2026届黑龙江哈尔滨市第十九中学高一数学第一学期期末综合测试试题含解析.doc

2026届黑龙江哈尔滨市第十九中学高一数学第一学期期末综合测试试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石，布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔(L.E.J.Brouwer)，简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的是（ ）
A. B.
C. D.
2．已知函数，若，，，则实数、、的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
3．设平面向量满足，且，则的最大值为
A.2 B.3
C. D.
4．已知，则角的终边所在的象限是（ 　）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
5．设全集，集合，，则=（）
A.Æ B.{2，5}
C.{2，4} D.{4，6}
6．已知直三棱柱的顶点都在球上，且，，，则此直三棱柱的外接球的表面积是（ ）
A. B.
C. D.
7．已知偶函数在区间单调递减，则满足的x取值范围是　　
A. B.
C. D.
8．下列函数中，既是偶函数，又是（0，+∞）上的减函数的是（　　）
A. B.
C. D.
9．已知 , , , 则a,b,c的大小关系是
A. B.
C. D.
10．若集合，则
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率：先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1表示没有击中目标，2，3，4，5，6，7， 8，9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了 20组随机数：
7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698
0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281
根据以上数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为__________
12．一个几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积为__________

13．已知a，b，c是空间中的三条直线，α是空间中的一个平面
①若a⊥c，b⊥c，则a∥b；②若a∥α，b∥α，则a∥b；
③若a∥α，b⊥α，则a⊥b；④若a∥b，a∥α，则b∥α；
说法正确的序号是______
14．化简： =____________
15．若，，且，则的最小值为________
16．已知直线，则与间的距离为___________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．如图，为等边三角形，平面，，，为的中点.

（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求证：平面平面.
18．已知函数
求函数的最小正周期与对称中心；
求函数的单调递增区间
19．函数的部分图像如图所示

（1）求的解析式；
（2）已知函数求的值域
20．函数的部分图象如图：

（1）求解析式；
（2）写出函数在上的单调递减区间.
21．某城市户居民的月平均用电量（单位：度），以，，，，，，分组的频率分布直方图如图

（1）求直方图中的值；
（2）求月平均用电量的众数和中位数；
（3）在月平均用电量为，，，的四组用户中，用分层抽样的方法抽取户居民，则月平均用电量在的用户中应抽取多少户？
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】根据已知定义，将问题转化为方程有解，然后逐项进行求解并判断即可.
【详解】根据定义可知：若有不动点，则有解.
A．令，所以，此时无解，故不是“不动点”函数；
B．令，此时无解，，所以不是“不动点”函数；
C．当时，令，所以或，所以“不动点”函数；
D．令即，此时无解，所以不是“不动点”函数.
故选：C.
2、D
【解析】根据条件判断函数是偶函数，且当时是增函数，结合函数单调性进行比较即可
【详解】函数为偶函数，
当时，为增函数，
，，
，
则（1），
即，
则，
故选：
3、C
【解析】设，
∵，且，
∴
∵，当且仅当与共线同向时等号成立，
∴的最大值为．选C
点睛：
由于向量，且，因此向量确定，这是解题的基础也是关键．然后在此基础上根据向量模的三角不等式可得的范围，解题时要注意等号成立的条件
4、C
【解析】化，可知角的终边所在的象限.
【详解】,
将逆时针旋转即可得到，
角的终边在第三象限.
故选：C
【点睛】本题主要考查了象限角的概念，属于容易题.
5、D
【解析】由补集、交集的定义，运算即可得解.
【详解】因为，，所以，
又，所以.
故选：D.
6、C
【解析】设点为外接圆的圆心，根据，得到是等边三角形，求得外接圆的半径r，再根据直三棱柱的顶点都在球上，由求得，直三棱柱的外接球的半径即可.
【详解】如图所示：

