汕尾市重点中学2025年高一上数学期末监测试题含解析.doc

汕尾市重点中学2025年高一上数学期末监测试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．下列函数中，与函数有相同图象的一个是
A. B.
C. D.
2．已知函数，若有且仅有两个不同实数，，使得则实数的值不可能为　　
A. B.
C. D.
3．设正实数满足，则的最大值为（ ）
A. B.
C. D.
4．在下列区间中，函数的零点所在的区间为（）
A. B.
C. D.
5．关于的不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（）
A. B.
C. D.
6．已知函数，若，，，则（ ）
A. B.
C. D.
7．下列各选项中的两个函数的图象关于y轴对称的是（）
A.与 B.与
C.与 D.与
8．如图，水平放置的直观图为，，分别与轴、轴平行，是边中点，则关于中的三条线段命题是真命题的是

A.最长的是，最短的是 B.最长的是，最短的是
C.最长的是，最短的是 D.最长的是，最短的是
9．斜率为4的直线经过点A(3,5)，B(a,7)，C(－1，b)三点，则a，b的值为(　　)
A.a＝ ，b＝0 B.a＝－，b＝－11
C.a＝，b＝－11 D.a＝－，b＝11
10．在半径为2的圆上，一扇形的弧所对的圆心角为，则该扇形的面积为（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．函数在一个周期内图象如图所示，此函数的解析式为___________.

12．如图，在正方体中，、分别是、上靠近点的三等分点，则异面直线与所成角的大小是______.

13．已知圆(x－1)2＋(y＋2)2＝6与直线2x＋y－5＝0的位置关系是__．(请填写：相切、相交、相离)
14．如果二次函数在区间上是增函数，则实数的取值范围为________
15．已知是定义在上的奇函数且以6为周期，若，则在区间内至少有________零点.
16．计算的结果是_____________
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．函数的最小值为.
（1）求；
（2）若，求a及此时的最大值.
18．在平面直角坐标系中，已知点，，在圆上
（1）求圆的方程；
（2）过点的直线交圆于，两点.
①若弦长，求直线的方程；
②分别过点，作圆的切线，交于点，判断点在何种图形上运动，并说明理由.
19．已知集合A={x|a-1<x<2a+1}，B={x|x2-x<0}
（I）若a=1，求AB，；
（II）若AB=，求实数a的取值范围
20．已知二次函数.
（1）求的对称轴；
（2）若，求的值及的最值.
21．给出以下定义：设m为给定的实常数，若函数在其定义域内存在实数，使得成立，则称函数为“函数”.
（1）判断函数是否为“函数”；
（2）若函数为“函数”，求实数a的取值范围；
（3）已知为“函数”，设.若对任意的，，当时，都有成立，求实数的最大值.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】逐一考查选项中的函数与所给的函数是否为同一个函数即可确定其图象是否相同.
【详解】逐一考查所给的选项：
A.，与题中所给函数的解析式不一致，图象不相同；
B.，与题中所给函数的解析式和定义域都一致，图象相同；
C.的定义域为，与题中所给函数的定义域不一致，图象不相同；
D.的定义域为，与题中所给函数的定义域不一致，图象不相同；
故选B.
【点睛】本题主要考查函数相等的概念，需要同时考查函数的定义域和函数的对应关系，属于中等题.
2、D
【解析】利用辅助角公式化简，由，可得，根据在上有且仅有两个最大值，可求解实数的范围，从而可得结果
【详解】函数；
由，可得，
因为有且仅有两个不同的实数，，使得
所以在上有且仅有两个最大值，因为，
，
则；
所以实数的值不可能为，故选D
【点睛】本题主要考查辅助角公式的应用、三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了数形结合思想，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于基础题
3、C
【解析】根据基本不等式可求得最值.
【详解】由基本不等式可得，
即，
解得，
当且仅当，即，时，取等号，
故选：C.
4、C
【解析】利用零点存在定理即可判断.
【详解】函数的定义域为R.
因为函数均为增函数，所以为R上的增函数.
又，，
，.
由零点存在定理可得：的零点所在的区间为.
故选：C
5、B
【解析】当时可知；当时，采用分离变量法可得，结合基本不等式可求得；综合两种情况可得结果.
【详解】当时，不等式为恒成立，；
当时，不等式可化为：，
，（当且仅当，即时取等号），；
综上所述：实数的取值范围为.
故选：B.
6、A
【解析】可判断在单调递增，根据单调性即可判断.
【详解】当时，单调递增，
，，
，.
故选：A.
7、A
【解析】根据题意，逐一分析各选项中两个函数的对称性，再判断作答.
【详解】对于A，点是函数图象上任意一点，显然在的图象上，
而点与关于y轴对称，则与的图象关于y轴对称，A正确；
对于B，点是函数图象上任意一点，显然在的图象上，
而点与关于原点对称，则与的图象关于原点对称，B不正确；
对于C，点是函数图象上任意一点，显然在的图象上，
而点与关于x轴对称，则与的图象关于x轴对称，C不正确；
对于D，点是函数图象上任意一点，显然在的图象上，
而点与关于直线y=x对称，则与的图象关于直线y=x对称，D不正确.
故选：A
8、B
【解析】由直观图可知 轴，根据斜二测画法规则，在原图形中应有 ，又 为 边上的中线，为直角三角形，为边上的中线，为斜边最长， 最短
故选B
9、C
【解析】因为，所以，则，故选C
10、D
【解析】利用扇形的面积公式即可求面积.
【详解】由题设，，则扇形的面积为.
故选：D

