2026届内蒙古根河市重点中学高二上数学期末教学质量检测试题含解析.doc

2026届内蒙古根河市重点中学高二上数学期末教学质量检测试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若直线a不平行于平面，则下列结论正确的是（）
A.内的所有直线均与直线a异面 B.直线a与平面有公共点
C.内不存在与a平行的直线 D.内的直线均与a相交
2．已知为偶函数，且，则___________.
3．设，直线，，则“”是“”的（）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
4．在等比数列中，，则的公比为（）
A. B.
C. D.
5．和的等差中项与等比中项分别为（）
A.， B.2，
C.， D.1，
6．下列说法正确的是（）
A.“若，则，全为0”的否命题为“若，则，全不为0”
B.“若方程有实根，则”的逆命题是假命题
C.命题“，”的否定是“，”
D.“”是“直线与直线平行”的充要条件
7．函数y=的最大值为
Ae-1 B.e
C.e2 D.
8．已知、分别是椭圆的左、右焦点，A是椭圆上一动点，圆C与的延长线、的延长线以及线段相切，若为其中一个切点，则（）
A. B.
C. D.与2的大小关系不确定
9．双曲线的离心率的取值范围为，则实数的取值范围为（）
A. B.
C. D.
10．设为等差数列的前项和，若，则的值为（ ）
A.14 B.28
C.36 D.48
11．在等差数列中，已知，则数列的前9项和为（）
A. B.13
C.45 D.117
12．已知点是椭圆上的任意一点，过点作圆：的切线，设其中一个切点为，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．在平面直角坐标系xOy中，AB是圆O：x2＋y2＝1的直径，且点A在第一象限；圆O1：(x﹣a)2＋y2＝r2(a＞0)与圆O外离，线段AO1与圆O1交于点M，线段BM与圆O交于点N，且，则a的取值范围为_______.
14．如图所示，将若干个点摆成三角形图案，每条边（包括两个端点）有个点，相应的图案中点的个数记为，按此规律，则___________，___________.

15．等差数列，的前项和分别为，，且，则______.
16．某商场对华为手机近28天的日销售情况进行统计，得到如下数据，
t
3
6
8
11
y
m
3
5
7
利用最小二乘法得到日销售量y（百部）与时间t（天）的线性回归方程为，则表格中的数据___________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数的图像为曲线，点、.
（1）设点为曲线上在第一象限内的任意一点，求线段的长（用表示）；
（2）设点为曲线上任意一点，求证：为常数；
（3）由（2）可知，曲线为双曲线，请研究双曲线的性质（从对称性、顶点、渐近线、离心率四个角度进行研究）.
18．（12分）已知圆的圆心在直线上，与轴正半轴相切，且被直线：截得的弦长为.
（1）求圆的方程；
（2）设点在圆上运动，点，且点满足，记点的轨迹为.
①求的方程，并说明是什么图形；
②试探究：在直线上是否存在定点(异于原点)，使得对于上任意一点，都有为一常数，若存在，求出所有满足条件的点的坐标，若不存在，说明理由.
19．（12分）已知数列的前n项和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，设，求数列的前n项和.
20．（12分）函数，.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若在上恒成立，求实数的取值范围.
21．（12分）噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题，为了解声音强度D（单位：）与声音能量I（单位：）之间的关系，将测量得到的声音强度D和声音能量I的数据作了初步处理，得到如图所示的散点图：

