黑龙江省东部地区四校联考2026届高二上数学期末统考试题含解析.doc

黑龙江省东部地区四校联考2026届高二上数学期末统考试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数，则的单调递增区间为（）.
A. B.
C. D.
2．设、是两条不同的直线，、、是三个不同的平面，则下列命题正确的是（）
A.若，则 B.若，则
C.若，则 D.若，则
3．函数的定义域为开区间，导函数在内的图像如图所示，则函数在开区间内的极大值点有（ ）

A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
4．已知数列的前n项和为，，，则（ ）
A. B.
C.1025 D.2049
5．如图，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半径为4.5cm的半球形的冰淇淋，若冰淇淋融化后正好盛满杯子，则杯子的高（ ）

A.9cm B.6cm
C.3cm D.4.5cm
6．阿基米德（公元前287年～公元前212年）不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到的椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆的对称轴为坐标轴，焦点在轴上，且椭圆的离心率为，面积为，则椭圆的标准方程为（ ）
A. B.
C. D.
7．抛物线的焦点坐标为
A. B.
C. D.
8．已知函数 f(x) 的图象如图所示，则导函数 f ¢(x)的图象可能是（ ）

A. B.
C. D.
9．已知等差数列的公差，是与的等比中项，则（）
A. B.
C. D.
10．已知角为第二象限角，，则的值为（ ）
A. B.
C. D.
11．用这3个数组成没有重复数字的三位数，则事件“这个三位数是偶数”与事件“这个三位数大于342” （）
A.是互斥但不对立事件 B.不是互斥事件
C.是对立事件 D.是不可能事件
12．已知双曲线的离心率为2，则C的渐近线方程为（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．过点作斜率为的直线与椭圆相交于、两个不同点，若是的中点，则该椭圆的离心率___________.
14．如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1，AB＝BC＝2，CC1＝1，则直线AD1与B1D所成角的余弦值为 __.

15．已知等差数列的前项和为，则数列的前2022项的和为___________.
16．观察式子：
，
，
，
由此归纳，可猜测一般性的结论为______.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知点、，点M满足，记点M的轨迹为C
（1）求C的方程；
（2）若直线l过圆圆心D且与圆交于A，B两点，点P为C上一个动点，求的最小值
18．（12分）已知数列满足，（）.
（1）证明：数列是等比数列，并求出数列的通项公式；
（2）数列满足：（），求数列的前项和.
19．（12分）已知三角形内角所对的边分别为，且C为钝角.
（1）求cosA；
（2）若，，求三角形的面积.
20．（12分）在等差数列中．，
（1）求的通项公式：
（2）记的前项和为，求满足的的最大值
21．（12分）已知抛物线上的点P（3，c）），到焦点F的距离为6
（1）求抛物线C的方程；
（2）过点Q（2，1）和焦点F作直线l交抛物线C于A，B两点，求△PAB的面积
22．（10分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足（2a﹣b）sinA+（2b﹣a）sinB=2csinC.
（1）求角C的大小；
（2）若cosA=，求的值.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】利用导数分析函数单调性
【详解】的定义域为，，令，解得
故的单调递增区间为
故选：D
2、B
【解析】根据线线、线面、面面的位置关系，对选项进行逐一判断即可.
【详解】选项A.一条直线垂直于一平面内的，两条相交直线，则改直线与平面垂直
则由，不能得出，故选项A不正确.
选项B. ,则正确，故选项B正确.
选项C若，则与可能相交，可能异面，也可能平行，故选项C不正确.
选项D.若，则与可能相交，可能平行，故选项D不正确.
故选：B
3、B
【解析】利用极值点的定义求解.
【详解】由导函数的图象知：函数在内，与x轴有四个交点：
第一个点处导数左正右负，第二个点处导数左负右正，
第三个点处导数左正右正，第四个点处导数左正右负，
所以函数在开区间内的极大值点有2个，
故选：B
4、B
【解析】根据题意得，进而根据得数列是等比数列，公比为，首项为，再根据等比数列求和公式求解即可.
【详解】解：因为数列的前n项和为满足，
所以当时，，解得，
当时，，即
所以，解得或，
因为，所以.
所以，，
所以当时，，
所以，即
所以数列是等比数列，公比为，首项为，
所以
故选：B
5、A
【解析】根据圆锥和球的体积公式以及半球的体积等于圆锥的体积，即可列式解出
【详解】由题意可得，，解得．故选：A
6、C
【解析】由题意，设出椭圆的标准方程为，然后根据椭圆的离心率以及椭圆面积列出关于的方程组，求解方程组即可得答案
【详解】由题意，设椭圆的方程为，
由椭圆的离心率为，面积为，
∴，解得，
∴椭圆的方程为，
故选：C.
7、D
【解析】抛物线的标准方程为，从而可得其焦点坐标
【详解】抛物线的标准方程为，故其焦点坐标为，故选D.
【点睛】本题考查抛物线的性质，属基础题
8、D
【解析】根据导函数正负与原函数单调性关系可作答
【详解】原函数在上先减后增，再减再增，对应到导函数先负再正，再负再正，且原函数在处与轴相切，故
可知，导函数图象为D
故选：D
9、C
【解析】由等比中项的性质及等差数列通项公式可得即可求.
【详解】由，则，可得.
故选：C.
10、C
【解析】由同角三角函数关系可得，进而直接利用两角和的余弦展开求解即可.
【详解】∵，是第二象限角，
∴，
∴.
故选：C.
11、B
【解析】根据题意列举出所有可能性，进而根据各类事件的定义求得答案.
【详解】由题意，将2,3,4组成一个没有重复数字的三位数的情况有：
{234,243,324,342,423,432}，其中偶数有{234, 324,342, 432}，大于342的有{423,432}.
所以两个事件不是互斥事件，也不是对立事件.
故选：B.
12、A
【解析】根据离心率及a，b，c的关系，可求得，代入即可得答案.
【详解】因为离心率，所以，
所以，，则，
所以C的渐近线方程为.
故选：A

