2026届北京市清华大学附属中学朝阳学校高一数学第一学期期末综合测试模拟试题含解析.doc

2026届北京市清华大学附属中学朝阳学校高一数学第一学期期末综合测试模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知y＝（x－m）（x－n）＋2022 （m<n），且α，β（α<β）是方程y＝0的两根，则α，β，m，n的大小关系是（　　）
A.α<m<n<β B.m<α<n<β
C.m<α<β<n D.α<m<β<n
2．设函数，则下列说法错误的是（）
A.当时，的值域为
B.的单调递减区间为
C.当时，函数有个零点
D.当时，关于的方程有个实数解
3．基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0 =1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) （ ）
A.1.2天 B.1.8天
C.2.5天 D.3.5天
4．下列命题中不正确的是（ ）
A.一组数据1，2，3，3，4，5的众数大于中位数
B.数据6，5，4，3，3，3，2，2，2，1的分位数为5
C.若甲组数据的方差为5，乙组数据为5，6，9，10，5，则这两组数据中较稳定的是乙
D.为调查学生每天平均阅读时间，某中学从在校学生中，利用分层抽样的方法抽取初中生20人，高中生10人．经调查，这20名初中生每天平均阅读时间为60分钟，这10名高中生每天平均阅读时间为90分钟，那么被抽中的30名学生每天平均阅读时间为70分钟
5．形如的函数因其图像类似于汉字中的“囧”字，故我们把其生动地称为“囧函数”.若函数有最小值，则“囧函数”与函数的图像交点个数为（）
A.1 B.2
C.4 D.6
6．令，，，则三个数、、的大小顺序是（ ）
A. B.
C. D.
7．设是定义在实数集上的函数，且，若当时，，则有（ ）
A. B.
C. D.
8．设是定义在R上的奇函数，当时，（b为常数），则的值为（）
A.﹣6 B.﹣4
C.4 D.6
9．将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位，得到函数的图象，则函数的图象的一条对称轴为
A. B.
C. D.
10．已知函数，，其函数图象的一个对称中心是，则该函数的一个单调递减区间是（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．用秦九韶算法计算多项式，当时的求值的过程中，的值为________.
12．三条直线两两相交，它们可以确定的平面有______个.
13．设奇函数对任意的，，有，且，则的解集___________.
14．在函数的图像上，有______个横、纵坐标均为整数的点
15．已知角的终边经过点，则的值为_______________.
16．若扇形AOB的圆心角为，周长为10+3π，则该扇形的面积为_____
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知四棱锥P－ABCD的体积为，其三视图如图所示，其中正视图为等腰三角形，侧视图为直角三角形，俯视图是直角梯形．

(1)求正视图的面积；
(2)求四棱锥P－ABCD的侧面积．
18．已知函数，且的解集为.
（1）求函数的解析式；
（2）设，若对于任意的、都有，求的最小值.
19．如图所示，四棱锥中，底面为矩形，平面，，点为的中点

（）求证：平面
（）求证：平面平面
20．已知的顶点，边上的高所在直线的方程为，边上中线所在的直线方程为
（1）求直线的方程；
（2）求点的坐标．
21．已知是同一平面内的三个向量，其中
（1）若，且，求：的坐标
（2）若，且与垂直，求与夹角
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】根据二次函数的性质判断
【详解】记，由题意，，的图象是开口向上的抛物线，
所以上递减，在上递增，
又，，所以，，即
（也可由的图象向下平移2022个单位得的图象得出判断）
故选：C
2、C
【解析】利用二次函数和指数函数的值域可判断A选项；利用二次函数和指数函数的单调性可判断B选项；利用函数的零点个数求出的取值范围，可判断C选项；解方程可判断D选项.
【详解】选项A：当时，当时，，
当时，，
当时，，
综上，函数的值域为，故A正确；
选项B：当时，的单调递减区间为，
当时，函数为单调递增函数，无单调减区间，
所以函数的单调递减为，故B正确；
选项C：当时，令，解得或（舍去），
当时，要使有解，即在上有解，只需求出的值域即可，
当时，，且函数在上单调递减，
所以此时的范围为，故C错误；
选项D：当时，，即，即，解得或，
当，时，，则，即，解得，
所以当时，关于的方程有个实数解，故D正确.
故选：C.
3、B
【解析】根据题意可得，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为天，根据，解得即可得结果.
【详解】因为，，，所以，所以，
设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为天，
则，所以，所以，
所以天.
故选：B.
【点睛】本题考查了指数型函数模型的应用，考查了指数式化对数式，属于基础题.
4、A
【解析】由中位数以及众数判断A；由百分位数的定义计算判断B；计算乙组数据的方差判断C；计算被抽中的30名学生每天平均阅读时间从而判断D.
【详解】对于A，中位数为和众数相等，故A错误；
对于B，将该组数据从小到大排列为，，则该组数据的分位数为5，故B正确；
对于C，乙组数据，方差为，则这两组数据中较稳定的是乙，故C正确；
对于D，被抽中的30名学生每天平均阅读时间为，故D正确；
故选：A
5、C
【解析】令，根据函数有最小值，可得，由此可画出“囧函数”与函数在同一坐标系内的图象，由图象分析可得结果.
【详解】令，则函数有最小值
∵，
∴当函数是增函数时，在上有最小值，
∴当函数是减函数时，在上无最小值，
∴.此时“囧函数”与函数在同一坐标系内的图象如图所示，

