2026届江西省南昌外国语学校高一数学第一学期期末学业质量监测试题含解析.doc

2026届江西省南昌外国语学校高一数学第一学期期末学业质量监测试题
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．终边在y轴上的角的集合不能表示成
A. B.
C. D.
2．中国古代十进制的算筹记数法在世界数学史上是一个伟大的创造.据史料推测，算筹最晚出现在春秋晚期或战国初年.算筹记数的方法是：个位、百位、万位、…上的数按纵式的数码摆出；十位、千位、十万位、…上的数按横式的数码摆出，如可用算筹表示为.

这个数字的纵式与横式的表示数码如图所示，则的运算结果用算筹表示为（）
A. B.
C. D.
3．已知向量，满足，，且与夹角为，则（）
A. B.
C. D.
4．同时掷两枚骰子，所得点数之和为的概率为
A. B.
C. D.
5．命题：的否定为（ ）
A. B.
C. D.
6．要得到函数的图象，只需的图象
A.向左平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变）
B.向左平移个单位，再把各点的纵坐标缩短到原来的倍（横坐标不变）
C.向左平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变）
D.向左平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变）
7．为了节约水资源，某地区对居民用水实行“阶梯水价”制度：将居民家庭全年用水量（取整数）划分为三档，水价分档递增，其标准如下：
阶梯
居民家庭全年用水量
（立方米）
水价
（元/立方米）
其中
水费
（元/立方米）
水资源费
（元/立方米）
污水处理费
（元/立方米）
第一阶梯
0-180（含）
5
2.07
1.57
1.36
第二阶梯
181-260（含）
7
4.07
第三阶梯
260以上
9
6.07
如该地区某户家庭全年用水量为300立方米，则其应缴纳的全年综合水费（包括水费、水资源费及污水处理费）合计为元．若该地区某户家庭缴纳的全年综合水费合计为1180元，则此户家庭全年用水量为（）
A.170立方米 B.200立方米
C.220立方米 D.236立方米
8．设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是
A.若，，则
B.若，，，则
C.若，，则
D.若，，，则
9．函数的图象大致形状为（）
A. B.
C. D.
10．已知函数的部分图象如图所示，若函数的图象由的图象向右平移个单位长度得到，则（）

A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．圆关于直线的对称圆的标准方程为___________.
12．已知函数则不等式的解集是_____________
13．函数恒过定点为__________
14．设函数，若关于x的方程有四个不同的解，，，，，且，则m的取值范围是_____，的取值范围是__________
15．已知在平面直角坐标系中，角顶点在原点，始边与轴的正半轴重合，终边经过点，则___________.
16．已知幂函数在为增函数，则实数的值为___________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．我国所需的高端芯片很大程度依赖于国外进口，“缺芯之痛”关乎产业安全、国家经济安全.如今，我国科技企业正在芯片自主研发之路中不断崛起.根据市场调查某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万部还需另投入16万美元.设该公司一年内共生产该款手机万部并全部销售完，每万部的销售收入为万美元，且当该公司一年内共生产该款手机2万部并全部销售完时，年利润为704万美元.
（1）写出年利润(万美元)关于年产量(万部)的函数解析式：
（2）当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大?并求出最大利润.
18．如图，四边形是矩形，平面，平面，，

（1）证明：平面平面；
（2）求三棱锥的体积
19．已知函数，，且.
（1）求实数m的值，并求函数有3个不同的零点时实数b的取值范围；
（2）若函数在区间上为增函数，求实数a的取值范围.
20．已知,当时，.
（1）若函数的图象过点，求此时函数的解析式；
（2）若函数只有一个零点，求实数a的值.
21．已知函数的定义域为，且对一切，，都有，当时，总有.
（1）求的值；
（2）证明：是定义域上的减函数；
（3）若，解不等式.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】分别写出终边落在y轴正半轴和负半轴上的角的集合，然后进行分析运算即可得解.
【详解】终边落在y轴正半轴上的角的集合为：
，
终边落在y轴负半轴上的角的集合为：
，
故终边在y轴上的角的集合可表示成为，
故A选项可以表示；
将与取并集为：
，故C选项可以表示；
将与取并集为：
，故终边在y轴上的角的集合可表示成为，故D选项可以表示；
对于B选项，当时，或，显然不是终边落在y轴上的角；
综上，B选项不能表示，满足题意.
故选：B.
【点睛】本题考查轴线角的定义，侧重对基础知识的理解的应用，考查逻辑思维能力和分析运算能力，属于常考题.
2、A
【解析】先利用指数和对数运算化简，再利用算筹表示法判断.
【详解】因为，
用算筹记数表示为，
故选：.
3、D
【解析】根据向量的运算性质展开可得，再代入向量的数量积公式即可得解.
【详解】根据向量运算性质，

