2025年河北省邢台市数学高二第一学期期末达标测试试题含解析.doc

2025年河北省邢台市数学高二第一学期期末达标测试试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若，则下列正确的是（）
A. B.
C. D.
2．已知实数a，b满足，则下列不等式中恒成立的是（）
A. B.
C. D.
3．已知是双曲线：的右焦点，是坐标原点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，并交轴于点．若，则的离心率为（）
A. B.
C.2 D.
4．已知椭圆：的左、右焦点为，，上顶点为P，则（）
A.为锐角三角形 B.为钝角三角形
C.为直角三角形 D.，，三点构不成三角形
5．已知曲线，则“”是“C为双曲线”的（）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6．已知四棱锥，平面PAB，平面PAB，底面ABCD是梯形，，，，满足上述条件的四棱锥的顶点P的轨迹是（ ）

A.椭圆 B.椭圆的一部分
C.圆 D.不完整的圆
7．已知抛物线的焦点为F，过点F分别作两条直线，直线与抛物线C交于A、B两点，直线与抛物线C交于D、E两点，若与的斜率的平方和为2，则的最小值为（ ）
A.24 B.20
C.16 D.12
8．设P是双曲线上的点，若，是双曲线的两个焦点，则（）
A.4 B.5
C.8 D.10
9．已知函数，，若对于任意的，存在唯一的，使得，则实数a的取值范围是（ ）
A （e，4） B.（e，4]
C.（e，4） D.（，4]
10．如图，在三棱柱中，平面，，，分别是，中点，在线段上，则与平面的位置关系是（）

A.垂直 B.平行
C.相交但不垂直 D.要依点的位置而定
11．攒（cuán）尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构样式，多见于亭阁或园林式建筑．下图是一顶圆形攒尖，其屋顶可近似看作一个圆锥，其轴截面（过圆锥轴的截面）是底边长为，顶角为的等腰三角形，则该屋顶的面积约为（）

A. B.
C. D.
12．已知，则点到平面的距离为（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．在空间直角坐标系中，已知点A，若点P满足，则_______
14．已知函数，是其导函数，若曲线的一条切线为直线：，则的最小值为___________.
15．双曲线的离心率为__________________.
16．命题“x≥1，x2 -2x+4≥0”的否定为____________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）从椭圆上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点，A是椭圆C与x轴正半轴的交点，直线AP的斜率为，若椭圆长轴长为8
（1）求椭圆C的方程；
（2）点Q为椭圆上任意一点，求面积的最大值
18．（12分）已知数列{an}的首项a1＝1，且an＋1＝ (n∈N*).
（1）证明：数列是等比数列；
（2）设bn＝－，求数列{bn}的前n项和Sn.
19．（12分）已知圆
（1）求圆心的坐标和圆的面积；
（2）若直线与圆相交于两点，求弦长
20．（12分）已知椭圆C：短轴长为2，且点在C上
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设、为椭圆的左、右焦点，过的直线l交椭圆C与A、B两点，若的面积是，求直线l的方程
21．（12分）已知等比数列满足，.
（1）求数列的前8项和；
（2）求数列的前项积.
22．（10分）设椭圆的左焦点为，上顶点为．已知椭圆的短轴长为4，离心率为
（1）求椭圆的方程；
（2）设点在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点为直线与轴的交点，点且（为原点），求直线的斜率
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】根据不等式性质并结合反例，即可判断命题真假.
【详解】对于选项A：若，则，
由题意，，不妨令，，则此时，这与结论矛盾，故A错误；
对于选项B：当时，若，则，故B错误；
对于选项C：由，不妨令，，则此时，故C错误；
对于选项D：由不等式性质，可知D正确.
故选：D.
2、D
【解析】利用特殊值排除错误选项，利用函数单调性证明正确选项.
【详解】时，，但，所以A选项错误.
时，，但，所以B选项错误.
时，，但，所以C选项错误.
在上递增，所以，即D选项正确.
故选：D
3、A
【解析】由条件建立a，b，c的关系，由此可求离心率的值.
【详解】设，则，
∵ ，∴，
∴ ，
∴，
∴ ，
∴ ，
∴ 离心率，
故选：A.

