山东省青岛市黄岛区2025年高一上数学期末学业水平测试试题含解析.doc

山东省青岛市黄岛区2025年高一上数学期末学业水平测试试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知，且，对任意的实数，函数不可能
A.是奇函数 B.是偶函数
C.既是奇函数又是偶函数 D.既不是奇函数又不是偶函数
2．若，，则角的终边在（）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
3．函数的零点一定位于区间（ ）
A. B.
C. D.
4．命题：“，”的否定是（）
A.， B.，
C.， D.，
5．各侧棱长都相等，底面是正多边形的棱锥称为正棱锥，正三棱锥的侧棱长为，侧面都是直角三角形，且四个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）
A. B.
C. D.
6．心理学家有时用函数测定在时间t（单位：min）内能够记忆的量L，其中A表示需要记忆的量，k表示记忆率．假设一个学生需要记忆的量为200个单词，此时L表示在时间t内该生能够记忆的单词个数．已知该生在5min内能够记忆20个单词，则k的值约为（，）
A.0.021 B.0.221
C.0.461 D.0.661
7．已知集合，a=3．则下列关系式成立的是
A.aA
B.aA
C.{a}A
D.{a}∈A
8．若是第二象限角，则点在 （　　）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
9．为了得到函数的图象，可以将函数的图象
A.向右平移个单位 B.向左平移个单位
C.向右平移个单位 D.向左平移个单位
10．若是圆的弦，的中点是(－1，2)，则直线的方程是（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．函数的定义域为__________
12．若关于的方程的一个根在区间上，另一个根在区间上，则实数的取值范围是__________
13．若幂函数是偶函数，则___________.
14．已知函数，若，则的取值范围是__________
15．已知任何一个正实数都可以表示成，则的取值范围是________________；的位数是________________．（参考数据）
16．若a∈{1，a2﹣2a+2}，则实数a的值为___________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．如图，在平面直角坐标系中，角，的始边均为轴正半轴，终边分别与圆交于，两点，若，，且点的坐标为

（1）若，求实数的值；
（2）若，求的值
18．已知函数
（1）求的值
（2）求函数的最小正周期及其图像的对称轴方程
（3）对于任意，均有成立，求实数的取值范围
19．某种放射性元素的原子数随时间的变化规律是，其中是正的常数，为自然对数的底数.
（1）判断函数是增函数还是减函数；
（2）把表示成原子数的函数.
20．近年来，我国在航天领域取得了巨大成就，得益于我国先进的运载火箭技术．据了解，在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式计算火箭的最大速度v（单位：m/s）．其中（单位m/s）是喷流相对速度，m（单位：kg）是火箭（除推进剂外）的质量，M（单位：kg）是推进剂与火箭质量的总和，称为“总质比”，已知A型火箭的喷流相对速度为2000m/s
参考数据：，
（1）当总质比为230时，利用给出的参考数据求A型火箭的最大速度；
（2）经过材料更新和技术改进后，A型火箭的喷流相对速度提高到了原来的1.5倍，总质比变为原来的，若要使火箭的最大速度增加500 m/s，记此时在材料更新和技术改进前的总质比为T，求不小于T的最小整数？
21．求经过点和,圆心在轴上的圆的方程.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】，
当时，，为偶函数
当时，，为奇函数
当且时，既不奇函数又不是偶函数
故选
2、B
【解析】应用诱导公式可得，，进而判断角的终边所在象限.
【详解】由题设，，，
所以角的终边在第二象限.
故选：B
3、C
【解析】根据零点存在性定理，若在区间有零点，则，逐一检验选项，即可得答案.
【详解】由题意得为连续函数，且在单调递增，
，，，
根据零点存在性定理，，
所以零点一定位于区间.
故选：C
4、C
【解析】根据含有一个量词的命题的否定形式，全称命题的否定是特称命题，可得答案.
【详解】命题：“，”是全称命题，
它的否定是特称命题：，，
故选：C
5、D
【解析】因为侧棱长为a的正三棱锥P﹣ABC的侧面都是直角三角形，且四个顶点都在一个球面上，三棱锥的正方体的一个角，把三棱锥扩展为正方体，它们有相同的外接球，球的直径就是正方体的对角线，正方体的对角线长为：；所以球的表面积为：4π =3πa2
故答案为D．
点睛：本题考查了球与几何体的问题，是高考中的重点问题，一般外接球需要求球心和半径，首先应确定球心的位置，球心到各顶点距离相等，这样可先确定几何体中部分点组成的多边形的外接圆的圆心，过圆心且垂直于多边形所在平面的直线上任一点到多边形的顶点的距离相等，然后同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线，这样两条直线的交点，就是其外接球的球心，有时也可利用补体法得到半径．
6、A
【解析】由题意得出，再取对数得出k的值.
【详解】由题意可知，所以，解得
故选：A
7、C
【解析】集合，，
所以 {a}A
故选C.
8、D
【解析】先分析得到，即得点所在的象限.
【详解】因为是第二象限角，
所以，
所以点在第四象限，
故选D
【点睛】本题主要考查三角函数的象限符合，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.
9、D
【解析】因为，所以将函数的图象向左平移个单位，选D.
考点：三角函数图像变换
【易错点睛】对y＝Asin（ωx＋φ）进行图象变换时应注意以下两点：
（1）平移变换时，x变为x±a（a＞0），变换后的函数解析式为y＝Asin[ω（x±a）＋φ]；
（2）伸缩变换时，x变为（横坐标变为原来的k倍），变换后的函数解析式为y＝Asin（x＋φ）
10、B
【解析】由题意知，直线PQ过点A（-1，2），且和直线OA垂直，
故其方程为：y﹣2=（x+1），整理得x-2y+5=0
故答案为B

