2026届江苏省阜宁中学高一数学第一学期期末学业质量监测试题含解析.doc

2026届江苏省阜宁中学高一数学第一学期期末学业质量监测试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．设集合，集合 ，则 等于（ ）
A (1,2) B.(1,2]
C.[1,2) D.[1,2]
2．令，，，则三个数、、的大小顺序是（ ）
A. B.
C. D.
3．函数(其中为自然对数的底数)的图象大致为（）
A. B.
C. D.
4．下列命题中正确的是（）
A.若，则 B.若，则
C.若，则 D.若，则
5．下列函数中，以为最小正周期，且在上单调递增的是（）
A. B.
C. D.
6．圆与直线相交所得弦长为（）
A.1 B.
C.2 D.2
7．下列指数式与对数式互化不正确的一组是（ ）
A.与 B.与
C.与 D.与
8．已知函数，下列关于该函数结论错误的是（）
A.的图象关于直线对称 B.的一个周期是
C.的最大值为 D.是区间上的增函数
9．已知圆上的一段弧长等于该圆的内接正方形的边长，则这段弧所对的圆周角的弧度数为（ ）
A. B.
C. D.
10．设集合A={-2，1}，B={-1，2}，定义集合AB={x|x=x1x2，x1∈A，x2∈B}，则AB中所有元素之积
A.-8
B.-16
C.8
D.16
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．不等式对于任意的x，y∈R恒成立，则实数k的取值范围为________
12．在正方体中，直线与平面所成角的正弦值为________
13．已知角的终边经过点，则的值等于______.
14．如图所示，正方体的棱长为1，B′C∩BC′＝O，则AO与A′C′所成角的度数为________.

15．某租赁公司拥有汽车100辆.当每辆车的月租金为元时，可全部租出.当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元.若使租赁公司的月收益最大，每辆车的月租金应该定为__________
16．已知函数的图象恒过定点A，若点A在一次函数的图象上，其中，则的最小值为_____________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．某企业生产，两种产品，根据市场调查与预测，产品的利润与投资成正比，其关系如图（1）所示；产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图（2）所示（注：利润和投资的单位均为万元）

图（1） 图（2）
（1）分别求，两种产品的利润关于投资的函数解析式
（2）已知该企业已筹集到18万元资金，并将全部投入，两种产品的生产
①若平均投入两种产品的生产，可获得多少利润？
②如果你是厂长，怎样分配这18万元投资，才能使该企业获得最大利润？其最大利润为多少万元？
18．已知函数.
（1）当时，求函数的零点；
（2）若不等式在时恒成立，求实数k的取值范围.
19．已知函数，
（1）指出的单调区间，并用定义证明当时，的单调性；
（2）设，关于的方程有两个不等实根，，且，当时，求的取值范围
20．某企业为打入国际市场，决定从A、B两种产品中只选择一种进行投资生产．已知投资生产这两种产品的有关数据如下表：（单位：万美元）
项目
类别
年固定
成本
每件产品
成本
每件产品
销售价
每年最多可
生产的件数
A产品
20
m
10
200
B产品
40
8
18
120
其中年固定成本与年生产的件数无关，m为待定常数，其值由生产A产品的原材料价格决定，预计m∈[6,9]，另外，年销售x件B产品时需上交0.05x2万美元的特别关税．假设生产出来的产品都能在当年销售出去
（1）写出该厂分别投资生产A、B两种产品的年利润y1，y2与生产相应产品的件数x之间的函数关系并指明其定义域；
（2）如何投资最合理（可获得最大年利润）？请你做出规划
21．已知函数，在同一周期内，当时，取得最大值3；当时，取得最小值.
（1）求函数的解析式；
（2）求函数的单调减区间；
（3）当时，函数有两个零点，求实数m的取值范围.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】由指数函数、对数函数的性质可得、，再由交集的运算即可得解.
【详解】因为，，
所以.
故选：B.
【点睛】本题考查了指数不等式的求解及对数函数性质的应用，考查了集合交集的运算，属于基础题.
2、D
【解析】由已知得，，，判断可得选项.
【详解】解：由指数函数和对数函数的图象可知：，，，所以，
故选：D
【点睛】本题考查了对数式、指数式的大小比较，比较大小的常用方法为同底的对数式和指数式利用其单调性进行比较，也可以借助于中间值0和1进行比较，考查了运算求解能力与逻辑推理能力，属于中档题.
3、A
【解析】由为偶函数，排除选项B、D，又，排除选项C，从而即可得答案.
【详解】解：令，
因为，且定义域为，
所以为偶函数，所以排除选项B、D；
又，所以排除选项C；
故选：A.
4、C
【解析】利用不等式性质逐一判断即可.
【详解】选项A中，若，，则，若，，则，故错误；
选项B中，取，满足，但，故错误；
选项C中，若，则两边平方即得，故正确；
选项D中，取，满足，但，故错误.
故选：C.
【点睛】本题考查了利用不等式性质判断大小，属于基础题.
5、D
【解析】根据最小正周期判断AC，根据单调性排除B，进而得答案.
【详解】解：对于AC选项，，的最小正周期为，故错误；
对于B选项，最小正周期为，在区间上单调递减，故错误；
对于D选项，最小正周期为，当时，为单调递增函数，故正确.
故选：D
6、D
【解析】利用垂径定理可求弦长.
【详解】圆的圆心坐标为，半径为，
圆心到直线的距离为，
故弦长为：，
故选：D.
7、C
【解析】根据指数式与对数式的互化关系逐一判断即可.
【详解】，故正确；
，故正确；
，，故不正确；
，故正确
故选：C
【点睛】本题主要考查了指数式与对数式的互化，属于基础题.
8、C
【解析】利用诱导公式证明可判断A；利用可判断B；利用三角函数的性质可判断C；利用复合函数的单调性可判断D.
【详解】对于A，
，
所以的图象关于直线对称，故A正确；
对于B，
，
所以的一个周期是，故B正确；
对于C，，所以的最大值为，
当时，，取得最大值，
所以的最大值为，故C不正确；
对于D，在上单调递增，，
在上单调递增，
在上单调递减，，
根据复合函数的单调性易知，在上单调递增，
所以是区间上的增函数，故D正确.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是熟练掌握函数对称性及周期性的判定及三角函数的图象与性质.
9、C
【解析】求出圆内接正方形边长（用半径表示），然后由弧度制下角的定义可得
【详解】设此圆的半径为，则正方形的边长为，
设这段弧所对的圆周角的弧度数为，则，解得，
故选：C.
【点睛】本题考查弧度制下角的定义，即圆心角等于所对弧长除以半径．本题属于简单题
10、C
【解析】∵集合A={-2，1}，B={-1，2}，
定义集合AB={x|x=x1x2，x1∈A，x2∈B}，
∴AB={2，-4，-1}，
故AB中所有元素之积为：2×（-4）×（-1）=8
故选C