4、A
【解析】根据题意求得，要判断的形状，只需要看是什么角即可，利用余弦定理判断，从而可得结论.
【详解】解：由椭圆：，得，
则，
则，
所以且为锐角，
因为，
所以锐角，
所以为锐角三角形.
故选：A.
5、A
【解析】根据充分必要条件的定义，以及双曲线的标准方程进行判断可得选项
【详解】解：当时，表示双曲线，
当表示双曲线时，则，
所以“”是“C为双曲线”的充分不必要条件.
故选A
6、D
【解析】根据题意，分析得动点满足的条件，结合圆以及椭圆的方程，以及点的限制条件，即可判断轨迹.
【详解】因为平面PAB，平面PAB，则//，
又面面，故可得；
因为，故可得，
则，
综上所述：动点在垂直的平面中，且满足；
为方便研究，不妨建立平面直角坐标系进行说明，
在平面中，因为，以中点为坐标原点，
以为轴，过且垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系，如下所示：

因为，故可得，
整理得：，
故动点的轨迹是一个圆；
又当三点共线时，几何体不是空间几何体，
故动点的轨迹是一个不完整的圆.
故选：.
【点睛】本题考察立体几何中动点的轨迹问题，处理的关键是利用立体几何知识，找到动点满足的条件，进而求解轨迹.
7、C
【解析】设两条直线方程，与抛物线联立，求出弦长的表达式，根据基本不等式求出最小值
【详解】抛物线的焦点坐标为，设直线：，直线：，
联立 得：，所以，所以焦点弦，同理得：，所以，因为，所以
，
故选：C
8、C
【解析】根据双曲线的定义可得：，结合双曲线的方程可得答案.
【详解】由双曲线可得
根据双曲线的定义可得：
故选：C
9、B
【解析】结合导数和二次函数的性质可求出和的值域，结合已知条件可得，，从而可求出实数a的取值范围.
【详解】解：g（x）=x2ex的导函数为g′（x）=2xex+x2ex=x（x+2）ex，当时，，
由时，，时，，可得g（x）在[–1，0]上单调递减，
在（0，1]上单调递增，故g（x）在[–1，1]上的最小值为g（0）=0，最大值为g（1）=e，
所以对于任意的，．因为开口向下，对称轴为轴，
又，所以当时，，当时，，
则函数在[，2]上的值域为[a–4，a]，且函数f（x）在，
图象关于轴对称，在（，2]上，函数单调递减．由题意，得，，
可得a–4≤0<e<，解得ea≤4
故选:B
【点睛】本题考查了利用导数求函数的最值，考查了二次函数的性质，属于中档题.本题的难点是这一条件的转化.
10、B
【解析】构造三角形,先证∥平面,同理得∥平面,再证平面∥平面即可.
【详解】连接，，.

因为在直三棱柱中，M，N分别是，AB的中点，所以∥.
因为平面内，平面，所以∥平面.
同理可得AM∥平面.
又因为，平面，平面，
所以平面∥平面.
又因为P点在线段上，所以∥平面.
故选：B.
11、B
【解析】由轴截面三角形，根据已知可得圆锥底面半径和母线长，然后可解.
【详解】轴截面如图，其中，，所以，
所以，所以圆锥的侧面积.
故选：B

12、A
【解析】根据给定条件求出平面的法向量，再利用空间向量求出点到平面的距离.
【详解】依题意，，
设平面的法向量，则，令，得，
则点到平面的距离为，
所以点到平面的距离为.
故选：A

