西安市航空六一八中学2025年数学高一上期末检测试题含解析.doc

西安市航空六一八中学2025年数学高一上期末检测试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．O为正方体底面ABCD的中心，则直线与的夹角为　　
A. B.
C. D.
2．由直线上的点向圆作切线，则切线长的最小值为（ ）
A.1 B.
C. D.3
3．已知集合，，，则实数a的取值集合为（）
A. B.
C. D.
4．下列结论正确的是（）
A.不相等的角终边一定不相同
B.，，则
C.函数的定义域是
D.对任意的，，都有
5．下列命题正确的是
A.若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行
B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行
C.若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行
D.若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行
6．已知，则（ ）
A. B.
C.2 D.
7．利用二分法求方程的近似解，可以取得一个区间
A. B.
C. D.
8．设，满足约束条件，且目标函数仅在点处取得最大值，则原点到直线的距离的取值范围是（　　）
A. B.
C. D.
9．函数的部分图象是（）
A. B.
C. D.
10． “”是“”的（）
A.充要条件 B.既不充分也不必要条件
C.充分不必要条件 D.必要不充分条件
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．函数的定义域是___________.
12．设当时，函数取得最大值，则__________.
13．已知函数的图象（且）恒过定点P，则点P的坐标是______，函数的单调递增区间是__________.
14．下列一组数据的分位数是___________.
15．若是幂函数且在单调递增，则实数_______.
16．已知幂函数的图象过点，则___________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．下列函数有最大值、最小值吗?如果有,请写出取最大值、最小值时自变量x的集合,并求出最大值、最小值.
(1),;
(2),.
18．已知函数
（1）若的定义域为，求实数的值；
（2）若的定义域为，求实数的取值范围
19．如图，在平面直角坐标系中，已知以为圆心的圆及其上一点．
①设圆与轴相切，与圆外切，且圆心在直线上，求圆的标准方程
②设点满足存在圆上的两点和，使得四边形为平行四边形，求实数的取值范围

20．设直线与相交于一点.
（1）求点的坐标；
（2）求经过点，且垂直于直线的直线的方程.
21．如图，已知是半径为圆心角为的扇形，是该扇形弧上的动点，是扇形的内接矩形，记为.

（1）若的周长为，求的值；
（2）求的最大值，并求此时的值.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】推导出A1C1⊥BD，A1C1⊥DD1，从而D1O⊂平面BDD1，由此得到A1C1⊥D1O
【详解】
∵O为正方体ABCD﹣A1B1C1D1底面ABCD的中心，
∴A1C1⊥BD，A1C1⊥DD1，
∵BD∩DD1＝D，
∴A1C1⊥平面BDD1，
∵D1O⊂平面BDD1，
∴A1C1⊥D1O
故答案为：D
【点睛】本题考查与已知直线垂直的直线的判断，是中档题，做题时要认真审题，注意线面垂直的性
质的合理运用
2、B
【解析】先求圆心到直线的距离，此时切线长最小，由勾股定理不难求解切线长的最小值
【详解】切线长的最小值是当直线上的点与圆心距离最小时取得，
圆心到直线的距离为，
圆的半径为1，
故切线长的最小值为，
故选：B
【点睛】本题考查圆的切线方程，点到直线的距离，是基础题
3、C
【解析】先解出集合A，再根据确定集合B的元素，可得答案.
【详解】由题意得，，∵，，
∴实数a的取值集合为,
故选:C.
4、B
【解析】根据对数函数与三角函数的性质依次讨论各选项即可得答案.
【详解】解：对于A选项，例如角的终边相同，但不相等，故错误；
对于B选项，，，则，故正确；
对于C选项，由题，解得，即定义域是，故错误；
对于D选项，对数不存在该运算法则，故错误；
故选：B
5、C
【解析】若两条直线和同一平面所成角相等，这两条直线可能平行，也可能为异面直线，也可能相交，所以A错；一个平面不在同一条直线的三点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行，故B错；若两个平面垂直同一个平面两平面可以平行，也可以垂直；故D错；故选项C正确.
[点评]本题旨在考查立体几何的线、面位置关系及线面的判定和性质，需要熟练掌握课本基础知识的定义、定理及公式.
6、B
【解析】先求出，再求出，最后可求.
【详解】因为，故，
因为，故，而，
故，所以，
故，
所以，
故选：B
7、D
【解析】根据零点存在定理判断
【详解】设，则函数单调递增
由于，，∴在上有零点
故选：D.
【点睛】本题考查方程解与函数零点问题．掌握零点存在定理是解题关键
8、B
【解析】作出可行域，由目标函数仅在点取最大值，分，，三种情况分类讨论，能求出实数的取值范围．然后求解到直线的距离的表达式，求解最值即可
详解】解：由约束条件作出可行域，如右图可行域，

