陕西省渭南市2025-2026学年数学高二上期末考试模拟试题含解析.doc

陕西省渭南市2025-2026学年数学高二上期末考试模拟试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形，一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中随机地取一点，则该点恰好取自白色部分的概率为（）

A. B.
C. D.
2．已知向量，满足条件，则的值为（ ）
A.1 B.
C.2 D.
3．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一.指的是：已知动点与两定点的距离之比，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆.已知动点的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为，其中，定点为轴上一点，定点的坐标为，若点，则的最小值为（）
A. B.
C. D.
4．已知正三棱柱中，，点为中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A. B.
C. D.
5．下列双曲线中，以为一个焦点，以为一个顶点的双曲线方程是（ ）
A. B.
C. D.
6．已知，是椭圆的两焦点，是椭圆上任一点，从引外角平分线的垂线，垂足为，则点的轨迹为（）
A.圆 B.两个圆
C.椭圆 D.两个椭圆
7．已知空间向量，，且与互相垂直，则k的值是（）
A.1 B.
C. D.
8．点是正方体的底面内（包括边界）的动点.给出下列三个结论：
①满足的点有且只有个；
②满足的点有且只有个；
③满足平面的点的轨迹是线段.
则上述结论正确的个数是（）
A. B.
C. D.
9．从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，两数和为偶数的概率为（ ）
A. B.
C. D.
10．若等比数列满足，，则数列的公比为（）
A. B.
C. D.
11．为了解一片大约一万株树木的生长情况，随机测量了其中100株树木的底部周长（单
位：㎝）.根据所得数据画出的样本频率分布直方图如图，那么在这片树木中，底部周长
小于110㎝的株树大约是（　　）

A.3000 B.6000
C.7000 D.8000
12．设P是抛物线上的一个动点，F为抛物线的焦点.若，则的最小值为（）
A. B.
C.4 D.5
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．下列说法中，正确的有_________（填序号）.
①“”是“方程表示椭圆”的必要而不充分条件；
②若：，则：；
③“，”的否定是“，”；
④若命题“”为假命题，则命题一定是假命题；
⑤是直线：和直线：垂直的充要条件.
14．“直线和直线垂直”的充要条件是______
15．在区间上随机取1个数，则取到的数小于2的概率为___________.
16．已知直线l：和圆C：，过直线l上一点P作圆C的一条切线，切点为A，则的最小值为______
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）解下列不等式：
（1）；
（2）.
18．（12分）如图，在正方体中，分别为，的中点

（1）求证：平面平面；
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值
19．（12分）数列{}的首项为，且
（1）证明数列为等比数列，并求数列{}的通项公式；
（2）若，求数列{}的前n项和
20．（12分）如图，第1个图形需要4根火柴，第2个图形需要7根火柴，，设第n个图形需要根火柴

（1）试写出，并求；
（2）记前n个图形所需的火柴总根数为，设，求数列的前n项和
21．（12分）已知圆C：
（1）若过点的直线l与圆C相交所得的弦长为，求直线l的方程；
（2）若P是直线：上的动点，PA，PB是圆C的两条切线，A，B是切点，求四边形PACB面积的最小值
22．（10分）已知椭圆C与椭圆有相同的焦点，且离心率为.
（1）椭圆C的标准方程；
（2）若椭圆C的两个焦点，P是椭圆上的点，且，求的面积.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】设七巧板正方形边长为4，求出阴影部分的面积，再利用几何概型概率公式计算作答.
【详解】设七巧板正方形边长为4，则大阴影等腰三角形底边长为4，底边上的高为2，
可得小正方形对角线长为2，小正方形边长为，小阴影等腰直角三角形腰长为，
小白色等腰直角三角形底边长为2，则左上角阴影等腰直角三角形腰长为2，
因此，图中阴影部分面积，
而七巧板正方形面积，
于是得七巧板中白色部分面积为，
所以在此正方形中随机地取一点，则该点恰好取自白色部分的概率为.
故选：A
2、A
【解析】先求出坐标，进而根据空间向量垂直的坐标运算求得答案.
【详解】因为，所以，解得.
故选：A.
3、D
【解析】设，，根据和求出a的值，由，两点之间直线最短，可得的最小值为，根据坐标求出即可.
【详解】设，，所以，由，
所以，因为且，所以，
整理可得，又动点M的轨迹是，所以，
解得，所以，又，
所以，
因为，所以的最小值，
当M在位置或时等号成立.
故选：D

