河北省博野县2025年数学高一上期末监测试题含解析.doc

河北省博野县2025年数学高一上期末监测试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．数列满足，且对任意的都有，则数列的前100项的和为
A. B.
C. D.
2．已知集合，集合，则下列结论正确的是
A. B.
C. D.
3．若函数在区间上为减函数，在区间上为增函数，则
A.3 B.2
C. D.
4．下列函数中，满足对定义域内任意实数，恒有的函数的个数为（ ）
① ② ③ ④
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
5．已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则的值是
A. B.
C. D.
6．已知平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、，为所在平面内的一点，且满足，则点的坐标为（ ）
A. B.
C. D.
7．函数，若恰有3个零点，则a的取值范围是（）
A. B.
C. D.
8．化简 =
A.sin2+cos2 B.sin2-cos2
C.cos2-sin2 D.± (cos2-sin2)
9．已知函数，则，（）
A.4 B.3
C. D.
10．函数的最大值为
A.2 B.
C. D.4
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知函数则的值等于____________.
12．下列命题中所有正确的序号是______________
①函数最小值为4；
②函数的定义域是，则函数的定义域为；
③若，则的取值范围是；
④若 (,)，则
13．已知函数(，且)的图象恒过定点，且点在幂函数的图象上，则__________.
14．已知关于不等式的解集为，则的最小值是___________.
15．设，关于的方程有两实数根，，且，则实数的取值范围是___________.
16．从含有两件正品和一件次品b的3件产品中，按先后顺序任意取出两件产品，每次取出后不放回，取出的两件产品都是正品的概率为__________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数.
（1）当时，解关于的不等式；
（2）请判断函数是否可能有两个零点，并说明理由；
（3）设，若对任意的，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求实数的取值范围.
18．已知函数f（x）＝2sin（2x＋）（x∈R）
（1）求f（x）的最小正周期：
（2）求不等式成立的x的取值集合.
（3）求x∈的最大值和最小值.
19．已知，，，且.
（1）求的值；
（2）求的值.
20．已知函数，.
（1）求的最小正周期；
（2）求在区间上的最大值和最小值.
21．已知函数的图象过点，.
（1）求函数的解析式；
（2）若函数在区间上有零点，求整数k的值；
（3）设，若对于任意，都有，求m的取值范围.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】先利用累加法求出，再利用裂项相消法求解.
【详解】∵，
∴，
又，
∴

∴，
∴数列的前100项的和为：
故选B
【点睛】本题主要考查数列通项的求法，考查裂项相消求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
2、B
【解析】由题意得，结合各选项知B正确．选B
3、C
【解析】由题意得当时，函数取得最小值，
∴，
∴
又由条件得函数的周期，解得，
∴．选C
4、A
【解析】根据因为函数满足对定义域内任意实数，恒有，可得函数的图象是“下凸”，然后由函数图象判断.
【详解】因为函数满足对定义域内任意实数，恒有，
所以函数的图象是“下凸”，
分别作出函数① ② ③ ④的图象，

由图象知，满足条件的函数有③一个，
故选：A
5、B
【解析】根据偶函数性质的,再代入对应解析式得结果.
【详解】因为函数是定义在上的偶函数，所以,选B.
【点睛】本题考查偶函数应用，考查基本转化求解能力，属于基础题.
6、A
【解析】设点的坐标为，根据向量的坐标运算得出关于、的方程组，解出这两个未知数，可得出点的坐标.
【详解】设点的坐标为，，，，
，即，解得，
因此，点的坐标为.
故选：A.
【点睛】本题考查向量的坐标运算，考查计算能力，属于基础题.
7、B
【解析】画出的图像后，数形结合解决函数零点个数问题.
【详解】做出函数图像如下

由得，由得
故函数有3个零点
若恰有3个零点，即函数与直线有三个交点，
则a的取值范围，
故选：B
8、A
【解析】利用诱导公式化简根式内的式子，再根据同角三角函数关系式及大小关系，即可化简
【详解】根据诱导公式，化简得

