2025年上海交大南洋中学数学高一第一学期期末学业水平测试试题含解析.doc

2025年上海交大南洋中学数学高一第一学期期末学业水平测试试题
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．下列全称量词命题与存在量词命题中：
①设A、B为两个集合，若，则对任意，都有；
②设A、B为两个集合，若，则存在，使得；
③是无理数，是有理数；
④是无理数，是无理数.
其中真命题的个数是（ ）
A.1 B.2
C.3 D.4
2．下列函数中定义域为，且在上单调递增的是
A. B.
C. D.
3．已知角的终边上一点，且，则（）
A. B.
C. D.
4．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如．在不超过20的素数中，随机选取2个不同的数，其和等于20的概率是（ ）
【注：如果一个大于1的整数除了1和自身外无其它正因数，则称这个整数为素数．】
A. B.
C. D.
5．cos600°值等于
A. B.
C. D.
6．已知，，是三个不同的平面，是一条直线，则下列说法正确的是（）
A.若，，，则
B.若，，则
C.若，，则
D.若，，，则
7．已知，且，则下列不等式恒成立的是（ ）
A. B.
C. D.
8．下列等式中，正确的是（）
A. B.
C. D.
9．已知向量，其中，则的最小值为（）
A.1 B.2
C. D.3
10．如图，①②③④中不属于函数，，的一个是（）

A.① B.②
C.③ D.④
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．如图，在棱长均相等的正四棱锥最终，为底面正方形的重心，分别为侧棱的中点，有下列结论：①平面；②平面平面；③；④直线与直线所成角的大小为
其中正确结论的序号是______．（写出所有正确结论的序号）

12．已知集合，，则_________.
13．函数的递增区间是__________________
14．已知，α为锐角，则___________.
15．已知是第四象限角且，则______________.
16．已知函数定义域是________（结果用集合表示）
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数其中）的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为
（1）求的解析式；
（2）当，求的值域
18．
（1）求函数的解析式；
（2）试判断函数在区间上的单调性，并用函数单调性定义证明；
（3）当时，函数恒成立，求实数m的取值范围
19．已知函数是定义在上的偶函数，当时，
（1）求的解析式；
（2）解不等式
20．已知：，：，分别求m的值，使得和：
垂直；
平行；
重合；
相交
21．已知集合，其中，集合
若，求；
若，求实数的取值范围
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】对于命题①②，利用全称量词命题与存在量词命题的定义结合集合包含与不包含的意义直接判断；对于命题③④，举特例说明判断作答.
【详解】对于①，因集合A、B满足，则由集合包含关系的定义知，对任意，都有，①是真命题；
对于②，因集合A、B满足，则由集合不包含关系的定义知，存在，使得，②是真命题；
对于③，显然是无理数，也是无理数，则③是假命题；
对于④，显然是无理数，却是有理数，则④是假命题.
所以①②是真命题.
故选：B
2、D
【解析】先求解选项中各函数的定义域，再判定各函数的单调性，可得选项.
【详解】因为的定义域为，的定义域为，所以排除选项B,C.
因为在是减函数，所以排除选项A，故选D.
【点睛】本题主要考查函数的性质，求解函数定义域时，熟记常见的类型：分式，偶次根式，对数式等，单调性一般结合初等函数的单调性进行判定，侧重考查数学抽象的核心素养.
3、B
【解析】由三角函数的定义可列方程解出，需注意的范围
【详解】由三角函数定义,
解得,由,知,则.
故选：B.
4、A
【解析】随机选取两个不同的数共有种，而其和等于20有2种，由此能求出随机选取两个不同的数，其和等于20的概率
【详解】在不超过20的素数中有2，3，5，7，11，13，17，19共8个，
随机选取两个不同的数共有种，
随机选取两个不同的数，其和等于20有2种，分别为（3,17）和（7,13），
故可得随机选取两个不同的数，其和等于20的概率，
故选：
5、B
【解析】利用诱导公式化简即可得到结果.
【详解】cos600°
故选B
【点睛】本题考查利用诱导公式化简求值，考查特殊角的三角函数值，属于基础题.
6、A
【解析】利用面面垂直的性质，线面的位置关系，面面的位置关系，结合几何模型即可判断.
【详解】对于A，在平面内取一点P，在平面内过P分别作平面与，与的交线的垂线a,b，

则由面面垂直的性质定理可得，又，
∴，由线面垂直的判定定理可得，故A正确；
对于B，若，，则与位置关系不确定，可能与平行、相交或在内，故B错误；
对于C，若，，则与相交或平行，故C错误；
对于D，如图平面，且，，，

