若用气量超过A立方米时，超过部分每立方米付B元
(1)根据上面的表格求A，B，C的值；
(2)记该家庭第四月份用气为x立方米，求应交的煤气费y元
19．某市3000名市民参加“美丽城市我建设”相关知识初赛，成绩统计如图所示

（1）求a的值；
（2）估计该市参加考试的3000名市民中，成绩在上的人数；
（3）若本次初赛成绩前1500名参加复赛，则进入复赛市民的分数线应当如何制定（结果保留两位小数）
20．已知函数
（1）求函数的单调递减区间；
（2）若关于的方程有解，求的取值范围
21．已知.
（1）若，，求x的值；
（2）若，求的最大值和最小值.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】根据所在象限可判断出，，从而可得答案.
【详解】为第二象限角，
，，
则点位于第二象限.
故选：B.
2、A
【解析】由，得或，所以，故选A
【考点】同角三角函数间的基本关系，倍角公式
【方法点拨】三角函数求值：①“给角求值”将非特殊角向特殊角转化，通过相消或相约消去非特殊角，进而求出三角函数值；②“给值求值”关键是目标明确，建立已知和所求之间的联系
3、A
【解析】根据三角函数图象的变换求解即可
【详解】由题意，把函数的图象向左平行移动个单位长度得到
故选：A
4、A
【解析】由最值确定参数a,再根据正弦函数性质确定对称轴
【详解】由题意得
因此
当时，，选A.
【点睛】本题考查三角函数最值与对称轴，考查基本分析求解能力，属基础题.
5、B
【解析】根据集合交集定义求解.
【详解】
故选：B
【点睛】本题考查交集概念，考查基本分析求解能力，属基础题.
6、A
【解析】先计算的坐标，再利用可得，即可求解.
【详解】，
因为，所以，
解得：，
故选：A
7、B
【解析】利用条件f（1）＜0，得到0＜a＜1．f（x）在R上单调递减，从而将f（x2+tx）＜f（x﹣4）转化为x2+tx＞x﹣4，研究二次函数得解.
【详解】∵f（﹣x）＝a﹣x﹣ax＝﹣f（x），
∴f（x）是定义域为R的奇函数，
∵f（x）＝ax﹣a﹣x（a＞0且a≠1），且f（1）＜0，
∴，又∵a＞0，且a≠1，
∴0＜a＜1
∵ax单调递减，a﹣x单调递增，
∴f（x）在R上单调递减
不等式f（x2+tx）+f（4﹣x）＜0化为：f（x2+tx）＜f（x﹣4），
∴x2+tx＞x﹣4，即x2+（t﹣1）x+4＞0恒成立，
∴△＝（t﹣1）2﹣16＜0，解得：﹣3＜t＜5
故答案为B
【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和单调性，考查不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
8、D
【解析】利用全称量词命题的否定变换形式即可求解.
【详解】的否定是，的否定是，
故“，”的否定是“，”，
故选：D
9、B
【解析】设出关于直线对称点的坐标，利用中点和斜率的关系列方程组，解方程组求得对称点的坐标.
【详解】设关于直线对称点的坐标为，线段的中点坐标为，且在直线上，即①.由于直线的斜率为，所以线段的斜率为②.解由①②组成的方程组得，即关于直线对称点的坐标为.
故选：B
【点睛】本小题主要考查点关于直线的对称点的坐标的求法，考查方程的思想，属于基础题.
10、A
【解析】利用特殊值法，圆柱液面上升速度是常量，表示圆锥漏斗中液体单位时间内落下相同的体积，当时间取分钟时，液面下降的高度与漏斗高度的比较.
【详解】由于所给的圆锥形漏斗上口大于下口，当时间取分钟时，液面下降的高度不会达到漏斗高度的，对比四个选项的图象可得结果.
故选：A
【点睛】本题主要考查了函数图象的判断，常利用特殊值和函数的性质判断，属于中档题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、（1）
（2）
（3）
【解析】( 1 )函数的值域为R,可得,求解即可;
( 2)设分类论可得m的值;
(3)对m分类讨论可得结论.
【小问1详解】
值域为R,

