上海市复旦大学附中浦东分校2025年高一数学第一学期期末达标测试试题含解析.doc

上海市复旦大学附中浦东分校2025年高一数学第一学期期末达标测试试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．函数y＝的定义域是（）
A. B.
C. D.
2．设命题p：，命题q：，则p是q成立的（）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3．已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（）

A. B.
C. D.
4．一个孩子的身高与年龄（周岁）具有相关关系，根据所采集的数据得到线性回归方程，则下列说法错误的是（）
A.回归直线一定经过样本点中心
B.斜率的估计值等于6.217，说明年龄每增加一个单位，身高就约增加6.217个单位
C.年龄为10时，求得身高是，所以这名孩子的身高一定是
D.身高与年龄成正相关关系
5．函数的最小值是（ ）
A. B.0
C.2 D.6
6．半径为3 cm的圆中，有一条弧，长度为 cm，则此弧所对的圆心角为()
A. B.
C. D.
7．已知方程的两根为与，则（　　）
A.1 B.2
C.4 D.6
8．若α＝－2，则α的终边在（）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
9．已知函数f(x)＝(a∈R)，若函数f(x)在R上有两个零点，则a的取值范围是（）
A.(－∞，－1) B.(－∞，1)
C.(－1，0) D.[－1，0)
10．函数的零点一定位于下列哪个区间（）.
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．命题“”的否定是________
12．已知函数，则___________..
13．已知函数f（x）=x2，若存在t∈R，对任意x∈[1，m]（m＞1，m∈N），都有f（x+t）≤2x，则m的最大值为______
14．设函数在区间上的最大值和最小值分别为M、m，则___________.
15．计算：（）0+_____
16．若x，y∈(0,＋∞)，且x＋4y＝1，则的最小值为________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数.
（1）判断函数在上的单调性，并用定义证明；
（2）记函数，证明：函数在上有唯一零点.
18．改革开放四十周年纪念币从2018年12月5日起可以开始预约通过市场调查，得到该纪念章每1枚的市场价单位：元与上市时间单位：天的数据如下：
上市时间x天
8
10
32
市场价y元
82
60
82
根据上表数据，从下列函数：；；中选取一个恰当的函数刻画改革开放四十周年纪念章的市场价y与上市时间x的变化关系并说明理由
利用你选取的函数，求改革开放四十周年纪念章市场价最低时的上市天数及最低的价格
19．已知
（1）化简；
（2）若 是第三象限角，且，求的值
20．已知函数
（1）求函数的最小正周期；
（2）将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，若关于的方程在上有 2 个不等的实数解，求实数的取值范围
21．已知函数为偶函数
（1）求a的值，并证明在上单调递增；
（2）求满足的x的取值范围
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】根据偶次方根的被开方数为非负数，对数的真数大于零列不等式，由此求得函数的定义域.
【详解】依题意，
所以的定义域为.
故选：A
2、B
【解析】先解不等式，然后根据充分条件和必要条件的定义判断
【详解】由，得，所以命题p：，
由，得，所以命题q：，
因为当时，不一定成立，
当时，一定成立，
所以p是q成立的必要不充分条件，
故选：B
3、C
【解析】根据奇偶性排除A和D，由排除B.
【详解】由图可知，的图象关于原点对称，是奇函数,，，
则函数，是偶函数，排除A和D．当时，恒成立，排除B.
故选：C
4、C
【解析】利用线性回归方程过样本中心点可判断A；由回归方程求出的数值是估计值可判断B、C；根据回归方程的一次项系数可判断D；
【详解】对于A，线性回归方程一定过样本中心点，故A正确；
对于B，由于斜率是估计值，可知B正确；
对于C，当时，求得身高是是估计值，故C错误；
对于D，线性回归方程的一次项系数大于零，故身高与年龄成正相关关系，故D正确；
故选：C
【点睛】本题考查了线性回归方程的特征，需掌握这些特征，属于基础题.
5、B
【解析】
时，，故选B.
6、A
【解析】利用弧长公式计算即可
【详解】，
故选：A
7、D
【解析】由一元二次方程的根与系数的关系得出两根的和与积，再凑配求解
【详解】显然方程有两个实数解，由题意，，
所以
故选：D
8、C
【解析】根据角的弧度制与角度制之间的转化关系可得选项.
【详解】因为1 rad≈57.30°，所以－2 rad≈－114.60°，故α的终边在第三象限
故选：C.
9、D
【解析】当x>0时，f(x)有一个零点，故当x≤0时只有一个实根，变量分离后进行计算可得答案.
【详解】当x>0时，f(x)＝3x－1有一个零点x＝.
因此当x≤0时，f(x)＝ex＋a＝0只有一个实根，
∴a＝－ex(x≤0)，函数y=－ex单调递减，则－1≤a<0.
故选：D
【点睛】本题考查由函数零点个数确定参数的取值，考查指数函数的性质，属于基础题.
10、C
【解析】根据零点存在性定理可得结果.
【详解】因为函数的图象连续不断，且，
，，
，
根据零点存在性定理可知函数的零点一定位于区间内.
故选：C
【点睛】关键点点睛：掌握零点存在性定理是解题关键.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】由否定的定义写出即可.
【详解】命题“”的否定是“”
故答案为：
12、17
【解析】根据分段函数解析式计算可得；
【详解】解：因为，

