2025年河北省定州中学数学高一第一学期期末达标检测模拟试题含解析.doc

2025年河北省定州中学数学高一第一学期期末达标检测模拟试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．如图是某班名学生身高的频率分布直方图，那么该班身高在区间内的学生人数为

A. B.
C. D.
2．函数图像大致为（）
A. B.
C. D.
3．已知，若方程有四个不同的实数根，，，，则的取值范围是（）
A.（3，4） B.（2，4）
C.[0，4） D.[3，4）
4．当x越来越大时，下列函数中增长速度最快的是（ ）
A. B.
C. D.
5．如图所示的是水平放置的三角形直观图，D′是△A′B′C′中B′C′边上的一点，且D′离C′比D′离B′近，又A′D′∥y′轴，那么原△ABC的AB、AD、AC三条线段中

A.最长的是AB，最短的是AC
B.最长的是AC，最短的是AB
C.最长的是AB，最短的是AD
D.最长的是AD，最短的是AC
6．设函数,则使成立的的取值范围是
A. B.
C. D.
7．如图，一个水平放置的平面图形的直观图是边长为2的菱形，且，则原平面图形的周长为（）

A. B.
C. D.8
8．已知全集U＝R，集合，，则集合（）
A. B.
C. D.
9．如图，其所对应的函数可能是（ ）

A B.
C. D.
10．设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是
A.若，，则
B.若，，，则
C.若，，则
D.若，，，则
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．若幂函数的图象过点，则___________.
12．幂函数的图像经过点，则_______
13．化简：________.
14．一个扇形的中心角为3弧度，其周长为10，则该扇形的面积为__________
15．已知，则函数的最大值为__________.
16．正方体中，分别是，的中点，则直线与所成角的余弦值是_______.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知定义在上的奇函数，当时，.

（1）求函数在上的解析式；
（2）在给出的直角坐标系中作出的图像，并写出函数的单调区间.
18．已知角在第二象限，且
（1）求的值；
（2）若，且为第一象限角，求的值
19．某纪念章从某年某月某日起开始上市，通过市场调查，得到该纪念章每枚的市场价（单位：元）与上市时间（单位：天）的数据如下：
上市时间天

市场价元

（1）根据上表数计，从下列函数中选取一个恰当的函数描述该纪念章的市场价与上市时间的变化关系并说明理由：①；②；③；④；
（2）利用你选取的函数，求该纪念章市场价最低时的上市天数及最低的价格.
20．某企业开发生产了一种大型电子产品，生产这种产品的年固定成本为2500万元，每生产百件，需另投入成本（单位：万元），当年产量不足30百件时，；当年产量不小于30百件时，；若每件电子产品的售价为5万元，通过市场分析，该企业生产的电子产品能全部销售完.
（1）求年利润（万元）关于年产量（百件）的函数关系式；
（2）年产量为多少百件时，该企业在这一电子产品的生产中获利最大？
21．已知幂函数的图象经过点
（1）求的解析式；
（2）设，
（i）利用定义证明函数在区间上单调递增
（ii）若在上恒成立，求t的取值范围
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】身高在区间内的频率为 人数为 ，选C.
点睛：频率分布直方图中小长方形面积等于对应区间的概率,所有小长方形面积之和为1; 频率分布直方图中组中值与对应区间概率乘积的和为平均数; 频率分布直方图中小长方形面积之比等于对应概率之比,也等于对应频数之比.
2、B
【解析】先求出函数的定义域，判断出函数为奇函数，排除选项D，由当时，，排除A，C选项，得出答案.
【详解】解析：定义域为，
，所以为奇函数，可排除D选项，
当时，，，由此，排除A，C选项，
故选： B
3、D
【解析】利用数形结合可得，结合条件可得，，，且，再利用二次函数的性质即得.
【详解】由方程有四个不同的实数根，
得函数的图象与直线有四个不同的交点，分别作出函数的图象与直线

由函数的图象可知，当两图象有四个不同的交点时，
设与交点的横坐标为，，设，则，，
由得，
所以，即
设与的交点的横坐标为，，
设，则，，且，
所以，
则
故选：D.
4、B
【解析】根据函数的特点即可判断出增长速度.
【详解】因为指数函数是几何级数增长，当x越来越大时，增长速度最快.
故选：B

5、C
【解析】由斜二测画法得到原三角形，结合其几何特征易得答案.
【详解】由题意得到原△ABC的平面图为：

其中，AD⊥BC，BD＞DC，
∴AB＞AC＞AD，
∴△ABC的AB、AD、AC三条线段中最长的是AB，最短的是AD
故选C
【点睛】本题考查了斜二测画法，考查三角形中三条线段长的大小的比较，属于基础题
6、A
【解析】，定义域为，∵，∴函数为偶函数，当时，函数单调递增，根据偶函数性质可知：得成立，∴，∴，∴的范围为故答案为A.
考点：抽象函数的不等式.
【思路点晴】本题考查了偶函数的性质和利用偶函数图象的特点解决实际问题，属于基础题型，应牢记．根据函数的表达式可知函数为偶函数，根据初等函数的性质判断函数在大于零的单调性为递增，根据偶函数关于原点对称可知，距离原点越远的点，函数值越大，把可转化为，解绝对值不等式即可
7、B
【解析】利用斜二测画法还原直观图即得.
【详解】由题可知，
∴，还原直观图可得原平面图形，如图，

