2025年湖南省长沙浏阳市高一上数学期末监测模拟试题含解析.doc

2025年湖南省长沙浏阳市高一上数学期末监测模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．如图，在正方体中，异面直线与所成的角为（）

A.90° B.60°
C.45° D.30°
2．如图，在平面四边形中，，将其沿对角线对角折成四面体，使平面⊥平面,若四面体的顶点在同一球面上，则该求的体积为

A. B.
C. D.
3．已知，则
A. B.
C. D.
4．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)的一段图象如图所示，则函数的解析式为（）

A.y＝2sin B.y＝
C.y＝2sin D.y＝2sin
5．已知函数的图象，给出以下四个论断
①的图象关于直线对称
②图象的一个对称中心为
③在区间上是减函数
④可由向左平移个单位
以上四个论断中正确的个数为（）
A.3 B.2
C.1 D.0
6．已知集合，集合，则图中阴影部分表示的集合为（ ）

A. B.
C. D.
7．下列四个函数中，在上为增函数的是（）
A. B.
C. D.
8．设 ，则（ ）
A. B.
C. D.
9．函数的一个单调递增区间是（）
A. B.
C. D.
10．若函数y=|x|（x-1）的图象与直线y=2（x-t）有且只有2个公共点，则实数t的所有取值之和为（　　）
A.2 B.
C.1 D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．若点在角终边上，则的值为_____
12．在△ABC中，，面积为12，则=______
13．已知幂函数（是常数）的图象经过点，那么________
14．函数的定义域是_____________
15．已知函数，若在区间上的最大值是，则_______；若在区间上单调递增，则的取值范围是___________
16．已知函数，满足对任意都有成立，那么实数的取值范围是________
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知
（1）化简；
（2）若=2，求的值.
18．如图，已知圆M过点P(10，4)，且与直线4x＋3y－20＝0相切于点A(2，4)
（1）求圆M的标准方程；
（2）设平行于OA的直线l与圆M相交于B、C两点，且,求直线l的方程；

19．已知函数
（I）若是第一象限角，且．求的值；
（II）求使成立的x的取值集合
20．已知函数.
（1）求的值；你能发现与有什么关系？写出你的发现并加以证明：
（2）试判断在区间上的单调性，并用单调性的定义证明.
21．某城市地铁项目正在紧张建设中，通车后将给市民出行带来便利.已知某条线路通车后，地铁的发车时间间隔（单位：分钟）满足.经测算，地铁载客量与发车时间间隔相关，当时地铁为满载状态，载客量为人，当时，载客量会减少，减少的人数与的平方成正比，且发车时间间隔为分钟时的载客量为人，记地铁载客量为.
（1）求的表达式，并求当发车时间间隔为分钟时，地铁的载客量；
（2）若该线路每分钟的净收益为（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？每分钟的最大净收益为多少？
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】连接，可证明，然后可得即为异面直线与所成的角，然后可求出答案.
【详解】
连接，因为是正方体，所以和平行且相等
所以四边形是平行四边形，所以，所以为异面直线与所成的角.
因为是等边三角形，所以
故选：B
2、A
【解析】平面四边形ABCD中，AB=AD=CD=2，BD=2，BD⊥CD，将其沿对角线BD折成四面体A'﹣BCD，
使平面A'BD⊥平面BCD．四面体A'﹣BCD顶点在同一个球面上，△BCD和△A'BC都是直角三角形，
BC的中点就是球心，所以BC=2，球的半径为：；
所以球的体积为：
故答案选：A
点睛：涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.
3、D
【解析】
考点：同角间三角函数关系
4、C
【解析】先从图象中看出A，再求出最小正周期，求出ω，代入特殊值后结合φ范围求出φ的值，得到答案.
【详解】由图象可知A＝2，因为－＝＝，所以T＝，ω＝2.当x＝－时，2sin＝2，即sin＝1，又|φ|<，解得φ＝.故函数的解析式为y＝2sin.
故选：C
5、B
【解析】利用代入检验法可判断①②③的正误，利用图象变换可判断④的正误.
【详解】，故的图象关于直线对称，故①正确.
，故的图象的对称中心不是，故②错误.
，
当，，而在为减函数，
故在为减函数，故③正确.
向左平移个单位后所得图象对应的解析式为，
当时，此函数的函数值为，而，
故与不是同一函数，故④错误.
故选：B.
6、B
【解析】由阴影部分表示的集合为，然后根据集合交集的概念即可求解.
【详解】因为阴影部分表示的集合为
由于.
故选：B.
7、C
【解析】A.利用一次函数的性质判断；B.利用二次函数的性质判断；C.利用反比例函数的性质判断；D.由，利用一次函数的性质判断；
【详解】A.由一次函数的性质知：在上为减函数，故错误；
B.由二次函数的性质知：在递减，在上递增，故错误；
C.由反比例函数的性质知：在上递增，在递增，则在上为增函数，故正确；
D.由知：函数在上为减函数，故错误；
故选：C
【点睛】本题主要考查一次函数，二次函数和反比例函数的单调性，属于基础题.
8、D
【解析】由，则,再由指数、对数函数的单调性得出大小，得出答案.
【详解】由，则
， ，
所以
故选：D
9、A
【解析】利用正弦函数的性质，令即可求函数的递增区间，进而判断各选项是否符合要求.
【详解】令，可得，
当时，是的一个单调增区间，而其它选项不符合.
故选：A
10、C
【解析】可直接根据题意转化为方程有两个根，然后利用分类讨论思想去掉绝对值再利用判别式即可求得各个t的值
【详解】由题意得方程有两个不等实根，
当方程有两个非负根时，
令 时，则方程为，整理得
，解得；
当时，
，解得，故不满足满足题意；
当方程有一个正跟一个负根时，
当时，，
，解得，
当时，方程为，
，解得；
当方程有两个负根时，
令，则方程为，
解得，
当，
，解得，不满足题意
综上，t的取值为 和，
因此t的所有取值之和为1，故选C
【点睛】本题是在二次函数的基础上加了绝对值，所以首先需解决绝对值，关于去绝对值直接用分类讨论思想即可；
关于二次函数根的分布需结合对称轴，判别式，进而判断，必要时可结合进行判断