故答案为：
13、5
【解析】设g（x）=f（x+t）-2x=x2+（2t-2）x+t2≤0．从而得到g（1）≤0且g（m）≤0，求得t的范围，讨论t的最值，代入m的不等式求得m的范围，结合条件可得m的最大值
【详解】函数f（x）=x2，
那么f（x+t）=x2+2tx+t2，
对任意实数x∈[l，m]，都有f（x+t）≤2x成立，即有x2+（2t-2）x+t2≤0
令g（x）=x2+（2t-2）x+t2，从而得到g（1）≤0，且g（m）≤0，
由g（1）≤0可得，
由g（m）≤0，即m2+（2t-2）m+t2≤0
当时，；
当时，
综上可得，
由m为正整数，可得m的最大值为5
故答案为5
【点睛】本题考查不等式恒成立问题解法，注意运用二次函数的性质，考查运算求解能力，是中档题
14、2
【解析】，令，易得函数为奇函数，则，从而可得出答案.
【详解】解：

，
令，
因为，
所以函数为奇函数，
所以，即，
所以，
即.
故答案为：2.
15、
【解析】根据根式、指数和对数运算化简所求表达式.
【详解】依题意，原式.
故答案为：
【点睛】本小题主要考查根式、指数和对数运算，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.
16、9
【解析】由x＋4y＝1，结合目标式，将x＋4y替换目标式中的“1”即可得到基本不等式的形式，进而求得它的最小值，注意等号成立的条件
【详解】∵x，y∈(0,＋∞)且x＋4y＝1
∴当且仅当有时取等号
∴的最小值为9
故答案为：9
【点睛】本题考查了基本不等式中“1”的代换，注意基本不等式使用条件“一正二定三相等”，属于简单题

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）在上单调递增，证明见解析；
（2）证明见解析.
【解析】（1）根据题意，结合作差法，即可求证；
（2）根据题意，结合单调性与零点存在性定理，即可求证.
【小问1详解】
函数在上单调递增.
证明：任取，则，
因为，所以，所以，
即，因此，故函数在上单调递增.
【小问2详解】
证明：因为，，
所以由函数零点存在定理可知，函数在上有零点，
因为和都在上单调递增，
所以函数在上单调递增，
故函数在上有唯一零点.
18、（1）见解析；（2）上市天数为20时，市场价最低，最低价格为10元
【解析】根据函数单调性选择模型；求出函数解析式，利用二次函数的性质得出最小值
【详解】由表格可知随着上市时间的增加，市场价y先减少，后增大，
而函数和均为单调函数，显然不符合题意；
故选择函数模型
把，，代入得：
，解得：，
∴
∴上市天数为20时，市场价最低，最低价格为10元
【点睛】本题主要考查了函数模型的选择与应用，二次函数在实际中的应用，属于中档题
19、 (1)；(2).
【解析】(1)利用诱导公式化简==；(2)由诱导公式可得，再利用同角三角函数关系求出即可
试题解析：
（1）

（2）∵,
∴，
又第三象限角，
∴，
∴
点睛：
（1）三角函数式化简的思路：①切化弦，统一名；②用诱导公式，统一角；③用因式分解将式子变形，化为最简
（2）解题时要熟练运用诱导公式和同角三角函数基本关系式，其中确定相应三角函数值的符号是解题的关键.
20、（1）
（2）
【解析】（1）利用三角恒等变换化简，由周期公式求解即可；
（2）先求出的解析式，再把所求转化为方程在上有2个不等的实数解，令，根据图象即可求得结论
【小问1详解】
解：
，即，
所以函数的最小正周期为
【小问2详解】
解：由已知可得，
方程在上有2个不等的实数解，
即方程在上有2个不等的实数解
令，
因为，，，，，
令，则，，
作出函数图象如下图所示：

要使方程在上有2个不等的实数解，
则
21、（1）；证明见解析
（2）
【解析】（1）由偶函数的定义解方程可得a=1，再由单调性的定义，结合指数函数的单调性可得结
论；
（2）由偶函数的性质：，结合（1）的结论，原不等式化为，再由绝对值不等式的解法可得所求解集.
【小问1详解】
解：由题意函数为偶函数，
∴，即
∴对任意恒成立，解得
∴
任取，则

由，可得，
∴，即，
∴在上单调递增
【小问2详解】
由偶函数的对称性可得在上单调递减，
∴，
∴，解得，
∴满足的x的取值范围是