显然与不垂直，故D错误.
故选：A.
7、D
【解析】对A，C利用特殊值即可判断；对B，由对数函数的定义域即可判断，对D，由指数函数的单调性即可判断.
【详解】解：对A，令，，
则满足，但，故A错误；
对B，若使，
则需满足，但题中，故B错误；
对C，同样令，，
则满足，但，故C错误；
对D，在上单调递增，
当时，，故D正确.
故选：D.
8、D
【解析】按照指数对数的运算性质依次判断4个选项即可.
【详解】对于A，当为奇数时，，当为偶数时，，错误；
对于B，，错误；
对于C，，错误；
对于D，，正确.
故选：D.
9、A
【解析】利用向量坐标求模得方法，用表示，然后利用三角函数分析最小值
【详解】因为，
所以，
因为，所以，故的最小值为.
故选A
【点睛】本题将三角函数与向量综合考察，利用三角函数得有界性，求模长得最值
10、B
【解析】根据对数函数图象特征及与图象的关于轴对称即可求解.
【详解】解：由对数函数图象特征及与的图象关于轴对称，
可确定②不已知函数图象.
故选：B.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、①②③
【解析】连接AC，易得PC∥OM，可判结论①
证得平面PCD∥平面OMN，可判结论②正确
由勾股数可得PC⊥PA，得到OM⊥PA，可判结论③正确
根据线线平行先找到直线PD与直线MN所成的角为∠PDC，知三角形PDC为等边三角形，所以∠PDC＝60°，可判④错误
【详解】如图，连接AC，易得PC∥OM，所以PC∥平面OMN，结论①正确
同理PD∥ON，所以平面PCD∥平面OMN，结论②正确
由于四棱锥的棱长均相等，所以AB2+BC2＝PA2+PC2＝AC2，所以PC⊥PA，又PC∥OM，所以OM⊥PA，结论③正确
由于M，N分别为侧棱PA，PB的中点，所以MN∥AB，又四边形ABCD为正方形，所以AB∥CD，所以直线PD与直线MN所成的角即为直线PD与直线CD所成的角，为∠PDC，知三角形PDC为等边三角形，所以∠PDC＝60°，故④错误
故答案为①②③
【点睛】本题考查线面平行、面面平行，考查线线角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题
12、
【解析】由对数函数单调性，求出集合A，再根据交集的定义即可求解.
【详解】解：，，
，
故答案为：.
13、
【解析】由已知有，解得，即函数的定义域为，又是开口向下的二次函数，对称轴，所以的单调递增区间为，又因为函数以2为底的对数型函数，是增函数，所以函数的递增区间为
点睛：本题主要考查复合函数的单调区间，属于易错题．在求对数型函数的单调区间时，一定要注意定义域
14、
【解析】由同角三角函数关系和诱导公式可得结果.
【详解】因为，且为锐角，则，所以，故.
故答案为：.
15、
【解析】直接由平方关系求解即可.
【详解】由是第四象限角，可得.
故答案为：.
16、
【解析】根据对数函数的真数大于0求解即可.
【详解】函数有意义，
则，解得，
所以函数的定义域为，
故答案为：

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）
【解析】（1）根据最低点M可求得A；由x轴上相邻的两个交点之间的距离可求得ω；进而把点M代入即可求得，把代入即可得到函数的解析式
（2）根据x的范围进而可确定当的范围，根据正弦函数的单调性可求得函数的最大值和最小值．确定函数的值域
【详解】（1）由最低点为得A=2
由x轴上相邻的两个交点之间的距离为得，
即，由点在图象上的，
，即，
故
又，故；
（2），
当，即时，取得最大值2；
当，即时，取得最小值，
故的值域为.
18、（1）；（2）单调递减；（3）
【解析】（1）函数为奇函数，则，再用待定系数法即可求出；（2）作差法：任意的两个实数，证明出；（3）要使则
试题解析：（1）
所以
（2）由（1）问可得在区间上是单调递减的
证明：设任意的两个实数

又
,，
在区间上是单调递减的;
（3）由（2）知在区间上的最小值是
要使
则

考点：1、待定系数法；2、函数的单调性；3、不等式恒成立问题.
19、（1）；
（2）.
【解析】（1）利用偶函数的定义可求得函数在上的解析式，综合可得出函数的解析式；
（2）令，则所求不等式可变为，求出的取值范围，可得出关于的不等式，解之即可.
【小问1详解】
解：因为数是定义在R上的偶函数，当，，
则当时，，.
因此，对任意的，.
【小问2详解】
解：由（1）得，
所以不等式，即，
令，则，于是，解得，
所以，得或，
从而不等式的解集为
20、（1）； （2）-1； （3）3； （4）且.
【解析】（1）若l1和l2垂直，则m﹣2+3m＝0
（2）若l1和l2平行，则
（3）若l1和l2重合，则
（4）若l1和l2相交，则由（2）（3）的情况去掉即可
【详解】若和垂直，则,
若和平行，则,,
若和重合，则，
若和相交，则由可知且
【点睛】本题主要考查了两直线的位置关系的应用，解题的关键是熟练掌握直线的不同位置的条件一般式方程的表示
21、（1）；
【解析】解出二次不等式以及分式不等式得到集合和，根据并集的定义求并集；由集合是集合的子集，可得，根据包含关系列出不等式，求出的取值范围.
【详解】集合，
由，则，
解得，
即，
，则，
则
，即，
可得，解得，
故m的取值范围是
【点睛】本题考查集合的交并运算，以及由集合的包含关系求参数问题，属于基础题．在解有关集合的题的过程中，要注意在求补集与交集时要考虑端点是否可以取到，这是一个易错点，同时将不等式与集合融合，体现了知识点之间的交汇.