2026届广西陆川县中学数学高一第一学期期末达标测试试题含解析.doc

2026届广西陆川县中学数学高一第一学期期末达标测试试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知集合，且，则的值可能为（ ）
A B.
C.0 D.1
2．在平面直角坐标系中，设角的终边上任意一点的坐标是，它与原点的距离是，规定：比值叫做的正余混弦，记作.若，则（）
A. B.
C. D.
3．已知函数f（x）=，若f（f（-1））=6，则实数a的值为（　　）
A.1 B.
C.2 D.4
4．已知向量，，，若，，则（）
A. B.
C. D.
5．已知为三角形的内角，且，则（　　）
A. B.
C. D.
6．某工厂设计了一款纯净水提炼装置，该装置可去除自来水中的杂质并提炼出可直接饮用的纯净水，假设该装置每次提炼能够减少水中50%的杂质，要使水中的杂质不超过原来的4%，则至少需要提炼的次数为（）（参考数据：取）
A.5 B.6
C.7 D.8
7．设 ，则（ ）
A. B.
C. D.
8．若集合,则（ ）
A. B.
C. D.
9．已知α是第三象限的角，且，则（ ）
A. B.
C. D.
10．已知集合，，则　　
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．要制作一个容器为4，高为无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是_______（单位：元）
12．已知，则_________
13．已知f（x）=mx3-nx+1（m，n∈R），若f（-a）=3，则f（a）=______
14．函数在上为单调递增函数，则实数的取值范围是______
15．若圆上有且仅有两个点到直线的距离等于1，则半径R的取值范围是_____
16．函数的最小正周期为，将的图象向左平移个单位长度，所得图象关于原点对称，则的值为__________
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．在中，设角的对边分别为，已知.
（1）求角的大小；
（2）若，求周长的取值范围.
18．已知，函数.
（1）当时，解不等式；
（2）若关于的方程的解集中恰有一个元素，求的取值范围；
（3）设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围.
19．给出以下定义：设m为给定的实常数，若函数在其定义域内存在实数，使得成立，则称函数为“函数”.
（1）判断函数是否为“函数”；
（2）若函数为“函数”，求实数a的取值范围；
（3）已知为“函数”，设.若对任意的，，当时，都有成立，求实数的最大值.
20．已知函数为偶函数
（1）求a的值，并证明在上单调递增；
（2）求满足的x的取值范围
21．设为定义在R上的偶函数，当时，；当时，，直线与抛物线的一个交点为，如图所示.

（1）补全的图像，写出的递增区间（不需要证明）；
（2）根据图象写出不等式的解集
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】化简集合得范围，结合判断四个选项即可.
【详解】集合，四个选项中，只有，
故选：C
【点睛】本题考查元素与集合的关系，属于基础题
2、D
【解析】由可得出，根据题意得出，结合可得出关于和的方程组，解出这两个量，然后利用商数关系可求出的值.
【详解】，则，由正余混弦的定义可得.
则有，解得，因此，.
故选：D.
【点睛】本题考查三角函数的新定义，涉及同角三角函数基本关系的应用，根据题意建立方程组求解和的值是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题.
3、A
【解析】利用分段函数的解析式，由里及外逐步求解函数值得到方程求解即可
【详解】函数f（x）=，若f（f（-1））=6，
可得f（-1）=4，f（f（-1））=f（4）=4a+log24=6，
解得a=1
故选A
【点睛】本题考查分段函数应用，函数值的求法，考查计算能力
4、C
【解析】计算出向量的坐标，然后利用共线向量的坐标表示得出关于实数的等式，解出即可.
【详解】向量，，，
又且，，解得.
故选：C.
【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，考查共线向量的坐标表示，考查计算能力，属于基础题.
5、A
【解析】根据同角三角函数的基本关系，运用“弦化切”求解即可.
【详解】
计算得，所以，，
从而可计算的，
，
,选项A正确，选项BCD错误.
故选：A.
6、A
【解析】根据题意列出相应的不等式，利用对数值计算可得答案.
【详解】设经过次提炼后，水中的杂质不超过原来的4%，
由题意得，
得，
所以至少需要5次提炼，
故选：A.
7、D
【解析】由，则,再由指数、对数函数的单调性得出大小，得出答案.
【详解】由，则
， ，
所以
故选：D
8、B
【解析】集合、与集合之间的关系用或，元素0与集合之间的关系用或，ACD选项都使用错误。
【详解】，

只有B选项的表示方法是正确的，
故选：B。
【点睛】本题考查了元素与集合、集合与集合之间的关系的表示方法，注意集合与集合之间的关系是子集（包含于），元素与集合之间的关系是属于或不属于。本题属于基础题。
9、B
【解析】由已知求得，则由诱导公式可求.
【详解】α是第三象限的角，且，
，.
故选：B.
10、C
【解析】利用一元二次不等式的解法化简集合，再根据集合的基本运算进行求解即可
【详解】因为，，
所以，
故选C
【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、160
【解析】设底面长方形的长宽分别为和,先求侧面积，进一步求出总的造价，利用基本不等式求出最小值.
【详解】设底面长方形的长宽分别为和,则，

所以总造价
当且仅当的时区到最小值
则该容器的最低总造价是160.
故答案为：160.
12、
【解析】两边同时取以15为底的对数，然后根据对数性质化简即可.
【详解】因为
所以，
所以，