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】设，表示出，，根据即可得到方程组，解得、、，即可求出的坐标，即可得到的坐标，最后根据向量模的坐标表示计算可得；
【详解】解：设，所以，，因为，所以，所以，解得，即，所以，所以；
故答案为：
14、
【解析】设直线与曲线相切的切点为，借助导数的几何意义用表示出m，n即可作答.
【详解】设直线与曲线相切的切点为，而，则直线的斜率，
于是得，即，
由得，而，于是得，即
因，则，，当且仅当时取“=”，
所以的最小值为.
故答案为：
【点睛】结论点睛：函数y=f(x)是区间D上的可导函数，则曲线y=f(x)在点处的切线方程为：.
15、
【解析】根据双曲线方程确定a,b,c的值，求出离心率.
【详解】由双曲线可得：，
故，
故答案为：
16、
【解析】根据还有一个量词的命题的否定的方法解答即可.
【详解】命题“x≥1，x2 -2x+4≥0”的否定为“”.
故答案为：.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）18
【解析】（1）易得，，进而有，再结合已知即可求解；
（2）由（1）易得直线AP的方程为，，设与直线AP平行的直线方程为，由题意，当该直线与椭圆相切时，记与AP距离比较远的直线与椭圆的切点为Q，此时的面积取得最大值，将代入椭圆方程，联立即可得与AP距离比较远的切线方程，从而即可求解.
【小问1详解】
解：由题意，将代入椭圆方程，得，
又∵，∴，化简得，解得，
又，，所以，
∴，
∴椭圆的方程为；
【小问2详解】
解：由（1）知，直线AP的方程为，即，
设与直线AP平行的直线方程为，
由题意，当该直线与椭圆相切时，记与AP距离比较远的直线与椭圆的切点为Q，此时的面积取得最大值，
将代入椭圆方程，化简可得，
由，即，解得，
所以与AP距离比较远的切线方程，
因为与之间的距离，又，
所以的面积的最大值为
18、（1）证明见解析.
（2）2－.
【解析】（1）根据递推公式，得到，推出，即可证明数列是等比数列；
（2）先由（1）求出，即bn＝，再错位相减法，即可求出数列的和.
【小问1详解】
（1）证明：因为an＋1＝，所以＝＝＋，
所以－＝－＝，
又a1－≠0，所以数列为以－＝为首项，为公比的等比数列.
【小问2详解】
解：由（1）可得＝＋，所以bn＝，
所以Sn＝＋＋＋…＋，①
所以Sn＝＋＋…＋＋，②
①－②得，Sn＝＋＋…＋－＝－，解得Sn＝2－.
19、（1）圆心，面积为；
（2）.
【解析】（1）将圆化为标准方程，进而求出圆心、半径和圆的面积；
（2）求出圆心到直线的距离，进而通过勾股定理求得答案.
【小问1详解】
由已知，得：，所以圆心，半径为，面积为.
【小问2详解】
圆心到直线距离为，
则.
20、（1）；
（2）或.
【解析】(1)根据短轴长求出b，根据M在C上求出a；
(2)根据题意设直线l为，与椭圆方程联立得根与系数关系，根据＝即可求出m的值.
【小问1详解】
∵短轴长为2，∴，∴，
又∵点在C上，∴，∴，
∴椭圆C的标准方程为；
【小问2详解】
由(1)知，
∵当直线l斜率为0时，不符合题意，
∴设直线l的方程为：，
联立，消x得：，
∵，
∴设，，则，
∵，∴，∴，
即，解得，
∴直线l的方程为：或.
21、（1）
（2）
【解析】（1）设等比数列的公比为，由，求出公比，然后由等比数列前项和公式可得答案.
（2） 先得出通项公式，然后可得，由指数的运算性质，结合由等差数列前项和公式可得答案.
小问1详解】
设等比数列的公比为，，解得
所以
所以
【小问2详解】

22、（1）
（2）或
【解析】（1）根据已知条件求得，由此求得椭圆方程.
（2）设出直线的方程，并与椭圆方程联立，求得点坐标，根据列方程，化简求得直线的斜率.
【小问1详解】
设椭圆的半焦距为，依题意，，又，可得，．所以，椭圆的方程为
小问2详解】
由题意，设．设直线的斜率为，
又，则直线的方程为，
与椭圆方程联立整理得，
可得，代入得，
进而直线的斜率．在中，令，得
，所以直线的斜率为
由，得，化简得，从而
所以，直线的斜率为或