2025-2026学年吉林市普通高中数学高一上期末学业水平测试试题含解析.doc

2025-2026学年吉林市普通高中数学高一上期末学业水平测试试题
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知，则(　　)
A. B.1
C. D.2
2．已知函数是定义域为的奇函数，且，当时，，则（）
A. B.
C. D.
3．已知a，b，，那么下列命题中正确的是（ ）
A.若，则 B.若，则
C.若，且，则 D.若，且，则
4．若关于x的不等式的解集为，则关于函数，下列说法不正确的是（）
A.在上单调递减 B.有2个零点，分别为1和3
C.在上单调递增 D.最小值是
5．如图所示韦恩图中，若A={1，2，3，4，5}，B={3，4，5，6，7}，则阴影部分表示的集合是（　　）

A.2，3，4，5，6， B.2，3，4，
C.4，5，6， D.2，6，
6．下列函数在其定义域上既是奇函数又是减函数的是（）
A. B.
C. D.
7．根据表格中的数据， 可以判定函数的一个零点所在的区间为．

A. B.
C. D.
8． “”是“为第二象限角”的（）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
9．已知函数，，则的值域为（）
A. B.
C. D.
10．设、是两个非零向量，下列结论一定成立的是（）
A.若，则
B.若，则存在实数，使得
C若，则
D.若存在实数，使得，则|
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．函数f（x）＝cos的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则函数的解析式为_______，函数的值域是________
12．函数为奇函数，当时，，则______
13．已知角的终边上有一点，则________.
14．函数零点的个数为______.
15．已知定义在上的偶函数，当时，若直线与函数的图象恰有八个交点，其横坐标分别为，，，，，，，，则的取值范围是___________.
16．一个棱长为2 cm的正方体的顶点都在球面上，则球的体积为_______cm³.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数
（1）若在区间上有最小值为，求实数m的值；
（2）若时，对任意的，总有，求实数m的取值范围
18．已知函数
（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；
（2）若，且，求的值.
19．已知集合.
（1）若是空集,求取值范围；
（2）若中只有一个元素,求的值,并把这个元素写出来.
20．
（1）求a值以及函数的定义域；
（2）求函数在区间上的最小值；
（3）求函数的单调递增区间
21．已知函数.
（1）若函数的定义域为，求集合；
（2）若集合，求.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】根据指数和对数的关系，将指数式化为对数式，再根据换底公式及对数的运算法则计算可得；
【详解】解：，，，
，

故选：D
2、A
【解析】由奇偶性结合得出，再结合解析式得出答案.
【详解】由函数是定义域为的奇函数，且，，而，则
故选：A
3、A
【解析】根据不等式的性质判断
【详解】若，显然有，所以，A正确；
若，当时，，B错；
若，则，当时，，，C错；
若，且，也满足已知，此时，D错；
故选：A
4、C
【解析】根据二次函数性质逐项判断可得答案.
【详解】方程的两个根是1和3，则函数图象的对称轴方程是，是开口向上的抛物线，A正确；C错误；
函数的两个零点是1和3，因此B正确；又，，，即，为最小值，D正确
故选：C.
5、D
【解析】根据图象确定阴影部分的集合元素特点，利用集合的交集和并集进行求解即可
【详解】阴影部分对应的集合为{x|x∈A∪B且x∉A∩B}，
∵A∪B={1，2，3，4，5，6，7}，A∩B={3，4，5}，
∴阴影部分的集合为{1，2，6，7}，
故选D
【点睛】本题主要考查集合的运算，根据Venn图表示集合关系是解决本题的关键
6、D
【解析】对于A：由定义法判断出不是奇函数，即可判断；
对于B：判断出在R上为增函数，即可判断；
对于C：不能说在定义域是减函数，即可判断；
对于D：用图像法判断.
【详解】对于A：的定义域为R..所以不是奇函数，故A错误；
对于B：在R上为增函数.故B错误；
对于C：在为减函数，在为减函数，但不能说在定义域是减函数.故C错误；
对于D：，作出图像如图所示：

所以既是奇函数又是减函数.故D正确.
故选：D
7、D
【解析】函数，满足.
由零点存在定理可知函数的一个零点所在的区间为.
故选D.
点睛：函数的零点问题，常根据零点存在性定理来判断，如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)使得f(c)＝0, 这个c也就是方程f(x)＝0的根．由此可判断根所在区间.
8、B
【解析】利用辅助角公式及正弦函数的性质解三角形不等式，再根据集合的包含关系判断充分条件、必要条件即可；
【详解】解：由，即，所以，，解得，，即，又第二象限角为，因为真包含于，所以“”是“为第二象限角”的必要不充分条件；
故选：B
9、A
【解析】根据两角和的正弦公式、二倍角公式和辅助角公式化简可得，结合和正弦函数的单调性即可求出函数的最大值和最小值.
【详解】由题意知，
，
由，得，
又函数在上单调递增，在上单调递减，
令，所以函数在上单调递增，在上单调递减，
有，
所以，
故的值域为.
故选：A
10、B
【解析】利用向量共线定理、垂直数量积为0来综合判断.
【详解】A：当、方向相反且时，就可成立，A错误；
B：若，则、方向相反，故存在实数，使得，B正确；
C：若，则说明，不一定有，C错误；
D：若存在实数，使得，则，D错误.
故选：B