4、A
【解析】根据异面直线所成角的定义，取中点为，则为异面直线和所成角或其补角，再解三角形即可求出
【详解】如图所示：
设中点为，则在三角形中，为中点，为中位线，所以有，
，所以为异面直线和所成角或其补角，在三角形中，，所以由余弦定理有，
故选：A.
5、C
【解析】设出双曲线方程，根据题意，求得，即可选择.
【详解】因为双曲线的一个焦点是，故可设双曲线方程为，
且；
又为一个顶点，故可得，解得，
则双曲线方程为：.
故选：.
6、A
【解析】设的延长线交的延长线于点，由椭圆性质推导出，由题意知是△的中位线，从而得到点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆
【详解】是焦点为、的椭圆上一点
为的外角平分线，，
设的延长线交的延长线于点，如图，

，
，
，
由题意知是△的中位线，
，
点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆
故选：A
7、D
【解析】由＝0可求解
【详解】由题意
，

故选：D
8、C
【解析】对于①，根据线线平行的性质可知点即为点，因此可判断①正确；
对于②，根据线面垂直的判定可知平面,，由此可判定的位置，进而判定②的正误；
对于③，根据面面平行可判定平面平面，因此可判断此时一定落在上，由此可判断③的正误.
【详解】如图：

对于①，在正方体中， ,
若异于 ，则过点至少有两条直线和平行，这是不可能的，
因此底面内（包括边界）满足的点有且只有个，即为点，
故①正确；
对于②，正方体中，平面 ,平面，
所以 ,
又，所以，
而 ,平面 ,故平面,
因此和垂直的直线一定落在平面内，
由是平面上的动点可知，一定落在上，这样的点有无数多个，故②错误；
对于③， ,平面 ,则平面，
同理平面,而 ,
所以平面平面，而平面，
所以一定落在平面上，
由是平面上的动点可知，此时一定落在上，
即点的轨迹是线段，故③正确，
故选：C.
9、B
【解析】利用列举法，结合古典概型概率计算公式，计算出所求概率.
【详解】从中任取个不同的数的方法有，共种，
其中和为偶数的有共种，
所以所求的概率为.
故选：B
【点睛】本小题主要考查古典概型概率计算，属于基础题.
10、D
【解析】设等比数列的公比为，然后由已知条件列方程组求解即可
【详解】设等比数列的公比为，
因为，，
所以，
所以，解得，
故选：D
11、C
【解析】先由频率分布直方图得到抽取的样本中底部周长小于110㎝的概率，进而可求出结果.
【详解】由频率分布直方图可得，样本中底部周长小于110㎝的概率为，
因此在这片树木中，底部周长小于110㎝的株树大约是.
故选：C.
【点睛】本题主要考查频率分布直方图的应用，属于基础题型.
12、C
【解析】作出图形，过点作抛物线准线的垂线，由抛物线的定义得，从而得出，再由、、三点共线时，取最小值得解.
【详解】
，所以在抛物线的内部，
过点作抛物线准线的垂线，由抛物线的定义得，
，
当且仅当、、三点共线时，等号成立，
因此，的最小值为.
故选：C.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、①
【解析】根据椭圆方程的结构特征可判断①；注意到分式不等式分母不等于0可判断②；由全称命题的否定可判断③；根据复合命题的真假可判断④；由直线垂直的充要条件可判断⑤.
【详解】①中，当时，方程为，表示圆，若方程表示椭圆，则，解得或，故①正确；
②中，，故为：，而，故②不正确；
③中，“，”的否定应为“，”，故③不正确；
④中，若命题“”为假命题，有可能为真或为假，故④不正确；
⑤中，，解得或，故是直线：和直线：垂直的充分不必要条件，故⑤不正确.
故答案为：①
14、或
【解析】利用直线一般式方程表示垂直的方法求解.
【详解】因为直线和直线垂直，
所以，解得或；
故答案为：或.
15、
【解析】根据几何概型计算公式进行求解即可.
【详解】设“区间上随机取1个数”，对应集合为，区间长度为3，
“取到的数小于2”，对应集合为，区间长度为1，
所以.
故答案为：
16、1
【解析】求出圆C的圆心坐标、半径，再借助圆的切线性质及勾股定理列式计算作答.
【详解】圆C：，圆心为，半径，点C到直线l的距离，
由圆的切线性质知：，
当且仅当，即点P是过点C作直线l的垂线的垂足时取“=”，
所以的最小值为1
故答案为：1