，
故选：D
4、A
【解析】本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是同时掷两枚骰子，共有6×6种结果，而满足条件的事件是两个点数之和是5，列举出有4种结果，根据概率公式得到结果.
【详解】由题意知，本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是同时掷两枚骰子，共有6×6=36种结果，而满足条件的事件是两个点数之和是5，列举出有（1，4）（2，3）（3，2）（4，1），共有4种结果，根据古典概型概率公式得到P=.
【点睛】古典概型要求能够列举出所有事件和满足条件的事件发生的个数，本题可以列举出所有事件，概率问题同其他的知识点结合在一起，实际上是以概率问题为载体
5、B
【解析】根据全称命题的否定是特称命题判断可得.
【详解】解：命题：为全称量词命题，其否定为；
故选：B
6、D
【解析】先将函数的解析式化为，再利用三角函数图象的变换规律得出正确选项.
【详解】，
因此，将函数的图象向左平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变），可得到函数的图象，故选D.
【点睛】本题考查三角函数的图象变换，处理这类问题的要注意以下两个问题：
（1）左右平移指的是在自变量上变化了多少；（2）变换时两个函数的名称要保持一致.
7、C
【解析】根据用户缴纳的金额判定全年用水量少于260，利用第二档的收费方式计算即可.
【详解】若该用户全年用水量为260，
则应缴纳元，
所以该户家庭的全年用水量少于260，
设该户家庭全年用水量为x，
则应缴纳元，
解得.
故选：C
8、C
【解析】根据空间中直线与平面，平面与平面的位置关系即得。
【详解】A.因为垂直于同一平面的两个平面可能平行或相交，不能确定两平面之间是平行关系，故不正确；
B.若，，，则或相交，故不正确；
C.由垂直同一条直线的两个平面的关系判断，正确；
D.若，，，则或相交，故不正确.
故选：C
【点睛】本题考查空间直线和平面，平面和平面的位置关系，考查学生的空间想象能力。
9、A
【解析】首先判断函数的奇偶性，再利用上的函数值的正负即可判断；
【详解】解：因为，定义域为，且
所以为偶函数，函数图象关于轴对称，故排除、；
又当时，，，所以，则，所以，所以，即可排除C；
故选：A
10、A
【解析】结合图象利用五点法即可求得函数解析式.
【详解】由图象可得解得，
因为，所以．又因为，所以
因为，所以，，即，．又因为，所以．．
故选：A.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】两圆关于直线对称,则两圆的圆心关于直线对称,且两圆半径相同,由此求解即可
【详解】由题,圆的标准方程为,即圆心,半径为,
设对称圆的圆心为,则,解得,
所以对称圆的方程为,
故答案为:
【点睛】本题考查圆关于直线对称的圆,属于基础题
12、
【解析】分和0的大小关系分别代入对应的解析式即可求解结论.
【详解】∵函数，
∴当，即时，，故；
当，即时，，故；
∴不等式的解集是：.
故答案为：.
13、
【解析】当时，，
故恒过
点睛：函数图象过定点问题，主要有指数函数过定点，对数函数过定点，幂函数过点，注意整体思维，整体赋值求解
14、 ①. ②.
【解析】画出的图象，结合图象可得的取值范围及，，再利用函数的单调性可求目标代数式的范围.
【详解】的图象如下图所示，
当时，直线与的图象有四个不同的交点，
即关于x的方程有四个不同的解，，，．结合图象，
不难得即
又，得即，且，
所以，设，
易知道在上单调递增，所以，
即的取值范围是
故答案为：，.