设点为外接圆的圆心，
因为，
所以，又，
所以等边三角形，
所以，
又直三棱柱的顶点都在球上，
所以外接球的半径为，
所以直三棱柱的外接球的表面积是，
故选：C
7、D
【解析】根据题意，结合函数的奇偶性与单调性分析可得，解不等式可得x的取值范围，即可得答案
【详解】根据题意，偶函数在区间单调递减，则在上为增函数，
则，
解可得：，
即x的取值范围是；
故选D
【点睛】本题考查函数奇偶性与单调性综合应用，注意将转化为关于x不等式，属于基础题
8、D
【解析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．
【详解】解：根据题意，依次分析选项：
对于，是奇函数，不符合题意；
对于，，是指数函数，不是偶函数，不符合题意；
对于，，是偶函数，但在上是增函数，不符合题意；
对于，，为开口向下的二次函数，既是偶函数，又是上的减函数，符合题意；
故选．
【点睛】本题考查函数单调性与奇偶性的判断，关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性，属于基础题．
9、A
【解析】根据对数函数的性质，确定的范围，即可得出结果.
【详解】因为单调递增，所以，又，
所以.
故选A
【点睛】本题主要考查对数的性质，熟记对数的性质，即可比较大小，属于基础题型.
10、D
【解析】详解】集合，
所以.
故选D.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】根据数据统计击中目标的次数，再用古典概型概率公式求解.
【详解】由数据得射击4次至少击中3次的次数有15，
所以射击4次至少击中3次的概率为.
故答案为：
【点睛】本题考查古典概型概率公式，考查基本分析求解能力，属基础题.
12、
【解析】几何体为一个圆锥与一个棱柱的组合体, 体积为
13、③
【解析】根据空间线面位置关系的定义，性质判断或举反例说明
【详解】对于①，若a，b为平面α的直线，c⊥α，则a⊥c，b⊥c，但a∥b不一定成立，故①错误；
对于②，若a∥α，b∥α，则a，b的关系不确定，故②错误；
对于③，不妨设a在α上的射影为a′，则a′⊂α，a∥a′，
由b⊥α可得b⊥a′，于是a⊥b，故③正确；
对于④，若b⊂α，显然结论不成立，故④错误.
故答案为③
【点睛】本题考查了空间线面位置关系的判断，属于中档题，
14、
【解析】利用三角函数的平方关系式，化简求解即可
【详解】===
又，所以，所以=，
故填：
【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系式的应用，三角函数的化简求值，考查计算能力
15、4
【解析】应用基本不等式“1”的代换求最小值即可，注意等号成立的条件.
【详解】由题设，知：当且仅当时等号成立.
故答案为：4.
16、
【解析】根据平行线间距离直接计算.
【详解】由已知可得两直线互相平行，故，
故答案为：.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、 (1)见解析(2)见解析
【解析】（Ⅰ）取的中点，连结，由三角形中位线定理可得，，结合已知，可得四边形为平行四边形，得到，由线面平行的判定可得平面；（Ⅱ）由线面垂直的性质可得平面，得到，再由为等边三角形，得，结合线面垂直的判定可得平面，再由面面垂直的判定可得面面
【详解】（Ⅰ）证明：取的中点，连结
∵在中，，
∵， ∴，
∴四边形为平行四边形 ∴
又∵平面 ∴平面
（Ⅱ）证：∵面，平面，∴，
又∵为等边三角形，∴，
又∵，∴平面，
又∵，∴面，
又∵面，∴面面

18、（1）最小正周期，对称中心为；（2）
【解析】直接利用三角函数关系式的恒等变变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的最小正周期和对称中心；直接利用整体思想求出函数的单调递增区间
【详解】函数，
，
，
所以函数的最小正周期为，
令：，解得：，
所以函数的对称中心为
由于，
令：，
解得：，
所以函数的单调递增区间为
【点睛】本题主要考查了三角函数的化简，以及函数的性质，属于基础题，强调基础的重要性，是高考中的常考知识点；对于三角函数解答题
19、（1）
（2）
【解析】(1)根据图像和“五点法”即可求出三角函数的解析式；
(2)根据三角恒等变换可得，结合x的取值范围和正弦函数的性质即可得出结果.
小问1详解】
由图像可知的最大值是1，所以，
当时，，
可得，又，所以
当时，有最小值，
所以，解得，
所以；
【小问2详解】

，
由可得
所以，所以.
20、（1）
（2）
【解析】（1）根据图象求得，从而求得解析式.
（2）利用整体代入法求得在区间上的单调递减区间.
【小问1详解】
由图象知，所以，又过点，
令，由于，故所以.
【小问2详解】
由，
可得，
当时，
故函数在上的单调递减区间为.
21、（1）；（2），；（3）
【解析】（1）由直方图的性质可得（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）×20=1，解方程可得；（2）由直方图中众数为最高矩形上端的中点可得，可得中位数在[220，240）内，设中位数为a，解方程（0.002+0.0095+0.011）×20+0.0125×（a-220）=0.5可得；（3）可得各段的用户分别为25，15，10，5，可得抽取比例，可得要抽取的户数
试题解析：(1)由直方图的性质可得(0.002＋0.0095＋0.011＋0.0125＋x＋0.005＋0.0025)×20＝1得：
x＝0.0075，所以直方图中x的值是0.0075.------------- 3分
(2)月平均用电量的众数是＝230.------------- 5分
因为(0.002＋0.0095＋0.011)×20＝0.45<0.5，所以月平均用电量的中位数在[220,240)内，
设中位数为a，
由(0.002＋0.0095＋0.011)×20＋0.0125×(a－220)＝0.5
得：a＝224，所以月平均用电量的中位数是224.------------ 8分
(3)月平均用电量为[220,240)的用户有0.0125×20×100＝25户，
月平均用电量为[240,260)的用户有0.0075×20×100＝15户，
月平均用电量为[260,280)的用户有0.005×20×100＝10户，
月平均用电量为[280,300]的用户有0.0025×20×100＝5户， -------------10分
抽取比例＝＝，所以月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取25×＝5户．-- 12分
考点：频率分布直方图及分层抽样