2025-2026学年上海市浦光中学高一上数学期末联考模拟试题含解析.doc

2025-2026学年上海市浦光中学高一上数学期末联考模拟试题
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．在下列函数中，同时满足：①在上单调递增；②最小正周期为的是（）
A. B.
C. D.
2．已知，都是正数，则下列命题为真命题的是（）
A.如果积等于定值，那么当时，和有最大值
B.如果和等于定值，那么当时，积有最小值
C.如果积等于定值，那么当时，和有最小值
D.如果和等于定值，那么当时，积有最大值
3．某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：

0

x

0
5

0
根据表格中的数据，函数的解析式可以是（）
A. B.
C. D.
4．已知，若实数满足，且，实数满足，那么下列不等式中，一定成立的是
A. B.
C. D.
5．已知函数(其中)的图象如图所示，则函数的图像是（ ）

A. B.
C. D.
6．甲：“x是第一象限的角”，乙：“是增函数”，则甲是乙的（）
A充分但不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
7．已知，则a，b，c的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
8．如图，在正四棱柱中，，点是平面内的一个动点，则三棱锥的正视图和俯视图的面积之比的最大值为

A B.
C. D.
9．若角的终边过点，则
A. B.
C. D.
10．棱长为2的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为　　
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．正三棱柱的侧面展开图是边长为6和12的矩形，则该正三棱柱的体积是_____.
12．函数的最小正周期是________.
13．已知，则___________.
14．一个圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为________.
15．若函数是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则__________.
16．不等式的解集为_________________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．某班级欲在半径为1米的圆形展板上做班级宣传，设计方案如下：用四根不计宽度的铜条将圆形展板分成如图所示的形状，其中正方形ABCD的中心在展板圆心，正方形内部用宣传画装饰，若铜条价格为10元/米，宣传画价格为20元/平方米，展板所需总费用为铜条的费用与宣传画的费用之和

（1）设，将展板所需总费用表示成的函数；
（2）若班级预算为100元，试问上述设计方案是否会超出班级预算？
18．已知函数是定义在上的偶函数，函数.
（1）求实数的值；
（2）若时，函数的最小值为.求实数的值.
19．2021年起，辽宁省将实行“3+1+2”高考模式，为让学生适应新高考的赋分模式某校在一次校考中使用赋分制给高三年级学生的化学成绩进行赋分，具体赋分方案如下：先按照考生原始分从高到低按比例划定A、B、C、D、E共五个等级，然后在相应赋分区间内利用转换公式进行赋分A等级排名占比15%，赋分分数区间是86-100；B等级排名占比35%，赋分分数区间是71-85；C等级排名占比35%，赋分分数区间是56-70；D等级排名占比13%，赋分分数区间是41-55；E等级排名占比2%，赋分分数区间是30-40；现从全年级的化学成绩中随机抽取100名学生的原始成绩(未赋分)进行分析，其频率分布直方图如图所示：

