福建省上杭县第一中学等六校2025年数学高一上期末学业水平测试模拟试题含解析.doc

福建省上杭县第一中学等六校2025年数学高一上期末学业水平测试模拟试题
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．设是周期为的奇函数，当时， ，则
A. B.
C. D.
2．已知点P(3,4) 在角的终边上，则的值为（）
A B.
C. D.
3．已知函数，则下列判断正确的是
A.函数是奇函数，且在R上是增函数
B.函数偶函数，且在R上是增函数
C.函数是奇函数，且在R上是减函数
D.函数是偶函数，且在R上是减函数
4．若方程表示圆，则实数的取值范围为（）
A. B.
C. D.
5．给出下列四个命题：
①若，则对任意的非零向量，都有
②若，，则
③若，，则
④对任意向量都有
其中正确的命题个数是（ ）
A.3 B.2
C.1 D.0
6．已知，且，则
A. B.
C. D.
7．函数取最小值时的值为（ ）
A.6 B.2
C. D.
8．若，，，则
A B.
C. D.
9．定义运算：，则函数的图像是（ ）
A. B.
C. D.
10．给定函数：①；②；③；④，其中在区间上单调递减的函数序号是（）
A.①② B.②③
C.③④ D.①④
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．函数的定义域是___________，若在定义域上是单调递增函数，则实数的取值范围是___________
12．若点在函数的图象上，则的值为______.
13．能说明命题“如果函数与的对应关系和值域都相同，那么函数和是同一函数”为假命题的一组函数可以是________________，________________
14．若函数过点，则的解集为___________.
15．已知函数，则的值是________
16．已知向量满足，且，则与的夹角为_______
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知，，且
（1）求函数的解析式；
（2）当时，的最小值是，求此时函数的最大值，并求出函数取得最大值时自变量的值
18．已知函数.
（1）若且的最小值为，求不等式的解集；
（2）若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
19．已知函数是上的奇函数.
（1）求的值；
（2）比较与0的大小，并说明理由.
20．已知θ是第二象限角，，求：
（1）；
（2）
21．某地政府为增加农民收人，根据当地地域特点，积极发展农产品加工业.经过市场调查，加工某农产品需投入固定成本3万元，每加工吨该农产品，需另投入成本万元，且已知加工后的该农产品每吨售价为10万元，且加工后的该农产品能全部销售完.
（1）求加工后该农产品的利润（万元）与加工量（吨）的函数关系式；
（2）求加工后的该农产品利润的最大值.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】根据f（x）是奇函数可得f（﹣）=﹣f（），再根据f（x）是周期函数，周期为2，可得f（）=f（﹣4）=f（），再代入0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣x），进行求解.
【详解】∵设f（x）是周期为2的奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），
∵f（﹣）=﹣f（），∵T=2，∴f（）= f（﹣4）=f（），
∵当0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣x），∴f（）=2×（1﹣）=，
∴f（﹣）=﹣f（）=﹣f（）=﹣，
故选A
【点睛】此题主要考查周期函数和奇函数的性质及其应用，注意所求值需要利用周期进行调节，此题是一道基础题.
2、D
【解析】利用三角函数的定义即可求出答案.
【详解】因为点P(3,4) 在角的终边上,所以,
,
故选:D
【点睛】本题考查了三角函数的定义,三角函数诱导公式,属于基础题.
3、A
【解析】求出的定义域，判断的奇偶性和单调性，进而可得解.
【详解】的定义域为R，且；
∴是奇函数；
又和都是R上的增函数；
是R上的增函数
故选A
【点睛】本题考查奇偶性的判断，考查了指数函数的单调性，属于基础题
4、D
【解析】将方程化为标准式即可.
【详解】方程化为标准式得
，则.
故选：D.
5、D
【解析】对于①，当两向量垂直时，才有；对于②，当两向量垂直时，有，但不一定成立；对于③，当，时，可以是任意向量；对于④，当向量都为零向量时，
【详解】解：对于①，因为，，所以当两向量垂直时，才有，所以 ①错误；
对于②，因为，，所以或，所以②错误；
对于③，因为，所以，所以可以是任意向量，不一定是相等向量，所以③错误；
对于④，当时，，所以④错误，
故选：D
6、A
【解析】由条件利用两角和的正切公式求得tanα的值，再利用同角三角函数的基本关系与二倍角公式，求得的值
【详解】解：∵tan（α），则tanα，
∵tanα，sin2α+cos2α＝1，α∈（，0），
可得 sinα
∴
2sinα＝2（）
故选A
点睛】本题主要考查两角和的正切公式的应用，同角三角函数的基本关系，二倍角公式，考查计算能力，属于基础题
7、B
【解析】变形为，再根据基本不等式可得结果.
【详解】因为，所以，
所以，
当且仅当且，即时等号成立.
故选：B
【点睛】本题考查了利用基本不等式求最值时，取等号的条件，属于基础题.
8、B
【解析】利用指数函数与对数函数的单调性分别求出的范围，即可得结果.
【详解】根据指数函数的单调性可得，
根据对数函数的单调性可得
,
则，故选B.
【点睛】本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于中档题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间 ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.
9、A
【解析】先求解析式，再判断即可
详解】由题意
故选：A
【点睛】本题考查函数图像的识别，考查指数函数性质，是基础题
10、B
【解析】①，为幂函数，且的指数，在上为增函数；②，，为对数型函数，且底数，在上为减函数；③，在上为减函数，④为指数型函数，底数在上为增函数，可得解.
【详解】①，为幂函数，且的指数，在上为增函数，故①不可选；
②，，为对数型函数，且底数，在上为减函数，故②可选；
③，在上为减函数，在上为增函数，故③可选；
④为指数型函数，底数在上为增函数，故④不可选；
综上所述，可选的序号为②③，
故选B.
【点睛】本题考查基本初等函数的单调性，熟悉基本初等函数的解析式、图像和性质是解决此类问题的关键，属于基础题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、 ①.## ②.
【解析】根据对数函数的定义域求出x的取值范围即可；结合对数复合型函数的单调性与一次函数的单调性即可得出结果.
【详解】由题意知，，得，
即函数的定义域为；
又函数在定义域上单调增函数，
而函数在上单调递减，
所以函数为减函数，
故.
故答案为：；
12、
【解析】将点代入函数解析式可得的值，再求三角函数值即可.
【详解】因为点在函数的图象上，所以，解得，
所以，
故答案为：.
13、 ①. ②.（答案不唯一）；
【解析】根据所学函数，取特例即可.
【详解】根据所学过过的函数，可取，，
函数的对应法则相同，值域都为，
但函数定义域不同，是不同的函数，故命题为假.
故答案为：；
14、
【解析】由函数过点可求得参数a的值，进而解对数不等式即可解决.
详解】由函数过点可得，
，则，即，此时
由可得即
故答案为：
15、-1
【解析】利用分段函数的解析式，代入即可求解.
【详解】解：因为，
则.
故答案为：-1
16、##
【解析】根据平面向量的夹角公式即可求出
【详解】设与的夹角为，由夹角余弦公式，解得
故答案为：

