广东省揭阳市惠来一中2025年数学高一第一学期期末学业水平测试试题含解析.doc

广东省揭阳市惠来一中2025年数学高一第一学期期末学业水平测试试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．如图中,分别是正三棱柱(两底面为正三角形的直棱柱)的顶点或所在棱的中点，则表示直线是异面直线的图形有（）

A.①③ B.②③
C.②④ D.②③④
2．已知的定义域为，则函数的定义域为
A. B.
C. D.
3．若－4<x<1，则（）
A.有最小值1 B.有最大值1
C.有最小值－1 D.有最大值－1
4．一个球的表面积是，那么这个球的体积为
A. B.
C. D.
5．已知三个顶点的坐标分别为，，，则外接圆的标准方程为（）
A. B.
C. D.
6．已知集合A={1，2，3，4}，B={x∈R|0<x-1<3}，则A∩B=（ ）
A. B.{2，3}
C.{1，2，3} D.{2，3，4}
7．一几何体的直观图如右图，下列给出的四个俯视图中正确的是（）

A. B.
C. D.
8．将函数的图象向右平移个的单位长度，再将所得到的函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍（纵坐标不变），则所得到的图象的函数解析式为
A. B.
C. D.
9．如图，以为直径在正方形内部作半圆，为半圆上与不重合的一动点，下面关于的说法正确的是

A.无最大值，但有最小值
B.既有最大值，又有最小值
C.有最大值，但无最小值
D.既无最大值，又无最小值
10．若集合，则（）
A.或 B.或
C.或 D.或
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．设函数，若不存在，使得与同时成立，则实数a的取值范围是________.
12．命题“，”的否定形式为__________________________.
13．已知，则___________.
14．的值为__________
15．已知函数则_______.
16．命题“”的否定是__________
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17． “活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点，研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度（单位：千克/年）是养殖密度（单位：尾/立方米）的函数.当不超过4尾/立方米时，的值为2千克/年：当时，是的一次函数，当达到20尾/立方米时，因缺氧等原因，的值为0千克/年.
（1）当时，求关于的函数解析式；
（2）当养殖密度为多大时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）可以达到最大？并求出最大值.
18．为了在冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层、某栋房屋要建造能使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层的建造成本是6万元，该栋房屋每年的能源消耗费用C（万元）与隔热层厚度x（厘米）满足关系式：，若无隔热层，则每年能源消耗费用为5万元.设为隔热层建造费用与使用20年的能源消耗费用之和.
（1）求和的表达式；
（2）当隔热层修建多少厘米厚时，总费用最小，并求出最小值.
19．设，，.
（1）若，求；
（2）若是的充分不必要条件，求的取值范围.
20．已知函数
（Ⅰ）求函数的单调递减区间；
（Ⅱ）若函数的图象向右平移个单位长度后，所得的图象对应的函数为，且当，时，，求的值
21．已知二次函数的图象关于直线对称，且关于x的方程有两个相等的实数根
（1）求函数的值域；
（2）若函数（且）在上有最小值﹣2，最大值7，求a的值
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】对于①③可证出，两条直线平行一定共面，即可判断直线与共面；
对于②④可证三点共面，但平面；三点共面，但平面，即可判断直线与异面.
【详解】由题意，可知题图①中，，因此直线与共面；
题图②中，三点共面，但平面，因此直线与异面；
题图③中，连接，则，因此直线与共面；
题图④中，连接，三点共面，但平面，
所以直线与异面.
故选C.
【点睛】本题主要考查异面直线的定义，属于基础题.
2、B
【解析】因为函数的定义域为，故函数有意义只需即可，解得，选B
考点：1、函数的定义域的概念；2、复合函数求定义域
3、D
【解析】先将转化为，根据－4<x<1，利用基本不等式求解.
【详解】
又∵－4<x<1，
∴x－1<0
∴－(x－1)>0
∴．当且仅当x－1＝，即x＝0时等号成立
故选：D
【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，还考查了转化求解问题的能力，属于基础题.
4、B
【解析】先求球半径，再求球体积.
【详解】因为，所以,选B.
【点睛】本题考查球表面积与体积，考查基本求解能力，属基础题.
5、C
【解析】先判断出是直角三角形，直接求出圆心和半径，即可求解.
【详解】因为三个顶点的坐标分别为，，，
所以，所以，
所以是直角三角形，所以的外接圆是以线段为直径的圆，
所以圆心坐标为，半径
故所求圆的标准方程为
故选：C
6、B
【解析】求解一元一次不等式化简，再由交集运算得答案
【详解】解：，2，3，，
，
，2，3，，
故选：
7、B
【解析】通过几何体结合三视图的画图方法，判断选项即可
【详解】解：几何体的俯视图，轮廓是矩形，几何体的上部的棱都是可见线段，所以C、D不正确；几何体的上部的棱与正视图方向垂直，所以A不正确，
故选B
【点睛】本题考查三视图的画法，几何体的结构特征是解题的关键
8、A
【解析】由题意利用函数的图象变换法则，即可得出结论
【详解】将函数的图象向右平移个的单位长度，可得的图象，再将所得到的函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），则所得到的图象的函数解析式为，故选
【点睛】本题主要考查函数的图象变换法则，注意对的影响
9、D
【解析】设正方形的边长为2，如图建立平面直角坐标系，

