2025年上海市延安中学数学高一上期末检测模拟试题含解析.doc

2025年上海市延安中学数学高一上期末检测模拟试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．在下列命题中，不是公理的是
A.平行于同一条直线的两条直线互相平行
B.如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内
C.空间中，如果两个角的两边分别对应平行，那么这两角相等或互补
D.如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
2．函数的单调递减区间为　　
A. B.
C. D.
3．若函数的图象与轴有交点，且值域，则的取值范围是（）
A. B.
C. D.
4．已知函数的定义域为,则函数的定义域为(　　)
A. B.
C. D.
5．已知正方体外接球的表面积为，正方体外接球的表面积为，若这两个正方体的所有棱长之和为，则的最小值为（）
A. B.
C. D.
6．函数，其部分图象如图所示，则（）

A. B.
C. D.
7．已知函数有唯一零点，则负实数（ ）
A. B.
C.-3 D.-2
8．已知函数，则
A.是奇函数，且在R上是增函数 B.是偶函数，且在R上是增函数
C.是奇函数，且在R上是减函数 D.是偶函数，且在R上是减函数
9．下列关系式中，正确的是
A. B.
C. D.
10．已知是以为圆心的圆上的动点，且，则
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知扇形的周长为8，则扇形的面积的最大值为_________，此时扇形的圆心角的弧度数为________
12．函数在一个周期内的图象如图所示，此函数的解析式为_______________

13．函数，函数有______个零点，若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是______.
14．不等式的解集为___________.
15．已知，函数，若，则______，此时的最小值是______.
16．关于的不等式的解集是________
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数.
(1)当时，求方程的解；
(2)若，不等式恒成立，求的取值范围.
18．已知函数
（1）求证：用单调性定义证明函数是上的严格减函数；
（2）已知“函数的图像关于点对称”的充要条件是“对于定义域内任何恒成立”.试用此结论判断函数的图像是否存在对称中心，若存在，求出该对称中心的坐标；若不存在，说明理由；
（3）若对任意，都存在及实数，使得，求实数的最大值.
19．某兴趣小组在研究性学习活动中，通过对某商店一种商品销售情况的调查发现：该商品在过去的一个月内（以天计）的日销售价格（元）与时间（天）的函数关系近似满足（为常数）.该商品的日销售量（个）与时间（天）部分数据如下表所示：
（天）

（个）

已知第天该商品日销售收入为元.
（1）求出该函数和的解析式；
（2）求该商品的日销售收入（元）的最小值.
20．观察下列各等式：，，.
（1）请选择其中的一个式子，求出a的值；
（2）分析上述各式的特点，写出能反映一般规律的等式，并进行证明.
21．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用，现有一个筒车按逆时针方向匀速转动．每分钟转动5圈，如图，将该简车抽象为圆O，筒车上的盛水桶抽象为圆O上的点P，已知圆O的半径为，圆心O距离水面，且当圆O上点P从水中浮现时（图中点）开始计算时间

（1）根据如图所示的直角坐标系，将点P到水面的距离h（单位：m，在水面下，h为负数）表示为时间t（单位：s）的函数，并求时，点P到水面的距离；
（2）在点P从开始转动的一圈内，点P到水面的距离不低于的时间有多长？
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】A,B,D分别为公理4,公理1,公理2,C为角平行性质,选C
2、A
【解析】根据所给的二次函数的二次项系数大于零，得到二次函数的图象是一个开口向上的抛物线，根据对称轴，考查二次函数的变化区间，得到结果
【详解】解：函数的二次项的系数大于零，
抛物线的开口向上，
二次函数的对称轴是，
函数的单调递减区间是
故选A
【点睛】本题考查二次函数的性质，属于基础题
3、D
【解析】由函数有零点，可求得，由函数的值域可求得，综合二者即可得到的取值范围.
【详解】定义在上的函数，
则，由函数有零点，所以，解得；
由函数的值域，所以，解得；
综上，的取值范围是
故选：D
4、C
【解析】解不等式即得函数的定义域.
【详解】由题得，解之得，所以函数的定义域为.
故答案为C
【点睛】本题主要考查复合函数的定义域的求法，考查具体函数的定义域的求法和对数函数的单调性，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
5、B
【解析】设正方体的棱长为，正方体的棱长为，然后表示出两个正方体外接球的表面积，求出化简变形可得答案
【详解】解：设正方体的棱长为，正方体的棱长为
因为，所以，则
因为，所以，
因为，
所以，
故当时，取得最小值，且最小值为
故选：B
6、C
【解析】利用图象求出函数的解析式，即可求得的值.
【详解】由图可知，，函数的最小正周期为，则，
所以，，由图可得，
因为函数在附近单调递增，
故，则，
，故，所以，，
因此，.
故选：C.
7、C
【解析】注意到直线是和的对称轴，故是函数的对称轴，
若函数有唯一零点，零点必在处取得，所以，又,解得.
选C.
8、A
【解析】分析：讨论函数的性质，可得答案.
详解：函数的定义域为，且 即函数 是奇函数，
又在都是单调递增函数，故函数 在R上是增函数
故选A.
点睛：本题考查函数的奇偶性单调性，属基础题.
9、C
【解析】不含任何元素的集合称为空集，即为，而代表由单元素0组成的集合，
所以，
而与的关系应该是.
故选C.
10、A
【解析】根据向量投影的几何意义得到结果即可.
【详解】由A，B是以O为圆心的圆上的动点，且，
根据向量的点积运算得到＝||•||•cos，
由向量的投影以及圆中垂径定理得到：||•cos即OB在AB方向上的投影，等于AB的一半，故得到＝||•||•cos.
故选A
【点睛】本题考查向量的数量积公式的应用，以及向量投影的应用．平面向量数量积公式的应用主要有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， （此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影， 在 上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量 的模（平方后需求）.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、 ①.4 ②.2
【解析】根据扇形的面积公式，结合配方法和弧长公式进行求解即可.
【详解】设扇形所在圆周的半径为r，弧长为l，有，
，
此时，，
故答案为：；
12、
【解析】根据所给的图象，可得到，周期的值，进而得到，根据函数的图象过点可求出的值，得到三角函数的解析式
【详解】由图象可知，，
，
，
三角函数的解析式是
函数的图象过,，
把点的坐标代入三角函数的解析式，