由图象可知，它们的图象的交点个数为4.
【点睛】本题考查对数函数的性质和函数图象的应用，考查学生画图能力和数形结合的思想运用，属中档题.
6、D
【解析】由已知得，，，判断可得选项.
【详解】解：由指数函数和对数函数的图象可知：，，，所以，
故选：D
【点睛】本题考查了对数式、指数式的大小比较，比较大小的常用方法为同底的对数式和指数式利用其单调性进行比较，也可以借助于中间值0和1进行比较，考查了运算求解能力与逻辑推理能力，属于中档题.
7、B
【解析】由f(2－x)＝f(x)可知函数f(x)的图象关于x＝1对称，所以，
，又当x≥1时，f(x)＝lnx单调递增，所以，
故选B
8、B
【解析】根据函数是奇函数，可得，求得，结合函数的解析式即可得出答案.
【详解】解：因为是定义在R上的奇函数，当时，，
，解得
所以.
故选：B.
9、C
【解析】，
所以，所以，所以是一条对称轴
故选C
10、D
【解析】由正切函数的对称中心得，得到，令可解得函数的单调递减区间.
【详解】因为是函数的对称中心，所以，解得
因为，所以，，
令，解得，
当时，函数的一个单调递减区间是
故选：D
【点睛】本题考查正切函数的图像与性质，属于基础题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、，
【解析】利用“秦九韶算法”可知：即可求出.
【详解】由“秦九韶算法”可知：，
当求当时的值的过程中，
，，.
故答案为：
【点睛】本题考查了“秦九韶算法”的应用，属于基础题.
12、1或3
【解析】利用平面的基本性质及推论即可求出.
【详解】设三条直线为，
不妨设直线，
故直线与确定一个平面，

（1）若直线在平面内，
则直线确定一个平面；

（2）若直线不在平面内，
则直线确定三个平面；
故答案为：1或3；
13、
【解析】可根据函数的单调性和奇偶性，结合和，分析出的正负情况，求解.
【详解】对任意，，有
故在上为减函数，由奇函数的对称性可知在上为减函数
，则
则，
，

，；
，；
，；
，.
故解集为：
故答案为：
【点睛】正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：(1)定义域关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要非充分条件；(2)f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是定义域上的恒等式．奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，反之也成立．利用这一性质可简化一些函数图象的画法，也可以利用它去判断函数的奇偶性
14、3
【解析】由题可得函数为减函数，利用赋值法结合条件及函数的性质即得.
【详解】因为，
所以函数在R上单调递减，
又，，，
，且当时，，
当时，令，
则，
综上，函数的图像上，有3个横、纵坐标均为整数的点
故答案为：3.
15、
【解析】到原点的距离.
考点：三角函数的定义.
16、
【解析】设扇形AOB的的弧长为l，半径为r，由已知可得l＝3π，r＝5，再结合扇形的面积公式求解即可.
【详解】解：设扇形AOB的的弧长为l，半径为r，
∴，l+2r＝10+3π，
∴l＝3π，r＝5，
∴该扇形的面积S，
故答案为：.
【点睛】本题考查了扇形的弧长公式及扇形的面积公式，重点考查了方程的思想，属基础题.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）
【解析】（1）根据四棱锥的体积得PA=，进而得正视图的面积；
（2）过A作AE∥CD交BC于E，连接PE，确定四个侧面积面积S△PAB，S△PAD， S△PCD， S△PBC求和即可.
试题解析：
(1) 如图所示四棱锥P－ABCD的高为PA，底面积为S＝·CD＝×1＝
∴四棱锥P－ABCD的体积V四棱锥P－ABCD＝S·PA＝×·PA＝，∴PA=
∴正视图的面积为S＝×2×＝.
(2)如图所示，过A作AE∥CD交BC于E，连接PE.根据三视图可知，E是BC的中点，

且BE＝CE＝1，AE＝CD＝1，且BC⊥AE，AB=
又PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，PA⊥DC，PD=，∴BC⊥面PAE，∴BC⊥PE，
又DC⊥AD，∴DC⊥面PAD，∴DC⊥PD，且PA⊥平面ABCD.∴PA⊥AE，
∴PE2＝PA2+AE2＝3.∴PE＝.
∴四棱锥P－ABCD的侧面积为
S＝S△PAB+ S△PAD+ S△PCD+ S△PBC＝··+··1+·1·+·2·=.
点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.
18、（1）；
（2）的最小值为.
【解析】（1）利用根与系数的关系可求得、的值，即可得出函数的解析式；
（2）利用二次函数和指数函数的基本性质可求得函数在区间上的最大值和最小值，由已知可得出，由此可求得实数的最小值.
【小问1详解】
解：因为的解集为，所以的根为、，
由韦达定理可得，即，，所以.
【小问2详解】
解：由（1）可得，
当时，，
故当时，，
因为对于任意的、都有，
即求，转化为，
而，，所以，.
所以的最小值为.
19、 (1)证明见解析；(2)证明见解析.
【解析】(1)连接交于，连接．利用几何关系可证得，结合线面平行的判断定理则有直线平面
(2)利用线面垂直的定义有，结合可证得平面，则，由几何关系有，则平面，利用面面垂直的判断定理即可证得平面平面
试题解析：
（）连接交于，连接

因为矩形的对角线互相平分，
所以在矩形中，
是中点，
所以在中，
是中位线，
所以，
因为平面，平面，所以平面
（）因为平面，平面，
所以；
在矩形中有，
又，
所以平面，
因为平面，
所以；
由已知，三角形是等腰直角三角形，是斜边的中点，
所以，
因为，
所以平面，
因为平面，
所以平面平面
20、（1）；（2）
【解析】(1)由,知两条直线的斜率乘积为-1,进而由点斜式求直线即可;
(2) 设，则，代入方程求解即可.
试题解析：
（1）∵,且直线的斜率为，
∴直线的斜率为，∴直线的方程为，即
（2）设，则，
∴，解得，∴
21、（1）或；（2）
【解析】解：（1）设

（2）

代入①中，