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】真数大于0求定义域.
【详解】由题意得：，解得：，所以定义域为.
故答案为：
12、
【解析】设，时，方程只有一个根，不合题意，时，方程的根，就是函数的零点，方程的一个根在区间上，另一个根在区间上，且只需，即，解得，故答案为.
13、
【解析】根据幂函数的定义得，解得或，再结合偶函数性质得.
【详解】解：因为函数是幂函数，
所以，解得或，
当时，，为奇函数，不满足，舍；
当时，，为偶函数，满足条件.
所以.
故答案为：
14、
【解析】画出函数图象，可得，，再根据基本不等式可求出.
【详解】画出的函数图象如图，不妨设，
因为，则由图可得，
，可得，即，
又，当且仅当取等号，因为，所以等号不成立，
所以解得，即的取值范围是.
故答案为：.

15、 ①. ②.
【解析】根据对数函数的单调性及对数运算、对数式指数式的转化即可求解.
【详解】因为，所以，由，故知，共有31位.
故答案为：；31
16、2
【解析】利用集合的互异性，分类讨论即可求解
【详解】因为a∈{1，a2﹣2a+2}，则：a=1或a=a2﹣2a+2，
当a=1时：a2﹣2a+2=1，与集合元素的互异性矛盾，舍去；
当a≠1时：a=a2﹣2a+2，解得：a=1(舍去)或a=2；
故答案为：2
【点睛】本题考查集合的互异性问题，主要考查学生的分类讨论思想，属于基础题

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）
【解析】（1）根据题中条件，先由二倍角的正切公式，求出，再根据任意角的三角函数，即可求出的值；
（2）由题中条件，根据两角差的正切公式，先得到，再由同角三角函数基本关系，求出和，利用二倍角公式，以及两角和的余弦公式，即可求出结果.
【详解】（1）由题意可得，∴，或
∵，∴，即，∴
（2）∵，
，，
∴，，
∴，
，
∴
18、（1）0； （2）；
（3）.
【解析】(1)由三角函数的和差公式，倍角公式，辅助角公式化简原式，带入求值即可.
(2)由化简后的表达式代入公式即可求的.
(3)恒成立问题，第一步求出函数的单调区间，结合函数性质即可解得.
【小问1详解】
化简如下：

.
【小问2详解】
由（1）可知，周期，对称轴.
【小问3详解】
，所以任意，均有，解出函数的单调性增区间，，所以在递增，成立，递减，由对称性可知，所以，所以
19、 (1)减函数；(2)（其中）.
【解析】（1）即得是关于的减函数；
（2）利用指数式与对数式的互化，可以把t表示为原子数N的函数
试题解析：
（1）由已知可得
因为是正常数，，所以，即，
又是正常数，所以是关于的减函数
（2）因为，所以，所以，即（其中）.
点睛：本题利用指数函数的单调性即可容易得出函数的单调性，利用指数与对数的互化可得出函数的表达式.
20、（1） m/s
（2）45
【解析】（1）运用代入法直接求解即可；
（2）根据题意列出不等式，结合对数的运算性质和已知题中所给的参考数据进行求解即可.
【小问1详解】
当总质比为230时，，
即A型火箭的最大速度为.
【小问2详解】
A型火箭的喷流相对速度提高到了原来的1.5倍，所以A型火箭的喷流相对速度为，总质比为，
由题意得：

因为，所以，
即，所以不小于T的最小整数为45
21、.
【解析】根据条件得到，设圆心为，根据点点距列出式子即可，求得参数值
解析：
圆的圆心在轴上，设圆心为,
由圆过点和,
由可得，即，求得，
可得圆心为，
半径为，
故圆的方程为.
点睛：这个题目考查了圆的方程的求法，利用圆的定义得到圆上的点到圆心的距离相等，可列出式子．一般和圆有关的多数是利用圆的几何性质，垂径定理列出方程，利用切线的性质即切点和圆心的连线和切线垂直列式子．注意观察式子的特点