上海市南汇一中2026届高一上数学期末综合测试试题含解析.doc

上海市南汇一中2026届高一上数学期末综合测试试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知函数：①；②；③；④；则下列函数图象（第一象限部分）从左到右依次与函数序号的对应顺序是（）

A.②①③④ B.②③①④
C.④①③② D.④③①②
2．已知，条件：，条件：，则是的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
3．已知函数的定义域为，且满足对任意，有，则函数（）
A. B.
C. D.
4．在中，已知，则角（）
A. B.
C. D.或
5．已知直线，直线，则与之间的距离为（）
A. B.
C. D.
6．已知为三角形内角，且，若，则关于的形状的判断，正确的是　　
A.直角三角形 B.锐角三角形
C.钝角三角形 D.三种形状都有可能
7．已知，则（ ）
A. B.
C.2 D.
8．已知正弦函数f(x)的图像过点,则的值为(　　)
A.2 B.
C. D.1
9．已知向量且，则x值为（）.
A.6 B.-6
C.7 D.-7
10．已知三棱锥D－ABC中，AB＝BC＝1，AD＝2，BD＝，AC＝，BC⊥AD，则该三棱锥的外接球的表面积为（）

A.π B.6π
C.5π D.8π
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知函数，若关于方程恰好有6个不相等的实数解，则实数的取值范围为__________.
12．______.
13．计算：__________．
14．函数的定义域为D，给出下列两个条件：
①对于任意，当时，总有；
②在定义域内不是单调函数.
请写出一个同时满足条件①②的函数，则______________.
15．某种商品在第天的销售价格（单位：元）为，第x天的销售量（单位：件）为，则第14天该商品的销售收入为________元，在这30天中，该商品日销售收入的最大值为________元.
16．一个圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数的部分图象如图所示

（1）求的解析式；
（2）将图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象．若在区间上不单调，求的取值范围
18．已知
（1）若p为真命题，求实数x的取值范围
（2）若p为q成立的充分不必要条件，求实数a的取值范围
19．如图所示，某市政府决定在以政府大楼O为中心，正北方向和正东方向的马路为边界的扇形地域内建造一个图书馆.为了充分利用这块土地，并考虑与周边环境协调，设计要求该图书馆底面矩形的四个顶点都要在边界上，图书馆的正面要朝市政府大楼.设扇形的半径OM＝R，∠MOP＝45°，OB与OM之间的夹角为θ.

（1）将图书馆底面矩形ABCD的面积S表示成θ的函数.
（2）若R＝45 m，求当θ为何值时，矩形ABCD的面积S最大？最大面积是多少？(取＝1.414)
20．已知向量 ，，设函数=+
（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；
（2）当时，求函数的值域
21．在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1，2，3，4的四个球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个球，每个球被取出的可能性相等.
（1）求取出的两个球上标号为相同数字的概率；
（2）若两人分别从甲、乙两个盒子中各摸出一球，规定：两人谁摸出的球上标的数字大谁就获胜（若数字相同则为平局），这样规定公平吗？请说明理由.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】根据指数函数、幂函数的性质进行选择即可.
【详解】①：函数是实数集上的增函数，且图象过点，因此从左到右第三个图象符合；
②：函数是实数集上的减函数，且图象过点，因此从左到右第四个图象符合；
③：函数在第一象限内是减函数，因此从左到右第二个图象符合；
④：函数在第一象限内是增函数，因此从左到右第一个图象符合，
故选：D
2、C
【解析】分别求两个命题下的集合，再根据集合关系判断选项.
【详解】，则，
，则，因为，
所以是充分必要条件.
故选：C
3、C
【解析】根据已知不等式可以判断函数的单调性，再结合四个选项进行判断即可.
【详解】因为，
所以由，
构造新函数，因此有，
所以函数是增函数.
A：，因为，所以不符合增函数的性质，故本选项不符合题意；
B：，当时，函数单调递减，故本选项不符合题意；
C：，显然符合题意；
D：，因为，所以不符合增函数的性质，故本选项不符合题意，
故选：C
4、C
【解析】利用正弦定理求出角的正弦值，再求出角的度数.
【详解】因为，
所以，
解得：，，
因为，
所以.
故选：C.
5、D
【解析】利用两平行线间的距离公式即可求解.
【详解】直线的方程可化为，
则与之间的距离
故选：D
6、C
【解析】利用同角平方关系可得，，结合可得，从而可得的取值范围，进而可判断三角形的形状
【详解】解：，

，
为三角形内角，，
为钝角，即三角形为钝角三角形
故选C
【点睛】本题主要考查了利用同角平方关系的应用，其关键是变形之后从的符号中判断的取值范围，属于三角函数基本技巧的运用
7、B
【解析】先求出，再求出，最后可求.
【详解】因为，故，
因为，故，而，
故，所以，
故，
所以，
故选：B
8、C
【解析】由题意结合诱导公式有：
.
本题选择C选项.
9、B
【解析】利用向量垂直的坐标表示可以求解.
【详解】因为，，所以，即；
故选：B.
【点睛】本题主要考查平面向量垂直的坐标表示，熟记公式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.
10、B
【解析】由题意结合平面几何、线面垂直的判定与性质可得BC⊥BD，AD⊥AC，再由平面几何的知识即可得该几何体外接球的球心及半径，即可得解.
【详解】 AB＝BC＝1，AD＝2，BD＝，AC＝，
∴，，
∴DA⊥AB，AB⊥BC，由BC⊥AD 可得BC⊥平面DAB，DA⊥平面ABC，
∴BC⊥BD，AD⊥AC，
∴CD＝，
由直角三角形的性质可知，线段CD的中点O到点A，B，C，D的距离均为，
∴该三棱锥外接球的半径为，
故三棱锥的外接球的表面积为4π＝6π.