则D（-1，2），P（cosθ，sinθ），（其中0＜θ＜π）
,
∵cosθ∈（-1，1），∴∈（4，16）.
故选D.
点睛：本题考查了向量的加法及向量模的计算，利用建系的方法，引入三角函数来解决使得思路清晰，计算简便，遇见正方形，圆，等边三角形，直角三角形等特殊图形常用建系的方法.
10、B
【解析】根据补集的定义，即可求得的补集.
【详解】∵，∴或，
故选：B
【点睛】本小题主要考查补集的概念和运算，属于基础题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、.
【解析】当恒成立，不存在使得与同时成立，当时，恒成立，则需时，恒成立，只需时，，
对的对称轴分类讨论，即可求解.
【详解】若时，恒成立，
不存使得与同时成立，
则时，恒成立，
即时，，
对称轴为，
当时，即，
解得，
当，即为抛物线顶点的纵坐标，
，只需，
.
若恒成立，不存在
使得与同时成立，
综上，的取值范围是.
故答案为:.
【点睛】本题考查了二次函数和一次函数的图像和性质，不等式恒成立和能成立问题的解法，考查分类讨论和转化化归的思想方法，属于较难题.
12、##
【解析】根据全称量词命题的否定直接得出结果.
【详解】命题“”的否定为：
，
故答案为：
13、##-0.75
【解析】将代入函数解析式计算即可.
【详解】令，则，
所以.
故答案为：
14、
【解析】根据特殊角的三角函数值与对数的运算性质计算可得；
【详解】解：
故答案为：
15、
【解析】根据分段函数解析式，由内而外，逐步计算， 即可得出结果.
【详解】∵，，
则
∴.
故答案为：.
16、
【解析】特称命题的否定.
【详解】命题“”的否定是
【点睛】本题考查特称命题的否定,属于基础题; 对于含有量词的命题的否定要注意两点:一是要改换量词,即把全称(特称)量词改为特称(全称)量词,二是注意要把命题进行否定.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大为千克/立方米.
【解析】（1）由题意：当时，．当时，设，在，是减函数，由已知得，能求出函数
（2）依题意并由（1），，根据分段函数的性质求出各段的最大值，再取两者中较大的即可，由此能求出结果
【详解】解：（1）由题意：当时，
当时，设，显然在，减函数，
由已知得，
解得，，
故函数
（2）依题意并由（1）得，
当时，为增函数，
且
当时，，

所以，当时，的最大值为12.5
当养殖密度为10尾立方米时，
鱼年生长量可以达到最大，最大值约为12.5千克立方米
【点睛】(1)很多实际问题中，变量间关系不能用一个关系式给出，这时就需要构建分段函数模型.
(2)求函数最值常利用基本不等式法、导数法、函数的单调性等方法．在求分段函数的最值时，应先求每一段上的最值，然后比较得最大值、最小值
18、（1），
（2）隔热层修建4厘米厚时，总费用达到最小值，最小值为64万元
【解析】(1)由已知，又不建隔热层，每年能源消耗费用为5万元．所以可得C（0）＝5，由此可求，进而得到．由已知建造费用为6x，根据隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f（x），可得f（x）的表达式
(2)由(1)中所求的f（x）的表达式，利用基本不等式求出总费用f（x）的最小值
【小问1详解】
因为，
若无隔热层，则每年能源消耗费用为5万元，所以，故，
因为为隔热层建造费用与使用20年的能源消耗费用之和，
所以.
【小问2详解】
，
当且仅当，即时，等号成立，
即隔热层修建4厘米厚时，总费用达到最小值，最小值为64万元.
19、（1）或；（2）.
【解析】（1）先得出集合A，利用并集定义求出，再由补集定义即可求出；
（2）由题可得集合是集合的真子集，则可列出不等式组求出.
【详解】解：（1）当时，，又，
所以，所以或；
（2）由是的充分不必要条件，可知集合是集合的真子集.
又因为，，，
所以，解得，
当时，，符合要求；
当时，，符合要求，
所以实数的取值范围是.
【点睛】结论点睛：本题考查根据充分不必要条件求参数，一般可根据如下规则判断：
（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；
（2）若是的充分不必要条件，则对应集合是对应集合的真子集；
（3）若是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；
（4）若是的既不充分又不必要条件，则对应的集合与对应集合互不包含
20、（Ⅰ），；（Ⅱ）.
【解析】Ⅰ由三角函数的单调性可得函数的单调递减区间；Ⅱ由三角函数图象的平移得的解析式，由诱导公式及角的范围得：，所以，代入运算得解
【详解】Ⅰ由，
解得：，
即函数的单调递减区间为：，；
Ⅱ将函数的图象向右平移个单位长度后，所得的图象对应的函数为，
得，
又，即，
由，，
得：，，
由诱导公式可得，
所以，
所以，
【点睛】本题考查了三角函数的单调性及三角函数图象的平移变换，涉及到诱导公式的应用及三角函数求值问题，属于中档题
21、（1）
（2）或
【解析】（1）根据对称轴以及判别式等于得出，再由基本不等式得出函数的值域；
（2）利用换元法结合对数函数以及二次函数的单调性得出a的值
【小问1详解】
依题意得，
因为，所以，
解得，，故，，
当时，，当且仅当，即时，等号成立
当时，，当且仅当，即时，等号成立
故的值域为
【小问2详解】
，
令，则
①当时，，因，所以，解得
因为，所以，解得或（舍去）
②当时，，因为，所以，解得
，解得或（舍去）
综上，a的值为或