∴
【小问2详解】
，.
设，，
①若即时，，
②若，即时，，舍去
③若即时，，无解，舍去
综上所示：
【小问3详解】
①显然，当时，在无零点，舍去
②当时，，舍去
③时，解分别为，，
只需控制，不要均大于等于1即可
Ⅰ：，，，舍去
Ⅱ：，无解，
综上：
12、
【解析】由已知得该铁质几何体是由一个小铁球和一个铁质圆锥体拼接而成，根据圆锥和球体的体积公式可得答案.
【详解】该铁质几何体是由一个小铁球和一个铁质圆锥体拼接而成，体积之和为，
设制成的大铁球半径为，则，得，故大铁球的表面积为.
故答案为：.
13、
【解析】根据向量共线的坐标表示，得到，再由二倍角的正弦公式化简整理，即可得出结果.
【详解】∵，向量，，
∴，∴，
∵，
∴
故答案为：.
【点睛】本题主要考查由向量共线求参数，涉及二倍角的正弦公式，熟记向量共线的坐标表示即可，属于常考题型.
14、
【解析】根据诱导公式可得，然后用二倍角公式化简，进而可求.
【详解】因为所以，故对称轴为.
故答案为:
15、
【解析】利用严格单调减函数定义求得值，然后在由区间上整数个数，可确定的值
【详解】，根据题意，，又，，
所以，即，，
在上只有13个整数，因此可得，
故答案为：
16、
【解析】直线（λ+2）x﹣（λ﹣1）y+6λ+3=0，即（2x+y+3）+λ（x﹣y+6）=0，
由 求得x=﹣3，y=3，可得直线经过定点（﹣3，3）
故答案为（﹣3，3）

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）证明见解析 （2） 到平面的距离为
【解析】（1）连结BD、AC相交于O，连结OE，则PB∥OE，由此能证明PB∥平面ACE．（2）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出A到平面PBD的距离
试题解析：(1）设BD交AC于点O，连结EO.
因为ABCD为矩形，所以O为BD的中点
又E为PD的中点，所以EO∥PB
又EO平面AEC，PB平面AEC
所以PB∥平面AEC.
（2）
由，可得.
作交于
由题设易知，所以
故，
又所以到平面的距离为
法2：等体积法

由，可得.
由题设易知,得BC
假设到平面的距离为d，
又因为PB=
所以
又因为(或)，
，
所以
考点：线面平行的判定及点到面的距离
18、（1）；（2）.
【解析】解：（1)月份的用气量没有超过最低额度，所以
月份的用气量超过了最低额度，所以，解得
（2）当时，需付费用为元
当时，需付费用为元
所以应交的煤气费
考点：函数解析式的求解
点评：解决的关键是根据实际问题，将其转化为数学模型，然后得到解析式，求解运算，属于基础题
19、（1）；
（2）1950； （3）进入复赛市民的分数应当大于或等于77.14.
【解析】（1）根据频率之和为，结合频率分布直方图即可求得；
（2）根据（1）中所求，求得成绩在的频率，根据频数计算公式即可求得结果；
（3）根据频率分布直方图中位数的求解，结合已知数据，即可求得结果.
【小问1详解】
依题意，，故.
【小问2详解】
成绩在[70, 90)上的频率为，
所以，所求人数为3000×0.65=1950.
【小问3详解】
依题意，本次初赛成绩前1500名参加复赛，即求该组数据的中位数，
因为≈77.14
所以，进入复赛市民的分数应当大于或等于77.14.
20、（1）；
（2）.
【解析】（1）由二倍角正余弦公式、辅助角公式可得，根据正弦函数的性质，应用整体法求单调减区间.
（2）由正弦型函数的性质求值域，结合题设方程有解，即可确定参数范围.
【小问1详解】
，
令，解得，
所以函数的单调递减区间是.
【小问2详解】
∵，
∴，又有解，
所以m的取值范围
21、（1）或；
（2）的最大值和最小值分别为：，.
【解析】(1)利用三角恒等变换化简函数，再利用给定的函数值及x的范围求解作答.
(2)求出函数相位的范围，再结合正弦函数的性质计算作答.
【小问1详解】
依题意，，
由，即得：，而，即，
于是得或，解得或，
所以x的值是或.
【小问2详解】
由(1)知，，当时，，
则当，即时，，当，即时，，
所以的最大值和最小值分别为：，.