，又，
，
三角函数的解析式是.
故答案为：.
13、 ①.1 ②.
【解析】(1)画出图像分析函数的零点个数
(2)条件转换为有三个不同的交点求实数的取值范围问题,数形结合求解即可.
【详解】(1)由题,当时,,当时,为二次函数,对称轴为,且过开口向下.故画出图像有

故函数有1个零点.
又有三个不同的交点则有图像有最大值为
.故.
故答案为：(1).1 (2).
【点睛】本题主要考查了数形结合求解函数零点个数与根据零点个数求参数范围的问题,属于中档题.
14、
【解析】根据对数函数的单调性解不等式即可.
【详解】由题设，可得：，则，
∴不等式解集为.
故答案：.
15、 ①. ②.
【解析】直接将代入解析式即可求的值，进而可得的解析式，再分段求最小值即可求解.
【详解】因为，所以，
所以，
当时，对称轴为，开口向上，
此时在单调递增，，
当时，，此时时，最小值，
所以最小值为，
故答案为：；.
16、
【解析】不等式，可变形为：，所以.
即，解得或.
故答案为.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）或；（2）
【解析】（1）由题意可得，由指数方程的解法即可得到所求解；
（2）由题意可得，设，，，可得，即有，由对勾函数的单调性可不等式右边的最大值，进而得到所求范围
【详解】（1）方程，即为，
即有，所以或，
解得或；
（2）若，不等式恒成立
可得，即，
设，，可得，
即有，
由在递增，可得时取得最大值，
即有
【点睛】本题考查指数方程的解法和不等式恒成立问题的解法，注意运用换元法和参数分离法，结合对勾函数的单调性，考查运算能力和推理能力，属于中档题
18、（1）见解析；
（2）存在，为；
（3）2.
【解析】(1)先设，然后利用作差法比较与的大小即可判断；
假设函数的图像存在对称中心，
(2)结合函数的对称性及恒成立问题可建立关于，的方程，进而可求，；
(3)由已知代入整理可得，的关系，然后结合恒成立可求的范围，进而可求
【小问1详解】
设，则，
∴，
∴函数是上的严格减函数；
【小问2详解】
假设函数的图像存在对称中心，
则恒成立，
整理得恒成立，
∴，
解得，，
故函数的对称中心为；
【小问3详解】
∵对任意,，都存在,及实数，使得，
∴，
即，
∴，
∴，
∵,，∴,，
∵,，∴,,，
∴，即，
∴，
∴，即的最大值为2
19、（1），
（2）最小值为元
【解析】（1）利用可求得的值，利用表格中的数据可得出关于、的方程组，可解得、的值，由此可得出函数和的解析式；
（2）求出函数的解析式，利用基本不等式、函数单调性求得在且、且的最小值，比较大小后可得出结论.
【小问1详解】
解：依题意知第天该商品的日销售收入为，
解得，所以，.
由表格可知，解得.
所以，.
【小问2详解】
解：由（1）知，
当且时，，
当且时，.
，
当时，由基本不等式可得，
当且仅当时，等号成立，即.
当时，因为函数、均为减函数，则函数为减函数，
所以当时，取得最小值，且.
综上所述，当时，取得最小值，且.
故该商品的日销售收入的最小值为元.
20、（1）
（2）证明见详解
【解析】（1）利用第三个式子，结合特殊角的三角函数值代入计算即可；
（2）用两角和正弦公式展开，代入化简，结合，即得解
【小问1详解】
由题意，
【小问2详解】
根据题干中各个式子的特点，猜想等式：
证明：左边

即得证
21、（1），m
（2）4s
【解析】（1）根据题意先求出筒车转动的角速度，从而求出h关于时间t的函数，和时的函数值；（2）先确定定义域，再求解不等式，得到，从而求出答案.
【小问1详解】
筒车按逆时针方向匀速转动．每分钟转动5圈，故筒车每秒转动的角速度为，故，当时，，故点P到水面的距离为m
【小问2详解】
点P从开始转动的一圈，所用时间，令，其中，解得：，则，故点P到水面的距离不低于的时间为4s.