故答案为：
13、
【解析】直接证出函数奇偶性，再利用奇偶性得解
【详解】由题意得，
所以，
所以为奇函数，
所以，
所以
【点睛】本题是函数中的给值求值问题，一般都是利用函数的周期性和奇偶性把未知的值转化到已知值上，若给点函数为非系非偶函数可试着构造一个新函数为奇偶函数从而求解
14、
【解析】令
∴
即函数的增区间为，
又函数在上为单调递增函数
∴令得：，
即，得到：，又
∴实数的取值范围是
故答案为
15、
【解析】根据题意分析出直线与圆的位置关系,再求半径的范围.
【详解】圆心到直线的距离为2，又圆（x﹣1）2+（y+1）2＝R2上有且仅有两个点到直线4x+3y＝11的距离等于1，满足，
即： | R﹣2|＜1，解得1＜R＜3
故半径R的取值范围是1＜R＜3（画图）

故答案为:
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系,考查数形结合的思想,属于中档题.
16、
【解析】由题意知，先明确值，该函数平移后为奇函数，根据奇函数性质得图象过原点，由此即可求得值
【详解】∵函数的最小正周期为，
∴，即，
将的图象向左平移个单位长度，
所得函数为，
又所得图象关于原点对称，
∴，
即，又，
∴
故答案为：
【点睛】本题考查函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换，考查奇偶函数的性质，要熟练掌握图象变换的方法

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）
【解析】（1）由三角函数的平方关系及余弦定理即可得出（2）利用正弦定理、两角和差的正弦公式、三角函数的单调性转化为三角函数求值域即可得出.
【详解】（1）由题意知，
即，
由正弦定理得
由余弦定理得，
又.
（2），
则的周长
.
，
，
周长的取值范围是.
【点睛】本题主要考查了三角函数的平方关系，正余弦定理，两角和差的正弦公式，三角函数的单调性，属于中档题.
18、（1）．（2）．（3）
【解析】（1）当时，解对数不等式即可；（2）根据对数的运算法则进行化简，转化为一元二次方程，讨论的取值范围进行求解即可；（3）根据条件得到，恒成立，利用换元法进行转化，结合对勾函数的单调性进行求解即可.
试题解析：（1）由，得，解得
（2）由f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]＝0得log2（a）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]＝0
即log2（a）＝log2[（a﹣4）x+2a﹣5]，
即a＝（a﹣4）x+2a﹣5＞0，①
则（a﹣4）x2+（a﹣5）x﹣1＝0，
即（x+1）[（a﹣4）x﹣1]＝0，②，
当a＝4时，方程②的解为x＝﹣1，代入①，成立
当a＝3时，方程②的解为x＝﹣1，代入①，成立
当a≠4且a≠3时，方程②的解为x＝﹣1或x，
若x＝﹣1是方程①的解，则a＝a﹣1＞0，即a＞1，
若x是方程①的解，则a＝2a﹣4＞0，即a＞2，
则要使方程①有且仅有一个解，则1＜a≤2
综上，若方程f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]＝0的解集中恰好有一个元素，
则a的取值范围是1＜a≤2，或a＝3或a＝4
（3）函数f（x）在区间[t，t+1]上单调递减，
由题意得f（t）﹣f（t+1）≤1，
即log2（a）﹣log2（a）≤1，
即a≤2（a），即a
设1﹣t＝r，则0≤r，
，
当r＝0时，0，
当0＜r时，，
∵y＝r在（0，）上递减，
∴r，
∴，
∴实数a的取值范围是a
【一题多解】（3）还可采用：当时，，，
所以在上单调递减
则函数在区间上的最大值与最小值分别为，

即，对任意成立
因为，所以函数在区间上单调递增，
时，有最小值，由，得
故的取值范围为
19、（1）是（2）
（3）
【解析】（1）根据定义判得时，满足，进而判断；
（2）根据题意得，，进而整理得存在实数使得，再结合和讨论求解即可；
（3）由题知，故不妨设，进而得，故构造函数，则函数在上单调递增，在作出函数图像，数形结合求解即可.
【小问1详解】
解：的定义域为，假设函数是“函数，
则存在定义域内的实数使得，
所以，所以，所以，
所以函数 “函数
【小问2详解】
解：函数有意义，则，定义域为
因为函数为“函数”，
所以存在实数使得成立，
即存在实数使得，
所以存在实数使得成立，即，
所以当时，，满足题意；
当时，，即，
解得且，
所以实数a的取值范围是
【小问3详解】
解：由为“函数”得,
即，所以，
不妨设，则由得，
所以
故令，则在上单调递增，
又，
作出函数图像如图，

所以实数的取值范围为，即实数的最大值为
20、（1）；证明见解析
（2）
【解析】（1）由偶函数的定义解方程可得a=1，再由单调性的定义，结合指数函数的单调性可得结
论；
（2）由偶函数的性质：，结合（1）的结论，原不等式化为，再由绝对值不等式的解法可得所求解集.
【小问1详解】
解：由题意函数为偶函数，
∴，即
∴对任意恒成立，解得
∴
任取，则

由，可得，
∴，即，
∴在上单调递增
【小问2详解】
由偶函数的对称性可得在上单调递减，
∴，
∴，解得，
∴满足的x的取值范围是
21、（1）图像见解析，单调增区间，
（2）
【解析】（1）由偶函数的图象关于轴对称可补全图象，然后写出递增区间；
（2）根据图象写出答案即可.
【小问1详解】
函数图象如图所示：

观察可知的单调增区间为，
【小问2详解】
当时，，可得，即
根据函数图象可得，当或时，
所以的解集为