又因为

所以选A
【点睛】本题考查了三角函数式的化简，关键注意符号，属于中档题
9、D
【解析】根据分段函数解析式代入计算可得；
【详解】解：因为，，所以，
所以
故选：D
10、B
【解析】根据两角和的正弦公式得到函数的解析式，结合函数的性质得到结果.
【详解】函数根据两角和的正弦公式得到，因为x根据正弦函数的性质得到最大值为.
故答案为B.
【点睛】这个题目考查了三角函数的两角和的正弦公式的应用，以及函数的图像的性质的应用，题型较为基础.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、18
【解析】根据分段函数定义计算
【详解】
故答案为：18
12、③④
【解析】利用基本不等式可判断①正误；利用抽象函数的定义域可判断②的正误；解对数不等式可判断③；构造函数，函数在上单调递减，结合，求得可判断④.
详解】对于①，当时，，由基本不等式可得，
当且仅当时，即当时，等号成立，但，故等号不成立，
所以，函数，的最小值不是，①错误；
对于②，若函数的定义域为，则有，解得，即函数的定义域为，②错误；
对于③，若，所以当时，解得：，不满足；当时，解得：，所以的取值范围是，③正确；
对于④，令，函数在上单调递减，由得，则，即，故④正确.
故答案为：③④.
13、
【解析】先求出定点的坐标，再代入幂函数，即可求出解析式.
【详解】令可得，此时，
所以函数(，且)的图象恒过定点，
设幂函数，则，解得，
所以，
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题的关键点是利用指数函数的性质和图象的特点得出，设幂函数，代入即可求得，.
14、
【解析】由题知，进而根据基本不等式求解即可.
【详解】解：因为关于的不等式的解集为，
所以是方程的实数根，
所以，
因为，
所以，当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值是
故答案为：
15、
【解析】结合一元二次方程根的分布的知识列不等式组，由此求得的取值范围.
【详解】令，
依题意关于的方程有两实数根，，且，
所以，即，解得.
故答案为：
16、
【解析】基本事件总数6，取出的两件产品都是正品包含的基本事件个数2，由此能求出取出的两件产品都是正品的概率.
【详解】从含有两件正品和一件次品的3件产品中，
按先后顺序任意取出两件产品，每次取出后不放回，
共包含，，，，，6个基本事件，
取出的两件产品都是正品包含，2个基本事件，
∴取出的两件产品都是正品的概率为，
故答案为：.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）不可能，理由见解析
（3）
【解析】（1）结合对数函数的定义域，解对数不等式求得不等式的解集.
（2）由，求得，，但推出矛盾，由此判断没有两个零点.
（3）根据函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1列不等式，结合分离常数法来求得的取值范围.
【小问1详解】
当时，不等式可化为，
有，有
解得，
故不等式，的解集为.
【小问2详解】
令，有，
有，，
，，
则，
若函数有两个零点，记，必有，，
且有，此不等式组无解，
故函数不可能有两个零点.
【小问3详解】
当，，时，，函数单调递减，
有，
有，
有
有，整理为，
由对任意的恒成立，必有
解得，
又由，可得，
由上知实数的取值范围为.
18、（1）
（2）
（3）最大值为2，最小值-1
【解析】（1）利用正弦函数的周期即可求得；
（2）先求出的解析式，再根据正弦函数的图像性质求解不等式；
（3）根据x∈，求得，再根据正弦函数的图像性质可得函数f（x）在的最大值和最小值.
【小问1详解】
，∴f（x）的最小正周期为；
【小问2详解】
∵∴∴
∴不等式成立的的取值集合为
【小问3详解】
∵，∴，∴， -
∴﹣1≤≤2
∴当，即时，f（x）的最小值为﹣1；
当，即时，f（x）的最大值为2.
19、（1）.（2）
【解析】（1）由已知根据同角三角函数的基本关系可求得,根据代入即可求得求得结果.
（2）由(1)利用二倍角公式,可求得,进而可得的值,根据角的范围,即可确定结果.
【详解】（1）∵，且
∴∴
又∵
∴
（2）∴∴或
∵∴
又∵∴
∵，且∴
又∵∴∴
【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系,二倍角公式,两角和与差的三角函数,考查已知三角函数值求角,属于基础题.
20、（1）
（2）最大值为，最小值为
【解析】（1）利用二倍角公式和两角和正弦公式化简再由周期公式计算可得答案；
（2）根据当的范围可得，再计算出可得答案.
【小问1详解】

，
所以的最小正周期.
【小问2详解】
当时， ，
所以，
所以 ，
所以在区间上的最大值为和最小值.
21、（1）；（2）的取值为2或3；（3）.
【解析】（1）根据题意，得到，求得的值，即可求解；
（2）由（1）可得，得到，设，根据题意转化为函数在上有零点，列出不等式组，即可求解；
（3）求得的最大值，得出，得到，设，结合单调性和最值，即可求解.
【详解】（1）函数的图像过点，所以，解得，
所以函数的解析式为.
（2）由（1）可知，，
令，得，
设，则函数在区间上有零点，
等价于函数在上有零点，所以，解得，
因为，所以的取值为2或3.
（3）因为且，所以且，
因为，
所以的最大值可能是或，
因为

所以，
只需，即，
设，在上单调递增，
又，∴，即，所以，
所以m的取值范围是.
【点睛】已知函数的零点个数求解参数的取值范围问题的常用方法：
1、分离参数法：一般命题的情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为从中分离出参数，构造新的函数，求得新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，从而确定参数的取值范围；
2、分类讨论法：一般命题的情境为没有固定的区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为结合函数的单调性，先确定参数分类的标准，在每个小区间内研究函数零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各校范围并在一起，即为所求的范围.