（1）求图中a的值；
（2）用样本估计总体的方法，估计该校本次化学成绩原始分不少于多少分才能达到赋分后的C等级及以上(含C等级)？（结果保留整数）
（3）若采用分层抽样的方法，从原始成绩在[40，50)和[50，60)内的学生中共抽取5人，查看他们的答题情况来分析知识点上的缺漏，再从中选取2人进行调查分析，求这2人中恰有一人原始成绩在[40，50)内的概率.
20．已知圆经过,两点,且圆心在直线：上.
（Ⅰ）求圆的方程；
（Ⅱ）若点在直线：上,过点作圆的一条切线,为切点,求切线长的最小值；
（Ⅲ）已知点为,若在直线：上存在定点（不同于点）,满足对于圆上任意一点,都有为一定值,求所有满足条件点的坐标.
21．设函数
（1）设，求函数的最大值和最小值；
（2）设函数为偶函数，求的值，并求函数的单调增区间
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】根据题意，结合余弦、正切函数图像性质，一一判断即可.
【详解】对于选项AD，结合正切函数图象可知，和的最小正周期都为，故AD错误；
对于选项B，结合余弦函数图象可知，在上单调递减，故B错误；
对于选项C，结合正切函数图象可知，在上单调递增，且最小正周期，故C正确.
故选：C.
2、D
【解析】根据基本不等式计算求出和的最小值与积的最大值，进而依次判断选项即可.
【详解】由题意知，，
A：，则，当且仅当时取到等号，
所以有最小值，故A错误；
B：，则，当且仅当时取到等号，
所以有最大值，故B错误；
C：，则，当且仅当时取到等号，
所以有最小值，故C错误；
D：，则，有，当且仅当时取到等号，
所以有最大值，故D正确；
故选：D
3、A
【解析】根据函数最值，可求得A值，根据周期公式，可求得值，代入特殊点，可求得值，即可得答案.
【详解】由题意得最大值为5，最小值为-5，所以A=5，
，解得，解得，
又，解得，
所以的解析式可以是
故选：A
4、B
【解析】∵在上是增函数，且，中一项为负，两项为正数；或者三项均为负数；
即：；或
由于实数是函数的一个零点，
当时，
当 时，
故选B
5、A
【解析】根据二次函数图象上特殊点的正负性，结合指数型函数的性质进行判断即可.
【详解】由图象可知：，因为，所以由可得：，由可得：，由可得：，
因此有，所以函数是减函数，，所以选项A符合，
故选：A
6、D
【解析】由正弦函数的单调性结合充分必要条件的定义判定得解
【详解】由x是第一象限的角，不能得到是增函数；
反之，由是增函数，x也不一定是第一象限角
故甲是乙的既不充分又不必要条件
故选D
【点睛】本题考查充分必要条件的判定，考查正弦函数的单调性，是基础题
7、B
【解析】首先求出、，即可判断，再利用作差法判断，即可得到，再判断，即可得解；
【详解】解：由，所以，可知，又由，有，又由，有，可得，即，故有.
故选：B
8、B
【解析】由题意可知，P在正视图中的射影是在C1D1上，
AB在正视图中，在平面CDD1C1上的射影是CD，P的射影到CD的距离是AA1=2，
所以三棱锥P﹣ABC的正视图的面积为
三棱锥P﹣ABC的俯视图的面积的最小值为，
所以三棱锥P﹣ABC的正视图与俯视图的面积之比的最大值为，
故选B
点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.
9、D
【解析】角的终边过点，
所以.
由角，得.
故选D.
10、A
【解析】先求出该球面的半径，由此能求出该球面的表面积
【详解】棱长为2的正方体的顶点都在同一球面上，
该球面的半径，
该球面的表面积为
故选A
【点睛】本题考查球面的表面积的求法，考查正方体的外接球、球的表面积等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是基础题

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、或
【解析】分两种情况来找三棱柱的底面积和高，再代入体积计算公式即可
【详解】因为正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和12的矩形，所以有以下两种情况，
①6是下底面的周长，12是三棱柱的高，此时，下底面的边长为2，面积为，所以正三
棱柱的体积为12
②12是下底面的周长，6是三棱柱的高，此时，下底面的边长为4，面积为，所以正三
棱柱的体积为24，
故答案为或
【点睛】本题的易错点在于只求一种情况，应该注意考虑问题的全面性．分类讨论是高中数学的常考
思想，在运用分类讨论思想做题时，要做到不重不漏
12、
【解析】直接利用三角函数的周期公式，求出函数的周期即可.
【详解】函数中，
.
故答案为：
【点睛】本题考查三角函数的周期公式的应用，是基础题.
13、##-0.75
【解析】将代入函数解析式计算即可.
【详解】令，则，
所以.
故答案为：
14、.
【解析】先求圆锥底面圆的半径，再由直角三角形求得圆锥的高，代入公式计算圆锥的体积即可。
【详解】设圆锥底面半径为r，
则由题意得，解得.
∴底面圆的面积为.
又圆锥的高.
故圆锥的体积.
【点睛】此题考查圆锥体积计算，关键是找到底面圆半径和高代入计算即可，属于简单题目。
15、##
【解析】由，可得函数是以为一个周期的周期函数，再根据函数的周期性和奇偶性将所求转化为已知区间即可得解.
【详解】解：因为，
所以函数是以为一个周期的周期函数，
所以，
又因为函数是定义在上的奇函数，
所以，
所以.
故答案为：.
16、或.
【解析】利用一元二次不等式的求解方法进行求解.
【详解】因为，所以，所以或，
所以不等式的解集为或.
故答案为：或.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）上述设计方案是不会超出班级预算
【解析】（1）过点O作，垂足为H，用表示出OH和PH，从而可得铜条长度和正方形的面积，进而得出函数式；
（2）利用同角三角函数的关系和二次函数的性质求出预算的最大值即可得出结论
【详解】（1）过点O作，垂足为H，则，，