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】利用点差法可求得的值，利用离心率公式的值.
【详解】设点、，则，由已知可得，
由题意可得，将两个等式相减得，
所以，，
因此，.
故答案为：.
14、
【解析】以为原点，所在直线为轴的正方向建立空间直角坐标系，求出，的坐标，由向量夹角公式可得答案.
【详解】以为原点，所在直线为轴的正方向建立如图的坐标系，

∵AB＝BC＝2，CC1＝1，
∴，，，，
则，，
则，，
则cos＜，＞＝＝，
即AD1与B1D所成角的余弦值为，
故答案为：.
15、
【解析】先设等差数列的公差为，根据题中条件，求出首项和公差，得出前项和，再由裂项相消的方法，即可求出结果.
【详解】设等差数列的公差为，
因为，，所以，解得，
因此，
所以，
所以数列的前2022项的和为

.
故答案：.
16、
【解析】根据规律，不等式的左边是个自然数倒数的平方的和，右边分母是以2为首项，1为公差的等差数列，分子是以3为首项，2为公差的等差数列，由此可得结论
【详解】解：观察可以发现，第个不等式左端有项，分子为1，
分母依次为，，，，；
右端分母为，分子成等差数列，首项为3，公差为2，
因此第个不等式（）
故答案为：（）

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）23
【解析】（1）根据双曲线的定义判断轨迹，直接写出轨迹方程即可；
（2）设，利用向量坐标运算计算，再由二次函数求最值即可.
【小问1详解】
由，
则轨迹C是以点、为左、右焦点的双曲线的右支，
设轨迹C的方程为，则，可得，，
所以C的方程为；
【小问2详解】
设，则，且，圆心，
则

因为，则当时，取最小值23.
18、 (1)证明见解析，；(2).
【解析】(1)将给定等式变形，计算即可判断数列类型，再求出其通项而得解；
(2)利用(1)的结论求出数列的通项，然后利用错位相减法求解即得.
【详解】(1)因数列满足，，
则，而，于是数列是首项为1，公比为2的等比数列，，即，
所以数列是等比数列，，；
(2)由(1)知，

则
于是得，，
所以数列的前项和.
19、（1）
（2）
【解析】（1）由正弦定理边化角，可求得角的正弦，由同角关系结合条件可得答案.
(2)由（1），由余弦定理，求出边的长，进一步求得面积
【小问1详解】
因为，由正弦定理得
因为，所以.
因为角为钝角，所以角为锐角，所以
小问2详解】
由(1)，由余弦定理，
得，所以，
解得或，不合题意舍去，
故的面积为=
20、（1）
（2）
【解析】（1）根据等差数列的概念及通项公式可得基本量，进而可得解.
（2）利用等差数列求和公式计算，解不等式即可.
【小问1详解】
设等差数列的公差为，
所以，解得，
所以数列的通项公式为；
【小问2详解】
由（1）得，
所以，
解得，
所以的最大值为.
21、（1）
（2）
【解析】（1）根据抛物线的焦半径公式求得，即可得到抛物线方程；
（2）写出直线方程，联立抛物线方程，进而求得弦长|AB|,再求出点P到直线的距离，即可求得答案.
【小问1详解】
由抛物线的焦半径公式可知： ，
即得 ，故抛物线方程为：；
【小问2详解】
点Q（2，1）和焦点作直线l，则l方程为 ，
即 ，
联立抛物线方程： ，整理得 ，
设 ，则 ，
故 ，
点P（3，c）在抛物线上，则 ，
点P到直线l的距离为 ，
故△PAB的面积为 .
22、（1）
（2）
【解析】（1）利用正弦定理、余弦定理化简已知条件，求得，由此求得.
（2）先求得，结合两角差的正弦公式求得.
【小问1详解】
，
，即，
，
，.
【小问2详解】
由，可得，
.