贵州省黔东南州2025-2026学年数学高一第一学期期末学业水平测试试题含解析.doc

贵州省黔东南州2025-2026学年数学高一第一学期期末学业水平测试试题
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知点，向量，若，则点的坐标为（）
A. B.
C. D.
2．已知定义在R上的函数的图象是连续不断的,且有如下对应值表:
x
1
2
3
4

5
3

那么函数一定存在零点的区间是（）
A. B.
C. D.
3．的值为（ ）
A. B.1
C. D.2
4．已知，，，则，，的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
5．已知函数（，且）的图象恒过点，若角的终边经过点，则的值为（）
A. B.
C. D.
6．已知函数，，若对任意，总存在，使得成立，则实数取值范围为　　
A. B.
C. D.
7．我国著名数学家华罗庚曾说：数缺形时少直观，形少数时难人微，数形结合百般好，割裂分家万事休.在数学的学习和研究中，有时可凭借函数的解析式琢磨函数图像的特征.如函数，的图像大致为（）
A. B.
C. D.
8．已知扇形周长为40，当扇形的面积最大时，扇形的圆心角为（）
A. B.
C.3 D.2
9．下列说法错误的是（）
A.球体是旋转体 B.圆柱的母线垂直于其底面
C.斜棱柱的侧面中没有矩形 D.用正棱锥截得的棱台叫做正棱台
10．且，则角是（）
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．满足的集合的个数是______________
12．直三棱柱ABC-A1B1C1，内接于球O，且AB⊥BC，AB=3．BC=4．AA1=4，则球O的表面积______
13．已知圆,圆,则两圆公切线的方程为__________
14．将函数的图象先向右平移个单位长度，得到函数________________的图象，再把图象上各点横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数________________的图象
15．记函数的值域为，在区间上随机取一个数，则的概率等于__________
16．已知，，，则的最小值___________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知的内角所对的边分别为，
（1）求的值；
（2）若，求面积
18．已知，
(1)求 的值;
(2)求 的值.
19．已知点A、B、C的坐标分别为、、，.
（1）若，求角的值；
（2）若，求的值.
20．对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称“局部中心函数”.
（1）已知二次函数（），试判断是否为“局部中心函数”，并说明理由；
（2）若是定义域为上的“局部中心函数”，求实数的取值范围.
21．△ABC的两顶点A（3，7），B（，5），若AC的中点在轴上，BC的中点在轴上
（1）求点C的坐标；
（2）求AC边上中线BD的长及直线BD的斜率
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】设点坐标为，利用向量的坐标运算建立方程组，解之可得选项.
【详解】设点坐标为，，A，所以，
又，，
所以.解得，解得点坐标为.
故选：B.
2、B
【解析】利用零点存在性定理判断即可.
【详解】

则函数一定存在零点的区间是
故选：B
【点睛】本题主要考查了利用零点存在性定理判断零点所在区间，属于基础题.
3、B
【解析】根据正切的差角公式逆用可得答案
【详解】，
故选：B
4、B
【解析】分别求出的范围，然后再比较的大小.
【详解】，，
， ，

， ，
并且 ，
，
综上可知
故选：B
【点睛】本题考查指对数和三角函数比较大小，意在考查转化与化归的思想和基础知识，属于基础题型.
5、A
【解析】令指数函数的指数为零即可求出指数型函数过定点的坐标，再根据三角函数的定义计算可得；
【详解】解：因为函数（，且），令，即时，所以函数恒过定点，又角的终边经过点，所以，
故选：A
6、B
【解析】分别求出在的值域，以及在的值域，令在的最大值不小于在的最大值，得到的关系式，解出即可.
【详解】对于函数，当时，，
由，可得，
当时，，
由，可得，
对任意，，
对于函数，
，
，
，
对于，使得，
对任意，总存在，使得成立，
，解得，
实数的取值范围为，故选B
【点睛】本题主要考查函数的最值、全称量词与存在量词的应用.属于难题.解决这类问题的关键是理解题意、正确把问题转化为最值和解不等式问题，全称量词与存在量词的应用共分四种情况：（1）只需；（2），只需；（3），只需；（4），，.
7、B
【解析】根据题意求出函数的定义域并判断出函数的奇偶性，再代入特殊值点即可判断答案.
【详解】由题意，函数定义域为，，于是排除AD，又，所以C错误，B正确.
故选：B.
8、D
【解析】设出扇形半径并表示出弧长后，由扇形面积公式求出取到面积最大时半径的长度，代入圆心角弧度公式即可得解.
【详解】设扇形半径,易得,则由已知该扇形弧长为.
记扇形面积为,则,
当且仅当，即时取到最大值，此时记扇形圆心角为，则
故选：D
9、C
【解析】利用空间几何体的结构特征可得.
【详解】由旋转体的概念可知，球体是旋转体，故A正确；
圆柱的母线平行于圆柱的轴，垂直于其底面，故B正确；
斜棱柱的侧面中可能有矩形，故C错误；
用正棱锥截得的棱台叫做正棱台，故D正确.
故选：C.
10、D
【解析】直接由三角函数的象限符号取交集得答案.
【详解】由，可得为第二或第四象限角；
由，可得为第一、第四及轴非负半轴上的角
∴取交集可得，是第四象限角
故选：D

