2026届福建省泉州市晋江四校数学高一第一学期期末综合测试试题含解析.doc

2026届福建省泉州市晋江四校数学高一第一学期期末综合测试试题
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．三个数，，的大小顺序是　　
A. B.
C. D.
2．下列关于函数，的单调性的叙述，正确的是（）
A.在上是增函数，在上是减函数
B.在和上是增函数，在上是减函数
C.在上是增函数，在上是减函数
D.在上是增函数，在和上是减函数
3．已知a，b，，那么下列命题中正确的是（）
A.若，则 B.若，则
C.若，，则 D.若，，则
4．已知集合,则 (     )
A. B.
C. D.
5．函数的一个零点所在的区间是(　 )
A. B.
C. D.
6．若,则 的值为
A. B.
C. D.
7．如图，已知的直观图是一个直角边长是1的等腰直角三角形，那么的面积是

A. B.
C.1 D.
8．函数的图象的横坐标和纵坐标同时扩大为原来的3倍，再将图象向右平移3个单位长度，所得图象的函数解析式为
A. B.
C. D.
9．设集合，则（ ）
A.{1，3} B.{3，5}
C.{5，7} D.{1，7}
10．函数的图像恒过定点，点在幂函数的图像上，则（）
A.16 B.8
C.4 D.2
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知函数的两个零点分别为，则___________.
12．《九章算术》中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.已知阳马，底面，，，，则此阳马的外接球的表面积为______.
13．设，，则______
14．已知函数若，则实数___________.
15．已知，且.
（1）求的值；
（2）求的值.
16．已知，，则_________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．函数f（x）=Asin（2ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示
（1）求A，ω，φ的值；
（2）求图中a，b的值及函数f（x）的递增区间；
（3）若α∈[0，π]，且f（α）=，求α的值

18．已知函数，，.若不等式的解集为
（1）求的值及；
（2）判断函数在区间上的单调性，并利用定义证明你的结论
（3）已知且，若.试证：.
19．已知直线经过点
（1）若点在直线上，求直线的方程；
（2）若直线与直线平行，求直线的方程
20．已知扇形的周长为30
（1）若该扇形的半径为10，求该扇形的圆心角，弧长及面积;
（2）求该扇形面积的最大值及此时扇形的半径 .
21．如图在三棱锥中， 分别为棱的中点，已知.

求证：（1）直线平面；
（2）平面 平面.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】由指数函数和对数函数单调性得出范围，从而得出结果
【详解】，，；

故选A
【点睛】本题考查指数函数和对数函数的单调性，熟记函数性质是解题的关键，是基础题.
2、D
【解析】根据正弦函数的单调性即可求解
【详解】解：因为的单调递增区间为，，，单调递减区间为，，，
又，，
所以函数在，上是增函数，在，和，上是减函数，
故选：D
3、C
【解析】根据不等式的性质或通过举反例，对四个选项进行分析
【详解】．若，当时，，所以不成立；
．若，当时，则，所以不成立；
．因为，将两边同除以，则，所以成立
．若且，当时，则，所以，则不成立
故选：
4、B
【解析】直接利用两个集合的交集的定义求得M∩N
【详解】集合M={x|x+1≥0}={x|x≥-1}，N={x|x2＜4}={x|-2＜x＜2}，则M∩N={x|-1≤x＜2}，故选B
【点睛】本题主要考查两个集合的交集的定义和求法，属于基础题
5、B
【解析】先求出根据零点存在性定理得解.
【详解】由题得，
，
所以
所以函数一个零点所在的区间是.
故选B
【点睛】本题主要考查零点存在性定理，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.
6、B
【解析】根据诱导公式将原式化简为，分子分母同除以，即可求出结果.
【详解】因为，又，
所以原式.
故选B
【点睛】本题主要考查诱导公式和同角三角函数基本关系，熟记公式即可，属于基础题型.
7、D
【解析】根据斜二测画法的基本原理，将平面直观图与还原为原几何图形，利用三角形面积公式可得结果.
【详解】平面直观图与其原图形如图，

直观图是直角边长为的等腰直角三角形，
还原回原图形后，边还原为长度不变，仍为，
直观图中的在原图形中还原为长度，且长度为，
所以原图形的面积为，故选D.
【点睛】本题主要考查直观图还原几何图形，属于简单题.利用斜二测画法作直观图，主要注意两点：一是与轴平行的线段仍然与与轴平行且相等；二是与轴平行的线段仍然与轴平行且长度减半.
8、D
【解析】函数的图像的横坐标和纵坐标同时扩大为原来的3倍，所得图像的解析式为，再向右平移3个单位长度，所得图像的解析式为，选D.
9、B
【解析】先求出集合B，再求两集合的交集
【详解】由，得，解得，
所以，
因为
所以
故选：B
10、A
【解析】利用恒等式可得定点P，代入幂函数可得解析式，然后可得.
【详解】当时，，
所以函数的图像恒过定点
记，则有，解得
所以.
故选：A

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】依题意方程有两个不相等实数根、，利用韦达定理计算可得；
【详解】解：依题意令，即，
所以方程有两个不相等实数根、，
所以，，
所以；
故答案为：
12、
【解析】将该几何体放入长方体中，即可求得外接球的半径，再由球的表面积公式即可得解.
【详解】将该几何体放入长方体中，如图，