参考数据：其中，，，，，，，，
（1）根据散点图判断，与哪一个适宜作为声音强度D关于声音能量I的回归模型？（给出判断即可，不必说明理由）
（2）求声音强度D关于声音能量I回归方程
（3）假定当声音强度D大于时，会产生噪声污染．城市中某点P处共受到两个声源的影响，这两个声通的声音能量分别是和，且．已知点P处的声音能量等于与之和．请根据（2）中的回归方程，判断点P处是否受到噪声污染，并说明理由
参考公式：对于一组数据，其回归直线斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
22．（10分）已知椭圆，过焦点且垂直于长轴的弦长为1，且焦点与短轴两端点构成等边三角形.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线交椭圆于，两点，交直线于点，且，.求证：为定值，并计算出该定值.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】根据题意可得直线a与平面相交或在平面内，结合线面的位置关系依次判断选项即可.
【详解】若直线a不平行与平面，则直线a与平面相交或在平面内.
A：内的所有直线均与直线a异面错误，也可能相交，故A错误；
B：直线a与平面相交或直线a在平面内都有公共点，故B正确；
C：平面内不存在与a平行的直线，错误，
当直线a在平面内就存在与a平行的直线，故C错误；
D：平面内的直线均与a相交，错误，也可能异面，故D错误.
故选：B
2、8
【解析】由已知条件中的偶函数即可计算出结果，
【详解】为偶函数，且，
.
故答案为：8
3、A
【解析】由可求得实数的值，再利用充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.
【详解】若，则，解得或，
因此，“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
4、D
【解析】利用等比数列的性质把方程都变成和有关的式子后进行求解.
【详解】由等比数列的等比中项性质可得，又，所以，
因，所以，所以,
故选：D.
5、C
【解析】根据等差中项和等比中项的概念分别求值即可.
【详解】和的等差中项为，
和的等比中项为.
故选：C.
6、D
【解析】A选项，全为0的否定是不全为0；B选项，先写出逆命题，再判断出真假；C选项，命题“，”的否定是“，”，D选项，根据直线平行，列出方程和不等式，求出，进而判断出充要条件.
【详解】“若，则，全为0”的否命题为“若，则，不全为0”，A错误；
若方程有实根，则的逆命题是若，则方程有实根，由得：，其中，所以若，则方程有实根是真命题，故B错误；
命题“，”的否定是“，”，C错误；
直线与直线平行，需要满足且，解得：，所以“”是“直线与直线平行”的充要条件，D正确；
故选：D
7、A
【解析】,所以函数在上递增，在上递减，所以函数的最大值为时，y==
故选A
点睛：研究函数最值主要根据导数研究函数的单调性，找到最值，分式求导公式要记熟
8、A
【解析】由题意知，圆C是的旁切圆，点是圆C与轴的切点，设圆C与直线的延长线、分别相切于点、，由切线的性质可知：，，，结合椭圆的定义，即可得出结果.
【详解】由题意知，圆C是的旁切圆，点是圆C与轴的切点，
设圆C与直线的延长线、分别相切于点、，
则由切线的性质可知：，，，
所以，
所以，
所以.
故选A

【点睛】本题主要考查圆与圆锥曲线的综合，熟记椭圆的定义，以及切线的性质即可，属于常考题型.
9、C
【解析】分析可知，利用双曲线的离心率公式可得出关于的不等式，即可解得实数的取值范围.
【详解】由题意有，，则，解得：
故选：C.
10、D
【解析】利用等差数列的前项和公式以及等差数列的性质即可求出.
【详解】因为为等差数列的前项和，
所以

故选：D
【点睛】本题考查了等差数列的前项和公式的计算以及等差数列性质的应用，属于较易题.
11、C
【解析】根据给定的条件利用等差数列的性质计算作答
【详解】在等差数列中，因，所以.
故选：C
12、B
【解析】设，得到，利用椭圆的范围求解.
【详解】解：设，
则，
，
，
因为，
所以，即，
故选：B

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】根据判断出四边形为平行四边形，由此求得圆的方程以及的长，进而判断出点在圆上，根据圆与圆的位置关系，求得的取值范围.
【详解】四边形ONO1M为平行四边形，即ON＝MO1＝r＝1，
所以圆的方程为，
且ON为△ABM的中位线AM＝2ON＝2AO1＝3，
故点A在以O1为圆心，3为半径的圆上，该圆的方程为：，
故与x2＋y2＝1在第一象限有交点，即2＜a＜4，
由，解得，
故a的取值范围为(，4).
故答案为：

【点睛】本小题主要考查圆与圆的位置关系，考查化归与转化的数学思想方法，考查数形结合的数学思想方法，属于难题.
14、 ①. ②.
【解析】利用题中所给规律求出即可.
【详解】解：由图可知，，，，，
因为符合等差数列的定义且公差为
所以，
所以，
故答案为：，.
15、
【解析】取，代入计算得到答案.
【详解】，当时
故答案为
【点睛】本题考查了前项和和通项的关系，取是解题的关键.
16、1
【解析】根据已知条件，求出，的平均值，再结合线性回归方程过样本中心，即可求解
【详解】解：由表中数据可得，，
，
线性回归方程为，
，解得
故答案为：1