故选：B.
【点睛】本题考查了三棱锥几何特征的应用及其外接球表面积的求解，考查了运算求解能力与空间思维能力，属于中档题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】作出函数的简图，换元，结合函数图象可知原方程有6根可化为在区间上有两个不等的实根，列出不等式组求解即可.
【详解】当，结合“双勾”函数性质可画出函数的简图，如下图，

令，
则由已知条件知，方程在区间上有两个不等的实根，
则，即实数的取值范围为.
故答案为：
【点睛】本题主要考查了分段函数的图象，二次方程根的分布，换元法，数形结合，属于难题 .
12、
【解析】首先利用乘法将五进制化为十进制，再利用“倒序取余法”将十进制化为二进制即可.
【详解】，
根据十进制化为二进制“倒序取余法”如下：

可得.
故答案为：
【点睛】本题考查了进位制的转化，在求解过程中，一般都是先把其它进制转化为十进制，再用倒序取余法转化为其它进制，属于基础题.
13、4
【解析】
故答案为4
14、
【解析】根据题意写出一个同时满足①②的函数即可.
【详解】解：易知：，上单调递减，上单调递减，
故对于任意，当时，总有；
且在其定义域上不单调.
故答案为：.
15、 ①.448 ②.600
【解析】销售价格与销售量相乘即得收入，对分段函数，可分段求出最大值，然后比较
【详解】由题意可得（元），
即第14天该商品的销售收入为448元.
销售收入，，
即，.
当时，，
故当时，y取最大值，，
当时，易知，
故当时，该商品日销售收入最大，最大值为600元.
故答案为：448；600.
【点睛】本题考查分段函数模型的应用．根据所给函数模型列出函数解析式是基本方法
16、.
【解析】先求圆锥底面圆的半径，再由直角三角形求得圆锥的高，代入公式计算圆锥的体积即可。
【详解】设圆锥底面半径为r，
则由题意得，解得.
∴底面圆的面积为.
又圆锥的高.
故圆锥的体积.
【点睛】此题考查圆锥体积计算，关键是找到底面圆半径和高代入计算即可，属于简单题目。

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）
【解析】（1）利用最值求出，根据得出，再由特殊值求出即可求解.
（2）根据三角函数的图象变换得出，再由正弦函数在上单调即可求解.
【详解】解：（1）由图可知，
最小正周期，所以
因为，
所以，，，
又，所以，
故
（2）由题可知，
当时，
因为在区间上不单调，
所以，解得
故的取值范围为
18、（1）
（2）
【解析】（1）根据命题为真可求不等式的解.
（2）根据条件关系可得对应集合的包含关系，从而可求参数的取值范围.
【小问1详解】
因为p为真命题，故成立，故.
【小问2详解】
对应的集合为，
对应的集合为，
因为p为q成立的充分不必要条件，故为的真子集，
故（等号不同时取），故.
19、（1）S＝R2sin－R2，θ∈；（2）当θ＝时，矩形ABCD面积S最大，最大面积为838.35 m2.
【解析】（1）设OM与BC的交点为F，用表示出，，，从而可得面积的表达式；
（2）结合正弦函数的性质求得最大值
【详解】解：（1）由题意，可知点M为PQ的中点，所以OM⊥AD.
设OM与BC的交点为F，则BC＝2Rsin θ，OF＝Rcos θ，所以AB＝OF－AD＝Rcos θ－Rsin θ.
所以S＝AB·BC＝2Rsin θ(Rcos θ－Rsin θ)＝R2(2sin θcos θ－2sin2θ)＝R2(sin 2θ－1＋cos 2θ)＝R2sin－R2，θ∈.

（2）因为θ∈，所以2θ＋∈，
所以当2θ＋，即θ＝时，S有最大值.
Smax＝(－1)R2＝(－1)×452＝0.414×2 025＝838.35(m2).
故当θ＝时，矩形ABCD的面积S最大，最大面积为838.35 m2.
【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数的应用，解题关键是利用表示出矩形的边长，从而得矩形面积．利用三角函数恒等变换公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后结合正弦函数性质求得最大值
20、（1）；；（2）
【解析】（1）根据向量数量积的坐标运算及辅助角公式，可得，然后由周期公式去求周期，再结合正弦函数的单调性去求函数的单调递增区间；
（2）由（1）知，由求出，再结合正弦函数的单调性去求函数的值域
【详解】（1）依题意得
=
=
=
的最小正周期是：
由解得，
从而可得函数的单调递增区间是：
（2）由，可得，
所以，
从而可得函数的值域是：
21、（1）（2）这样规定公平，详见解析
【解析】（1）利用列举法求得基本事件的总数，利用古典概型的概率计算公式，即可求解；
（2）利用古典概型及其概率的计算公式，求得的概率，即可得到结论.
【详解】由题意，设从甲、乙两个盒子中各取1个球，其数字分别为x、y.
用表示抽取结果，可得，则所有可能的结果有16种，
（1）设“取出的两个球上的标号相同”为事件A，则，
事件A由4个基本事件组成，故所求概率.
（2）设“甲获胜”为事件B，“乙获胜”为事件C，
则，.
可得，
即甲获胜的概率是，乙获胜的概率也是，所以这样规定公平.
【点睛】本题主要考查了古典概型的概率的计算及应用，其中解答中认真审题，利用列举法求得基本事件的总数是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题题.