易知该长方体的长、宽、高分别为、、，
所以该几何体的外接球半径，
所以该球的表面积.
故答案为：.
13、
【解析】由，根据两角差的正切公式可解得
【详解】，故答案为
【点睛】本题主要考查了两角差的正切公式的应用，属于基础知识的考查
14、2
【解析】先计算，再计算即得解.
【详解】解：，所以.
故答案为：2
15、（1）
（2）
【解析】(1)根据，之间的关系，平方后求值即可；
（2）利用诱导公式化简后，再根据同角三角函数间关系求解.
【小问1详解】
∵
∴，

.
【小问2详解】
由,
可得或（舍），
原式,
∴原式.
16、
【解析】利用两角差的正切公式可计算出的值.
【详解】由两角差的正切公式得.
故答案为：.
【点睛】本题考查利用两角差的正切公式求值，解题的关键就是弄清角与角之间的关系，考查计算能力，属于基础题.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2），递增区间为；（3）或.
【解析】（1）利用函数图像可直接得出周期T和A，再利用，求出，
然后利用待定系数法直接得出的值
（2）通过第一问求得的值可得到的函数解析式，令，再根据a的位置确定出a的值；令得到的函数值即为b的值；利用正弦函数单调增区间即可求出函数的单调增区间
（3）令结合即可求得的取值
【详解】解：（1）由图象知A=2，=-（-）=，
得T=π，
即=2，得ω=1，
又f（-）=2sin[2×（-）+φ]=-2，
得sin（-+φ）=-1，
即-+φ=-+2kπ，
即ω=+2kπ，k∈Z，
∵|φ|＜，
∴当k=0时，φ=，
即A=2，ω=1，φ=；
（2）a=--=--=-，
b=f（0）=2sin=2×=1，
∵f（x）=2sin（2x+），
∴由2kπ-≤2x+≤2kπ+，k∈Z，
得kπ-≤x≤kπ+，k∈Z，
即函数f（x）的递增区间为[kπ-，kπ+]，k∈Z；
（3）∵f（α）=2sin（2α+）=，
即sin（2α+）=，
∵α∈[0，π]，
∴2α+∈[，]，
∴2α+=或，
∴α=或α=
【点睛】关于三角函数图像需记住：
两对称轴之间的距离为半个周期；
相邻对称轴心之间的距离为半个周期；
相邻对称轴和对称中心之间的距离为个周期
关于正弦函数单调区间要掌握：
当时，函数单调递增；
当时，函数单调递减
18、（1）；
（2）函数在区间上的单调递增，证明见解析
（3）见解析
【解析】（1）根据二次不等式的解集可以得到二次函数的零点，回代即可求出参数的值
（2）定义法证明单调性，假设，若，则单调递增，若，则单调递减
（3）单调性的逆应用，可以通过证明函数值的大小，反推变量的大小，难度较大
【小问1详解】
，即，因不等式解集为，所以，解得： ，所以
【小问2详解】
函数在区间上的单调递增，证明如下：
假设，则
，
因为，所以，所以，即当时，，所以函数在区间上的单调递增
【小问3详解】
由（2）可得：函数在区间上的单调递增， 在区间上的单调递减，因为，且，，所以，，
证明，即证明，即证明，因为，所以即证明，代入解析式得：，即
，令，因为在区间上的单调递增，根据复合函数同增异减的性质可知，在区间上的单调递减，所以单调递增，即，所以在区间上恒成立，即，得证：
【点睛】小问1求解析式，较易；小问2考察定义法证明单调性，按照常规方法求解即可；小问3难度较大，解题过程中应用到以下知识点：
（1）可以通过证明函数值的大小，结合函数的单调性，反推出变量的大小，即若，且单减，则；解题过程
（2）单调性的性质，复合函数同增异减以及增函数减去减函数为增函数
19、（1）
（2）
【解析】（1）利用两点式求得直线的方程.
（2）利用点斜式求得直线的方程.
【小问1详解】
∵直线经过点，且点在直线上，
∴由两点式方程得，即，
∴直线的方程为
【小问2详解】
若直线与直线平行，则直线的斜率为，
∵直线经过点，
∴直线的方程为，即
20、（1），，；
（2），.
【解析】（1）利用弧长公式，扇形面积公式即得；
（2）由题可得，然后利用基本不等式即求.
【小问1详解】
由题知扇形的半径，扇形的周长为30，
∴，
∴，，.
【小问2详解】
设扇形的圆心角，弧长，半径为，则，
∴，
∴
当且仅当，即取等号，
所以该扇形面积的最大值为，此时扇形的半径为.
21、 (1)证明见解析；（2）证明见解析
【解析】（1）本题证明线面平行，根据其判定定理，需要在平面内找到一条与平行的直线，由于题中中点较多，容易看出，然后要交待在平面外，在平面内，即可证得结论；（2）要证两平面垂直，一般要证明一个平面内有一条直线与另一个平面垂直，由（1）可得，因此考虑能否证明与平面内的另一条与相交的直线垂直，由已知三条线段的长度，可用勾股定理证明，因此要找的两条相交直线就是，由此可得线面垂直.
【详解】（1）由于分别是的中点，则有，又平面，平面，所以平面
（2）由（1），又，所以，又是中点，所以，，又，所以，所以，是平面内两条相交直线，所以平面，又平面，所以平面平面
【考点】线面平行与面面垂直