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、 ①. ②.
【解析】由题意利用函数的图象变换规律求得的解析式，可得的解析式，再根据余弦函数的值域，二次函数的性质，求得的值域
【详解】函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，
函数
，，
故当时，取得最大值为；
当时，取得最小值为，
故的值域为，，
故答案为：；，
12、
【解析】根据对数运算和奇函数性质求解即可.
【详解】解：因为函数为奇函数，当时，
所以．
故答案为：
13、
【解析】直接根据任意角的三角函数的定义计算可得；
【详解】解：因为角的终边上有一点，则
所以，
所以
故答案为：
【点睛】考查任意角三角函数的定义的应用，考查计算能力，属于基础题
14、2
【解析】将函数的零点的个数转化为与的图象的交点个数，在同一直角坐标系中画出图象即可得答案.
【详解】解：令，这，
则函数的零点的个数即为与的图象的交点个数，
如图：

由图象可知，与的图象的交点个数为2个，
即函数的零点的个数为2.
故答案为：2.
【点睛】本题考查函数零点个数问题，可转化为函数图象交点个数，考查学生的作图能力和转化能力，是基础题.
15、
【解析】先作出函数的大致图象，由函数性质及图象可知八个根是两两关于轴对称的，因此分析可得,，进而将转化为
形式，再数形结合，求得结果.
【详解】作出函数的图象如图：

直线与函数的图象恰有八个交点，其横坐标分别为，，，，，，，，
不妨设从左到右分别是，，，，，，，，则 ，
由函数解析式以及图象可知： ，
即 ，同理： ；
由图象为偶函数，图象关于轴对称可知： ，
所以
又因为是方程 的两根，
所以 ，
而 ，所以 ，
故 ，
即，
故答案为：
16、
【解析】因为一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为2，
所以正方体的外接球的直径就是正方体的对角线的长度：2
所以球的半径为：
所求球的体积为=
故答案为：

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）或；（2）.
【解析】（1）可知的对称轴为，讨论对称轴的范围求出最小值即可得出；
（2）不等式等价于，求出最大值和最小值即可解出.
【详解】（1）可知的对称轴为，开口向上，
当，即时，，
解得或（舍），∴
当，即时，，
解得，∴
综上，或
（2）由题意得，对，
∵，，
∴，
∴，
解得，∴
【点睛】本题考查含参二次函数的最值问题，属于中档题.
18、（1）
（2）
【解析】（1）运用两角和（差）的正弦公式、二倍角的正余弦公式、辅助角公式化简函数的解析式，最后根据正弦型函数的最小正周期公式进行求解即可；
（2）运用换元法，结合正弦函数的性质进行求解即可.
【小问1详解】

故的最小正周期为,
由得，
所以增区间是；
【小问2详解】
由（1）知 由得：，
因为，所以 ，所以
19、（1）（2）时,；时，
【解析】（1）有由是空集,可得方程无解，故，由此解得的取值范围；（2）若中只有一个元素，则或，求出的值，再把的值代入方程，解得的值，即为所求.
试题解析：（1）要使为空集,方程应无实根,应满足解得.
（2）当时,方程为一次方程,有一解；
当,方程为一元二次方程,使集合只有一个元素的条件是,解得,.
∴时,，元素为：
；
时，.元素为：

20、（1），；
（2）；
（3）﹒
【解析】(1)由f(1)＝－2解得a，由1＋x＞0且3－x＞0解得定义域；
(2)化简f(x)解析式，根据x范围求出真数部分范围，即可求其最值；
(3)根据复合函数单调性判断方法“同增异减”即可﹒
【小问1详解】
，
解得；
故，由，
解得：，故函数的定义域是；
【小问2详解】
由(1)得，
令
得，则原函数为，
由于该函数在上单调递减，∴，
因此，函数在区间上的最小值是；
【小问3详解】
由(1)得：，
令的对称轴是，
故在递增，在递减，
∴在递增，在递减，
故函数单调递增区间为
21、 (1) ;(2) .
【解析】⑴满足函数有意义的条件为，求出结果即可；⑵根据已知条件及并集的运算法则可得结果；
解析：（1)要使函数有意义，
则要，得.
所以.
（2）∵，∴