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、5
【解析】由三角函数定义得

12、
【解析】利用面积公式即可求出sinC．使用二倍角公式求出cos2C
【详解】由题意，在中，，，面积为12，
则，解得
∴
故答案为
【点睛】本题考查了三角形的面积公式，二倍角公式在解三角形中的应用，其中解答中应用三角形的面积公式和余弦的倍角公式，合理余运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题
13、
【解析】首先代入函数解析式求出，即可得到函数解析式，再代入求出函数值即可；
【详解】解：因为幂函数（是常数）的图象经过点，所以，所以，所以，所以；
故答案：
14、.
【解析】由题意，要使函数有意义，则，解得：且.即函数定义域为.
考点：函数的定义域.
15、 ①. ②.
【解析】根据定义域得，再得到取最大值的条件求解即可；先得到一般性的单调增区间，再根据集合之间的关系求解.
【详解】因为，且在此区间上的最大值是，所以
因为f(x)max=2tan=，所以 tan==，即ω=
由，得
令，得，即在区间上单调递增
又因在区间上单调递增，所以<，即
所以的取值范围是
故答案为：1，
16、
【解析】利用求解分段函数单调性的方法列出不等式关系，由此即可求解
【详解】由已知可得函数在R上为单调递增函数，
则需满足，解得，
所以实数a的取值范围为，
故答案为：

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）=（2）2
【解析】（1）利用诱导公式即可化简.
（2）利用同角三角函数的基本关系化简并将（1）中的数据代入即可.
【详解】解：（1）
.
（2）由（1）知，

【点睛】本题考查了三角函数的诱导公式以及同角三角函数的基本关系“齐次式”的运算，需熟记公式，属于基础题.
18、（1）（2）2x－y +5＝0或2x－y －15＝0.
【解析】（1）由题意得到圆心M(6，7)，半径，进而得到圆的方程；（2）直线l∥OA，所以直线l的斜率为，根据点线距和垂径定理得到 解得m=5或m=-15，进而得到方程.
解析：(1)过点A(2，4)且与直线4x＋3y－20＝0垂直的直线方程为3x－4y＋10＝0 ①
AP的垂直平分线方程为x＝6 ②
由①②联立得圆心M(6，7)，半径
圆M的方程为
(2)因为直线l∥OA，所以直线l的斜率为.
设直线l的方程为y＝2x + m，即2x－y + m＝0
则圆心M到直线l的距离
因为
而所以，解得m=5或m=-15.
故直线l的方程为2x－y +5＝0或2x－y －15＝0.
19、（I）（II）
【解析】该题属于三角函数的综合问题，在解题的过程中，第一问需要先化简函数解析式，在化简的过程中，应用正余弦的差角公式，化简后利用，从而求得，根据是第一象限角，从而确定出，利用倍角公式建立起所满足的等量关系式，从而求得结果，第二问将相应的函数解析式代入不等式，化简后得到，结合正弦函数的性质，可以求得结果
试题解析：（1），求得，根据是第一象限角，所以，且；
（2）

考点：正余弦差角公式，辅助角公式，同角三角函数关系式，倍角公式，三角不等式
20、（1），，与的关系：，证明见解析
（2）在上单调递减，证明见解析
【解析】（1）通过函数解析式计算出，通过计算证明.
（2）通过来证得在区间上单调递减.
【小问1详解】
，

.
证明：.
.
【小问2详解】
在区间上递减.
证明如下：且

.
在上单调递减.
21、（1），人（2）当发车时间间隔为分钟时，该线路每分钟的净收益最大，每分钟的最大净收益为元
【解析】（1）由题意分别写出与时，的表达式，写成分段函数的形式，可得的表达式，可得的值；
（2）分别求出时，时，净收益为的表达式，并求出其最大值，进行比较可得净收益最大及收益最大时的时间.
【详解】解：当时，
当时，设
解得，所以，
所以
(人)
当时，

当时
当时，

当且仅当时，即时， 取到最大值.
答:的表达式为
当发车时间间隔为分钟时，地铁的载客量为人.
当发车时间间隔为分钟时，该线路每分钟的净收益最大，每分钟的最大净收益为元.
【点睛】本题主要考查分段函数解析式的求解及函数模型的实际应用，及利用基本不等式求解函数的最值，综合性大，属于中档题.