目标函数仅在点取最大值，
当时，仅在上取最大值，不成立；
当时，目标函数的斜率，
目标函数在取不到最大值
当时，目标函数的斜率，小于直线的斜率，
综上，
原点到直线的距离
则原点到直线的距离的取值范围是：
故选B
【点睛】本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意线性规划知识的合理运用.
9、C
【解析】首先判断函数的奇偶性，即可排除AD，又，即可排除B.
【详解】因为，定义域为R，关于原点对称，
又，
故函数为奇函数，图象关于原点对称，故排除AD；
又，故排除B.
故选：C.
10、D
【解析】求得的解集，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.
【详解】由，可得或，
所以“”是“或”成立的充分不必要条件，
所以“”是“” 必要不充分条件.
故选：D.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】利用根式、分式的性质求函数定义域即可.
【详解】由解析式知：，则，可得，
∴函数定义域为.
故答案为：.
12、
【解析】利用辅助角公式化简函数解析式，再根据最值情况可得解.
【详解】由辅助角公式可知，，，，
当，时取最大值，
即，
，
故答案为.
13、 ①. ②.
【解析】令，求得，即可得到函数的图象恒过定点；令，求得函数的定义域为，利用二次函数的性质，结合复合函数的单调性的判定方法，即可求解.
【详解】由题意，函数（且），
令，即，可得，即函数的图象恒过定点，
令，即，解得，
即函数的定义域为，
又由函数的图象开口向下，对称轴的方程为，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
结合复合函数的单调性的判定方法，可得函数的递增区间为.
故答案为：；.
14、26
【解析】根据百分位数的定义即可得到结果.
【详解】解：，该组数据的第分位数为从小到大排序后第2与3个数据的平均数，
第2与3个数据分别是25、27，
故该组数据的第分位数为，
故答案为：26
15、2
【解析】由幂函数可得，解得或2，检验函数单调性求解即可.
【详解】为幂函数，所以，解得或2.
当时，，在不单调递增，舍去；
当时，，在单调递增成立.
故答案为.
【点睛】本题主要考查了幂函数的定义及单调性，属于基础题.
16、##0.25
【解析】设，代入点求解即可.
【详解】设幂函数，
因为的图象过点，
所以，
解得
所以，得
.
故答案为：

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、 (1)有最大值、最小值.见解析(2)有最大值、最小值.见解析
【解析】（1）函数有最大最小值，使函数,取得最大值最小值的x的集合,就是使函数,取得最大值最小值的x的集合；（2）令,使函数,取得最大值的x的集合,就是使,取得最小值的z的集合，使函数,取得最小值的x的集合,就是使,取得最大值的z的集合.
【详解】解:容易知道,这两个函数都有最大值、最小值.
(1)使函数,取得最大值的x的集合,就是使函数,取得最大值的x的集合;
使函数,取得最小值的x的集合,就是使函数,取得最小值的x的集合.
函数,的最大值是;最小值是.
(2)令,使函数,取得最大值的x的集合,就是使,取得最小值的z的集合.
由,得.
所以,使函数,取得最大值3的x的集合是.
同理,使函数,取得最小值-3的x的集合是.
函数,的最大值是3,最小值是-3.
【点睛】本题主要考查三角函数的最值的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
18、（1）；（2）
【解析】（1）根据题意，由二次型不等式解集，即可求得参数的取值；
（2）根据题意，不等式在上恒成立，即可求得参数范围.
【详解】（1）的定义域为，即的解集为，
故，
解得；
（2）的定义域为，即恒成立，
当时，，经检验满足条件；
当时，解得，
综上，
【点睛】本题考查由函数的定义域求参数范围，涉及由一元二次不等式的解集求参数值，以及一元二次不等式在上恒成立问题的处理，属综合基础题.
19、①.．②.
【解析】①.由题意利用待定系数法可得圆的标准方程为
②.由题意四边形为平行四边形，则，据此有，求解不等式可得实数的取值范围是
试题解析：
①圆的标准方程为：，则圆心为，
设，半径为，则，在同一竖直线上
则，，
即圆的标准方程为
②∵四边形为平行四边形，
∴，
∵，在圆上，
∴，
则，
即
20、（1）；（2）.
【解析】（1）将两直线方程联立，求出方程组的公共解，即可得出点的坐标；
（2）求出直线的斜率，可得出垂线的斜率，然后利用点斜式方程可得出所求直线的方程，化为一般式即可.
【详解】（1）由，解得，因此，点的坐标为；
（2）直线斜率为，垂直于直线的直线斜率为，
则过点且垂直于直线的直线的方程为，
即：.
【点睛】本题两直线交点坐标计算，同时也考查了直线的垂线方程的求解，解题时要将两直线的垂直关系转化为斜率关系，考查计算能力，属于基础题.
21、（1）；（2），.
【解析】（1）根据周长即可求得，以及；将目标式进行转化即可求得；
（2）用表示出，将其转化为关于的三角函数，求该三角函数的最大值即可求得结果.
【详解】（1），，
则若的周长为，
则，
，
平方得，
即，
解得（舍）或.
则
.
（2）中，，
，
在中，
，
，
则

因为，
，
当，
即时，有最大值.
【点睛】本题考查已知正切值求齐次式的值，以及几何图形中构造三角函数，并求三角函数最值的问题，涉及倍角公式和辅助角公式的利用，属综合中档题.