正方形ABCD的中心在展板圆心，铜条长为相等，每根铜条长，
，展板所需总费用为
（2）
，当时等号成立.
上述设计方案是不会超出班级预算
【点睛】本题考查了函数应用，三角函数恒等变换与求值，属于中档题
18、（1）
（2）
【解析】（1）根据函数的奇偶性求得的值.
（2）结合指数函数、二次函数的性质求得.
【小问1详解】
的定义域为，
为偶函数，所以，
.
【小问2详解】
由（1）得.
.
令，
结合二次函数的性质可知：
当时，时，最小，即，
解得，舍去.
当时，时，最小，即，解得（负根舍去）.
当时，时，最小，即，
解得，舍去.
综上所述，.
19、（1）a=0.030；（2）54分；（3）.
【解析】（1）由各组频率和为1列方程即可得解；
（2）由频率分布直方图结合等级达到C及以上所占排名等级占比列方程即可的解；
（3）列出所有基本事件及满足要求的基本事件，由古典概型概率公式即可得解.
【详解】（1）由题意，(0.010+0.015+0.015+a+0.025+0.005)´10=1，所以a=0.030；
（2）由已知等级达到C及以上所占排名等级占比为15%+35%+35%=85%，
假设原始分不少于x分可以达到赋分后的C等级及以上，易得，
则有(0.005+0.025+0.030+0.015)´10+(60-x)´0.015=0.85，解得x≈53.33(分)，
所以原始分不少于54分才能达到赋分后的C等级及以上；
（3）由题知得分在[40,50)和[50,60)内的频率分别为0.1和0.15，
则抽取的5人中，得分在[40,50)内的有2人，得分在[50,60)的有3人
记得分在[50,60)内的3位学生为a，b，c，得分在[40,50)内的2位学生为D，E，
则从5人中任选2人，样本空间可记为
W={ab，ac，aD，aE，bc，bD，bE，cD，cE，DE},共包含10个样本
用A表示“这2人中恰有一人得分在[40,50)内”，
则A={aD，aE，bD，bE，cD，cE}，A包含6个样本，
故所求概率.
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是对频率分布直方图的准确把握，在使用列举法解决古典概型的问题时，要注意不遗漏不重复.
20、 (Ⅰ);(Ⅱ);(Ⅲ).
【解析】
分析】
(Ⅰ)根据题意,设出圆的标准方程,代入条件,列方程求解即可;
(Ⅱ)由勾股定理得,所以要求的最小值,即求的最小值,而最小时,垂直于直线,据此可得结论;
(Ⅲ)设,,列出相应等式化简,再利用点的任意性,列出方程组求解即可.
【详解】(Ⅰ)设圆的方程为,
根据题意有,解得,
所以圆的方程为;
(Ⅱ)由勾股定理得,即,
所以要求的最小值,即求的最小值,
而当垂直于直线时,最小,此时,
所以的最小值为;
(Ⅲ)设,满足,
假设的定值为,则,
化简得,
因为对于圆上任意一点上式都成立,
所以,解得(舍),
因此满足条件点的坐标为.
【点睛】本题涉及圆与直线的综合应用,利用了数形结合等思想,考查了学生分析解决问题的能力,综合性较强.在答题时要注意:
①线外一点到线上一点的距离中,垂线段最短;
②解决任意性问题的关键是令含参部分的系数为0,最常见的就是过定点问题.

21、（1），；
（2），
【解析】(1)化简f(x)解析式，利用正弦函数的图像特性即可求其最大值和最小值；
(2)根据正弦型函数为偶函数可知，，据此即可求出，再根据正弦函数单调性即可求g(x)的单调增区间.
【小问1详解】
，
∵，，
∴，
∴函数最大值为，最小值为
【小问2详解】
，
∵该函数为偶函数，∴，得，
又∵，∴k取0，，
∴，
令，解得，
从而得到其增区间为