则，
∴，
∴原平面图形的周长为.
故选：B.
8、D
【解析】依次计算集合，最后得出结果即可.
【详解】，，或，
故.
故选：D.
9、B
【解析】代入特殊点的坐标即可判断答案.
【详解】设函数为，由图可知，，排除C,D，又，排除A.
故选：B.
10、C
【解析】根据空间中直线与平面，平面与平面的位置关系即得。
【详解】A.因为垂直于同一平面的两个平面可能平行或相交，不能确定两平面之间是平行关系，故不正确；
B.若，，，则或相交，故不正确；
C.由垂直同一条直线的两个平面的关系判断，正确；
D.若，，，则或相交，故不正确.
故选：C
【点睛】本题考查空间直线和平面，平面和平面的位置关系，考查学生的空间想象能力。

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、27
【解析】代入已知点坐标求出幂函数解析式即可求,
【详解】设代入，即，所以，所以.
故答案为：27.
12、
【解析】本题首先可以根据函数是幂函数设函数解析式为，然后带入点即可求出的值，最后得出结果。
【详解】因为函数是幂函数，
所以可设幂函数，
带入点可得，解得，
故幂函数，即，
答案为。
【点睛】本题考查函数解析式的求法，考查对幂函数的性质的理解，可设幂函数解析式为，考查计算能力，是简单题。
13、－1
【解析】原式)(
.故答案为
【点睛】本题的关键点有：
先切化弦，再通分；
利用辅助角公式化简；
同角互化.
14、6
【解析】利用弧长公式以及扇形周长公式即可解出弧长和半径，再利用扇形面积公式即可求解.
【详解】设扇形的半径为，弧长为，则，解得，所以，
答案为6.
【点睛】主要考查弧长公式、扇形的周长公式以及面积公式，属于基础题.
15、
【解析】换元，，化简得到二次函数，根据二次函数性质得到最值.
【详解】设，，则，，
故当，即时，函数有最大值为.
故答案为：.
【点睛】本题考查了指数型函数的最值，意在考查学生的计算能力，换元是解题的关键.
16、
【解析】结合异面直线所成角的找法，找出角，构造三角形，计算余弦值，即可
【详解】
连接，而，所以直线与所成角即为，设正方体边长为1，则，所以余弦值为
【点睛】考查了异面直线所成角的计算方法，关键得出直线与所成角即为，难度中等

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）图像答案见解析，单调递增区间为，单调递减区间为
【解析】（1）由函数的奇偶性的定义和已知解析式，计算时的解析式，可得所求的解析式；
（2）由分段函数的图像画法，可得所求图像，结合的图像，可得的单调区间
【小问1详解】
设，则，所以，
又为奇函数，所以，
又为定义在上的奇函数，所以，
所以
【小问2详解】
作出函数的图像，如图所示：

函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
18、（1）
（2）
【解析】（1）利用同角三角函数关系可求解得，利用诱导公式化简原式可得原式，代入即得解；
（2）利用同角三角函数关系可得，又，利用两角差的正弦公式，即得解
【小问1详解】
因为，且在第二象限，
故，所以，
原式

【小问2详解】
由题意有
故，

19、（1）②；（2）上市天，最低价元
【解析】（1）根据所给的四个函数的单调性，结合表中数据所表示的变化特征进行选择即可；
（2）根据表中数据代入所选函数的解析式，用待定系数法求出解析式，最后利用函数的单调性求出纪念章市场价最低时的上市天数及最低的价格.
【详解】（1）通过表中数据所知纪念章的市场价与上市时间的变化先是递减而后递增，而已知所给的函数中除了②以外，其他函数要么是单调递增，要么是单调递减，要么是常值函数，所以选择②；
（2）由（1）可知选择的函数解析式为：.
函数图象经过点，代入解析式中得：
，
显然当时，函数有最小值，最小值为26.
所以该纪念章时的上市20天时市场价最低，最低的价格26元.
【点睛】本题考查了根据实际问题选择函数模型，考查了函数的单调性的判断，考查了二次函数的单调性及最值，考查了数学运算能力.
20、（1）；（2）100百件
【解析】
（1）根据收益总收入成本，进行分情况讨论，构建出分段函数；
（2）对分段函数每一段进行研究最大值，然后再求出整个函数的最大值.
【详解】解：（1）当时，；
当时，；
；
（2）当时，，当时，；
当时，，
当且仅当，即时，.
年产量为100百件时，该企业获得利润最大，最大利润为1800万元.
【点睛】本题考查了数学建模问题、分段函数最值问题，数学建模要能准确地从题意中抽象出函数模型，分段函数是一个函数，分段不分家，一般需要分情况讨论。
21、（1）
（2）（i）证明见解析；（ii）
【解析】（1）设，然后代点求解即可；
（2）利用定义证明函数在区间上单调递增即可，然后可得在上，，然后可求出t的取值范围
【小问1详解】
设，
则，得，
所以
【小问2详解】
（i）由（1）得
任取，，且，
则

因为，所以，，所以，即
所以函数在上单调递增
（ii）由（i）知在单调递增，
所以在上，
因为在上恒成立，所以，
解得