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；
（2）具体见解析；（3）具体见解析.
【解析】（1）由两点间的距离公式求出距离，进而将式子化简即可；
（2）求出，进而讨论两种情况，然后结合基本不等式即可证明问题；
（3）根据为双曲线的焦点，结合双曲线的图形特征即可求得该双曲线的相关性质.
【小问1详解】
由题意，.
【小问2详解】
设，由（1），
.
若x>0，则，当且仅当时取“=”，则，，所以.
若x<0，则，当且仅当时取“=”，则，，所以.
综上：，为常数.
【小问3详解】
易知函数：为奇函数，则其图象关于原点对称.
由（2）可知，曲线为双曲线，为双曲线的焦点，则它关于直线对称，还关于与垂直且过原点的直线对称.
，则，易得.
综上：双曲线关于原点（0,0）对称，且关于直线对称.
容易知道，直线是双曲线C的渐近线.
易知线段是双曲线的实轴，将代入双曲线解得顶点：.
于是实轴长为焦距为，则离心率.
18、（1）；（2）①，圆；②存在，.
【解析】（1）设圆心，根据题意，得到半径，根据弦长的几何表示，由题中条件，列出方程求解，得出，从而可得圆心和半径，进而可得出结果；
（2）①设，根据向量的坐标表示，由题中条件，得到，代入圆的方程，即可得出结果；
②假设存在一点满足（其中为常数），设，根据题意，得到，再由①，得到，两式联立化简整理，得到，推出，求解得出，即可得出结果.
【详解】（1）设圆心，则由圆与轴正半轴相切，可得半径.
∵圆心到直线的距离，由，解得.
故圆心为或，半径等于.
∵圆与轴正半轴相切
圆心只能为
故圆的方程为；
（2）①设，则：，，

∵点A在圆上运动
即：
所以点的轨迹方程为，
它是一个以为圆心，以为半径的圆；
②假设存在一点满足（其中为常数）
设，则：
整理化简得：，
∵在轨迹上，

化简得：，
所以
整理得
，
解得：；
存在满足题目条件.
【点睛】本题主要考查求圆的方程，考查圆中的定点问题，涉及圆的弦长公式等，属于常考题型.
19、（1）
（2）.
【解析】(1)由数列的前n项和与通项公式之间的关系即可完成.
(2)由错位相减法即可解决此类“差比”数列的求和.
【小问1详解】
由，
得当时，，
上下两式相减得，，
又当时，满足上式，
所以数列的通项公式；
【小问2详解】
由（1）可知，
所以，
则，
上下两式相减得
，
所以.
20、（1）答案见解析；（2）.
【解析】（1）求出函数的定义域为，求得，分、、三种情况讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数的单调递增区间和递减区间；
（2）构造函数，由题意可知恒成立，对实数分和两种情况讨论，利用导数分析函数在区间上的单调性，验证是否成立，由此可得出实数的取值范围.
【详解】（1）函数的定义域为，.
（i）当时，，函数在上单调递增；
（ii）当时，令得.
若，则；若，则.
①当时，，函数在上单调递增；
②当时，，
当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；
综上，可得，当时，函数在上单调递增；
当时，函数在上单调递增，在上单调递减；
（2）设，，则.
当时，单调递增，则.
所以，函数在上单调递增，且.
当时，，
于是，函数在上单调递增，恒成立，符合题意；
当时，由于，，，
所以，存在，使得.
当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增.
故，不符合题意，
综上所述，实数的取值范围是.
【点睛】本题考查利用导数求解函数的单调区间，同时也考查了利用导数研究函数不等式恒成立问题，考查分类讨论思想的应用，属于难题.
21、（1）更适合
（2）
（3）点P处会受到噪声污染，理由见解析
【解析】（1）直接判断即可；
（2）令，先算线性回归方程再算非线性回归方程；
（3）利用基本不等式计算出的最小值，再与60比较即可.
【小问1详解】
更适合
【小问2详解】
令，则
，
，
D关于W的回归方程是，
则D关于I的回归方程是
【小问3详解】
设点P处的声音能量为，则
因为
所以

当且仅当，即时等号成立
所以，
所以点P处会受到噪声污染
22、（1）
（2）证明见解析，定值为
【解析】（1）由题意得，从而写出椭圆的方程即可；
（2）易知直线斜率存在，令，，，，，将直线的方程代入椭圆的方程，消去得到关于的一元二次方程，再结合根系数的关系利用向量的坐标公式即可求得值，从而解决问题.
【小问1详解】
（1）由条件得，
所以方程为
【小问2详解】
易知直线斜率存在，令，，，
由

，
因为，
所以，即①，
因为，
所以，即②
由①，由②

将，代入上式，
得