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】根据所给的图象，可得到，周期的值，进而得到，根据函数的图象过点可求出的值，得到三角函数的解析式
【详解】由图象可知，，
，由
，
三角函数的解析式是
函数的图象过,，
把点的坐标代入三角函数的解析式，
，
，又，
，
三角函数的解析式是.
故答案为：.
12、
【解析】连接，可得出，证明出四边形为平行四边形，可得，可得出异面直线与所成角为或其补角，分析的形状，即可得出的大小，即可得出答案.
【详解】连接、、，，，
在正方体中，，，，
所以，四边形为平行四边形，，
所以，异面直线与所成的角为.
易知为等边三角形，.

故答案为：.
【点睛】本题考查异面直线所成角的计算，一般利用平移直线法，选择合适的三角形求解，考查计算能力，属于中等题.
13、相交
【解析】求得的圆心到直线的距离，与圆的半径比较大小，即可得出结论.
【详解】圆的圆心为、半径为，
圆心到直线的距离为，小于半径，
所以直线和圆相交，故答案为相交.
【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系的判断方法，点到直线的距离公式的应用，属于基础题.解答直线与圆的位置关系的题型，常见思路有两个：一是考虑圆心到直线的距离与半径之间的大小关系；二是直线方程与圆的方程联立，考虑运用判别式来解答.
14、
【解析】函数对称轴为，则由题意可得，解出不等式即可.
【详解】∵函数的对称轴为且在区间上是增函数，
∴，即.
【点睛】已知函数在某个区间上的单调性，则这个区间是这个函数对应单调区间的子集.
15、6
【解析】直接利用的奇偶性和周期性求解.
【详解】因为是定义在上奇函数且以6为周期，
所以
即，
所以的图象关于对称，且，
则，
又，
又，
所以，
所以在区间内至少有6个零点.
故答案为：6
个零点
16、.
【解析】根据对数的运算公式，即可求解.
【详解】根据对数的运算公式，可得.
故答案为：.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2），的最大值5
【解析】（1）通过配方得，再通过对范围的讨论，利用二次函数的单调性即可求得；
（2）由于，对分与进行讨论，即可求得的值及的最大值
【小问1详解】
∵，
∴，且，
∴若，即，当时，；
若，即，当时，；
若，即，当时，.
综上所述，.
【小问2详解】
∵，
∴若，则有，得，与矛盾；
若，则有，即，解得或（舍），
∴时，，即，
∵，
∴当时，取得最大值5.
18、（1）（2）
【解析】（1）设圆的方程为：，将点，，分别代入圆方程列方程组可解得，，，从而可得圆的方程；（2）①由（1）得圆的标准方程为，讨论两种情况，当直线的斜率存在时，设为，则的方程为，由弦长，根据点到直线距离公式列方程求得，从而可得直线的方程；②，利用两圆公共弦方程求出切点弦方程，将代入切点弦方程，即可得结果.
试题解析：（1）设圆方程为：，由题意可得
解得，，，故圆方程为
（2）由（1）得圆的标准方程为
①当直线的斜率不存在时，的方程是，符合题意；
当直线的斜率存在时，设为，则的方程为，即，
由，可得圆心到的距离，
故，解得，故的方程是，
所以，方程是或
②设，则切线长，
故以为圆心，为半径的圆的方程为，
化简得圆的方程为：，①
又因为的方程为，②
②①化简得直线的方程为，
将代入得：，
故点在直线上运动
19、（I）；（II）或
【解析】（I）先解不等式得集合B，再根据并集、补集、交集定义求结果；
（II）根据与分类讨论，列对应条件，解得结果.
【详解】（I）
a=1，A={x|0<x<3}，
所以
；
（II）因为AB=，
所以当时，，满足题意；
当时，须或
综上，或
【点睛】本题考查集合交并补运算、根据并集结果求参数，考查基本分析求解能力，属中档题.
20、（1）
（2）的值是，最小值是，无最大值
【解析】（1）根据二次函数的对称轴公式，即可得到结果；
（2）由，可求出的值，再根据二次函数的开口和对称轴，即可求出最值.
【小问1详解】
解：因为二次函数，
所以对称轴
【小问2详解】
解：因为，所以.
所以.
所以.
因为，
所以开口向上，
又对称轴为，所以最小值为，无最大值.
21、（1）是（2）
（3）
【解析】（1）根据定义判得时，满足，进而判断；
（2）根据题意得，，进而整理得存在实数使得，再结合和讨论求解即可；
（3）由题知，故不妨设，进而得，故构造函数，则函数在上单调递增，在作出函数图像，数形结合求解即可.
【小问1详解】
解：的定义域为，假设函数是“函数，
则存在定义域内的实数使得，
所以，所以，所以，
所以函数 “函数
【小问2详解】
解：函数有意义，则，定义域为
因为函数为“函数”，
所以存在实数使得成立，
即存在实数使得，
所以存在实数使得成立，即，
所以当时，，满足题意；
当时，，即，
解得且，
所以实数a的取值范围是
【小问3详解】
解：由为“函数”得,
即，所以，
不妨设，则由得，
所以
故令，则在上单调递增，
又，
作出函数图像如图，

所以实数的取值范围为，即实数的最大值为