思路点睛：知道函数零点的个数，讨论零点满足的性质时，一般可结合初等函数的图象和性质来处理，注意图象的正确的刻画.
15、
【解析】根据角的终边经过点，利用三角函数的定义求得，然后利用二倍角公式求解.
【详解】因为角的终边经过点，
所以，
所以，
所以，
故答案为：
16、4
【解析】根据幂函数的定义和单调性，即可求解.
【详解】解：为递增的幂函数，所以，即，
解得：，
故答案为：4

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）32万部，最大值为6104万美元.
【解析】（1）先由生产该款手机2万部并全部销售完时，年利润为704万美元，解得，然后由，将代入即可.
（2）当时利用二次函数的性质求解；当时，利用基本不等式求解，综上对比得到结论.
【详解】（1）因为生产该款手机2万部并全部销售完时，年利润为704万美元.
所以，
解得，
当时，，
当时，.
所以
（2）①当时，，所以；
②当时，，由于，
当且仅当，即时，取等号，所以此时的最大值为5760.
综合①②知，当，取得最大值为6104万美元.
【点睛】思路点睛：应用题的基本解题步骤：
（1）根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值；
（2）设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数；
（3）解应用题时，要注意变量的实际意义及其取值范围；
（4）在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解
18、（1）证明见解析
（2）1
【解析】（1）由平面，平面，得到，利用线面平行的判定定理得到平面，平面，然后利用面面平行的判定定理证明；
（2）由平面，得到点到平面的距离，然后利用求解
【小问1详解】
证明：平面，平面，
，
又平面，平面，
平面，
在矩形中，，且平面，平面，
平面，
又，
∴平面平面
【小问2详解】
平面，
∴点到平面的距离为，
∵四边形矩形，，，
，

19、（1）..（2）
【解析】
（1）由求得，作出函数图象可知的范围；
（2）由函数图象可知区间所属范围，列不等式示得结论．
【详解】（1）因为，所以.
函数大致图象如图所示

令，得.
故有3个不同的零点.
即方程有3个不同的实根.
由图可知.
（2）由图象可知，函数在区间和上分别单调递增.
因为，且函数在区间上为增函数，
所以可得，解得.
所以实数a的取值范围为.
【点睛】本题考查由函数值求参数，考查分段函数的图象与性质．考查零点个数问题与转化思想．属于中档题．
20、 (1) (2)或.
【解析】（1）由计算；
（2）只有一个解，由对数函数性质转化为方程只有一个正根，分，和讨论
【详解】（1）,当时，.
函数的图象过点，
，解得，
此时函数.
（2）
，
∵函数只有一个零点，
只有一个正解，
∴当时，，满足题意；
当时，只有一个正根，若，解得，此时，满足题意；
若方程有两个相异实根，则两根之积为，此时方程有一个正根，符合题意；
综上，或.
【点睛】本题考查函数零点与方程根的分布问题．解题时注意函数的定义域，在转化时要正确确定　方程根的范围，对多项式方程，要按最高次项系数为0和不为0进行分类讨论
21、（1）；
（2）证明见解析；（3）.
【解析】（1）令即可求得结果；
（2）设，由即可证得结论；
（3）将所求不等式化为，结合单调性和定义域的要求即可构造不等式组求得结果.
【小问1详解】
令，则，解得：；
【小问2详解】
设，则，
，，，是定义域上的减函数；
【小问3详解】
由得：，即，
又，，
是定义域上的减函数，，解得：；
又，，
的解集为.
【点睛】思路点睛：本题考查抽象函数的函数值的求解、单调性证明以及利用单调性求解函数不等式的问题；求解函数不等式的基本思路是将所求不等式化为同一函数的两个函数值之间的比较问题，进而通过函数的单调性得到自变量的大小关系.