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）
【解析】（1）利用十字相乘解题即可
（2）利用分子分母同号为正，异号为负思想，注意讨论分母不为0
【小问1详解】
由题，即，解得或，即；
【小问2详解】
由题，解得或，即
18、（1）证明见解析；
（2）.
【解析】（1）由正方体性质易得，根据线面平行的判定可得面、面，再由面面平行的判定证明结论；
（2）建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，确定相关点的坐标，进而求两个半平面的法向量，应用空间向量夹角的坐标表示求二面角的余弦值
【小问1详解】
在正方体中，且，且，
且，则四边形为平行四边形，即有，
因为面，面，则平面，同理平面，
又，面，则平面平面E.
小问2详解】
以点为坐标原点，，，所在直线分别为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系，

设正方体的棱长为，则，，
所以，，
设平面的法向量为,则，令，则
由平面，则是平面的一个法向量
设平面与平面夹角,，
因此平面与平面所成锐二面角的余弦值为
19、（1）证明见解析，；
（2）.
【解析】(1)利用给定的递推公式变形，再利用等比数列定义直接判断并求出通项得解.
(2)由(1)的结论求出，再利用裂项相消法计算作答.
【小问1详解】
数列{}中，，则，由得：，
所以数列是首项为3，公比为2的等比数列，
则有，即，
所以数列{}的通项公式是.
【小问2详解】
由(1)知，，，
则，
所以数列{}的前n项和.
20、（1），；
（2）.
【解析】（1）根据题设找到规律写出，由等差数列的定义求.
（2）由等差数列前n项和求，再利用裂项相消法求.
【小问1详解】
由题意知：，，，，
可得每增加一个正方形，火柴增加3根，即，
所以数列是以4为首项，以3为公差的等差数列，则.
【小问2详解】
由题意可知，，
所以，则，
所以，，
即
21、（1）或.
（2）8
【解析】（1）先判断当斜率不存在时,不满足条件；再判断当斜率存在时,设利用垂径定理列方程求出k，即可求出直线方程；
（2）过P作圆C的两条切线，切点分别为A、B，连结CA、CB，得到.判断出当时, 最小，四边形PACB面积取得最小值.利用点到直线的距离公式求出，，即可求出四边形PACB面积的最小值.
【小问1详解】
圆C：化为标准方程为：，所以圆心为，半径为r=4.
（1）当斜率不存在时,x=1代入圆方程得,弦长为,不满足条件；
（2）当斜率存在时,设即.
圆心C到直线l的距离，
解得: 或k=0,所以直线方程为或.
【小问2详解】
过P作圆C的两条切线，切点分别为A、B，连结CA、CB，则.
因为,所以
所以.
所以当时, 最小，四边形PACB面积取得最小值.

所以，所以，
即四边形PACB面积的最小值为8.
22、（1）
（2）
【解析】（1）由题意求出即可求解；
（2）由椭圆的定义和三角形面积公式求解即可
【小问1详解】
因为椭圆C与椭圆有相同的焦点，
所以椭圆C的焦点，，，
又，
所以，，
所以椭圆C的标准方程为.
【小问2详解】
由，，
得，，
而，
所以，
所以