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、4
【解析】利用集合的子集个数公式求解即可.
【详解】∵,
∴集合是集合的子集，
∴集合的个数为，
故答案为：.
12、
【解析】利用三线垂直联想长方体，而长方体外接球直径为其体对角线长，容易得到球半径，得解
【详解】直三棱柱中，易知AB，BC，BB1两两垂直，
可知其为长方体的一部分，
利用长方体外接球直径为其体对角线长，
可知其直径为，
∴=41π，
故答案为41π
【点睛】本题主要考查了三棱柱的外接球和球的表面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和空间想象能力.
13、
【解析】圆，圆心为(0,0)，半径为1；
圆，圆心为(4,0)，半径为5.
圆心距为4=5-1，故两圆内切.
切点为(-1,0)，圆心连线为x轴，所以两圆公切线的方程为，即.
故答案.
14、 ①. ②.
【解析】根据三角函数的图象变换可得变换后函数的解析式.
【详解】由三角函数的图象变换可知，
函数的图象先向右平移可得，
再把图象上各点横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）可得，
故答案为：；
15、
【解析】因为；
所以的概率等于
点睛：
(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解
(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域
（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率
16、
【解析】利用“1”的变形，结合基本不等式，求的最小值.
【详解】，
当且仅当时，即等号成立，
，解得：，，
所以的最小值是.
故答案为：

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）
【解析】（1）由正弦定理求解即可；（2）由余弦定理求得则面积可求
【详解】（1）由正弦定理得 故；
（2），
由余弦定理，，解得
因此，
【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，考查面积公式，熟记公式准确计算是关键，是基础题
18、 (1) (2)
【解析】(1)化简得到原式，代入数据得到答案.
(2)变换得到，代入数据得到答案.
【详解】(1) .
（2）
.
【点睛】本题考查了利用齐次式计算函数值，变换是解题的关键.
19、（1）；（2）
【解析】（1）根据两向量的模相等，利用两点间的距离公式建立等式求得的值，根据的范围求得；（2）根据向量的基本运算根据，求得和的关系式，然后用同角和与差的关系可得到，再由化简可得，进而可确定答案
【详解】（1）∵，
∴化简得，
∵，∴
（2）∵，
∴，
∴，∴，
∴
【点睛】本题主要考查两角和与差的基本关系和三角与向量的综合题
20、 (1) 为“局部中心函数”，理由详见解题过程；（2）
【解析】（1）判断是否为“局部中心函数”，即判断方程是否有解，若有解，则说明是“局部中心函数”，否则说明不是“局部中心函数”；
（2）条件是定义域为上的“局部中心函数”可转化为方程有解，再利用整体思路得出结果.
【详解】解：（1）由题意，（），
所以，
，
当时，

解得：，
由于，所以，
所以为“局部中心函数”.
（2）因为是定义域为上的“局部中心函数”，
所以方程有解，
即在上有解，
整理得：，
令，，
故题意转化为在上有解，
设函数，
当时，在上有解，
即，
解得：；
当时，
则需要满足才能使在上有解，
解得：，
综上：.
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、指数函数的图象与性质，考查了整体换元的思想方法，还考查了学生理解新定义的能力.
21、（1）（2），
【解析】（1）由条件利用线段的中点公式求得点C的坐标；（2）求得线段AC的中点D的坐标，再利用两点间的距离公式、斜率公式求得AC边上的中线BD的长及直线BD的斜率
试题解析：（1）设,

考点：1.待定系数法求直线方程；2.中点坐标公式