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）（2）
【解析】（1）由向量的数量积运算代入点的坐标得到三角函数式，运用三角函数基本公式化简为的形式；（2）由定义域可得到的范围，结合函数单调性求得函数最值及对应的自变量值
试题解析：（1）
即

（2）由， ， ，
，
，
此时，
考点：1．向量的数量积运算；2．三角函数化简及三角函数性质
18、（1）；
（2）.
【解析】（1）利用二次函数的最值可求得正数的值，再利用二次不等式的解法解不等式，即可得解；
（2）令，根据题意可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.
【小问1详解】
解：的图象是对称轴为，开口向上的抛物线，
所以，，因为，解得，
由得，即，得，
因此，不等式的解集为.
【小问2详解】
解：由得，设函数，
因为函数的图象是开口向上的抛物线，
要使当时，不等式恒成立，即在上恒成立，
则，可得，解得.
19、（1）；
（2）
【解析】（1）由奇函数的性质列式求解；（2）先判断函数的单调性，然后求解，利用单调性与奇偶性即可判断出.
【小问1详解】
因为是上的奇函数，
所以，得
时，，
满足为奇函数，所以.
【小问2详解】
设，则，
因，所以，
所以，即，
所以函数在上为增函数，又因为为上的奇函数，
所以函数在上为增函数，
因为，
即，所以，
因为是上的奇函数，所以，
所以
【点睛】判断复合函数的单调性时，一般利用换元法，分别判断内函数与外函数的单调性，再由同增异减的性质判断出复合函数的单调性.
20、（1）；（2）.
【解析】（1）由，求得，结合三角函数基本关系式，即可求解；
（2）由（1）知，根据三角函数的基本关系式和诱导公式，化简为齐次式，即可求解.
【详解】（1）由题意，角是第二象限角，且，
可得，可得，所以，
所以，
因为是第二象限角，可得.
（2）由（1）知，
又由
.
21、（1）
（2）最大值6万元
【解析】（1）根据该农产品每吨售价为10万元，需投入固定成本3万元，每加工吨该农产品，需另投入成本万元求解；
（2）根据（1）的结论，分和，利用二次函数和基本不等式求解.
【小问1详解】
解：当时，.
当时，.
故加工后该农产品的利润（万元）与加工量（吨）的函数关系式为：
【小问2详解】
当时，，
所以时，取得最大值5万元；
当时，因为，当且仅当时，等号成立，
所以当时，取得最大值6万元，
因为，所以当时，取得最大值6万元.