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】根据给定条件将命题转化为关于x的一元二次不等式恒成立，再利用关于y的不等式恒成立即可计算作答.
【详解】因为对于任意的x，y∈R恒成立，
于是得关于x的一元二次不等式对于任意的x，y∈R恒成立，
因此，对于任意的y∈R恒成立，
故有，解得，
所以实数k的取值范围为.
故答案为：
12、
【解析】连接AC交BD于O点，设交面于点E，连接OE，则角CEO就是所求的线面角，因为AC垂直于BD ，AC垂直于，故AC垂直于面.设正方体的边长为2，则OC=，OE=1，CE，此时正弦值为
故答案为.
点睛：求线面角，一是可以利用等体积计算出直线的端点到面的距离，除以线段长度就是线面角的正弦值；高二时还会学到空间向量法，可以建系，用空间向量的方法求直线的方向向量和面的法向量，再求线面角即可．面面角一般是要么定义法，做出二面角，或者三垂线法做出二面角，利用几何关系求出二面角，要么建系来做．
13、
【解析】根据三角函数定义求出、的值，由此可求得的值.
【详解】由三角函数的定义可得，，
因此，.
故答案为：.
14、30°
【解析】∵A′C′∥AC，∴AO与A′C′所成的角就是∠OAC(或其补角).
∵OC⊂平面BB′C′C，AB⊥平面BB′C′C，
∴OC⊥AB.又OC⊥OB，AB∩BO＝B，
∴OC⊥平面ABO.又AO⊂平面ABO，
∴OC⊥OA.在Rt△AOC中，，∴∠OAC＝30°.
即AO与A′C′所成角度数为30°.
点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：
①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；
②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；
③计算：求该角的值，常利用解三角形；
④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角
15、4050
【解析】设每辆车的月租金定为元，则租赁公司的月收益：
当时， 最大，最大值为，即当每车辆的月租金定为元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益是，故答案为.
【思路点睛】本题主要考查阅读能力、数学建模能力和化归思想以及几何概型概率公式，属于难题.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.解答本题的关键是：将租赁公司的月收益表示为关于每辆车的月租金的函数，然后利用二次函数的性质解答.
16、4
【解析】由题意可知定点A（1,1）,所以m+n=1,因为,所以,当时，的最小值为4.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、 (1) ，;(2) 当，两种产品分别投入2万元，16万元时，可使该企业获得最大利润，最大利润为万元
【解析】（1）设投资为万元（），设，，根据函数的图象，求得的值，即可得到函数的解析式；，
（2）①由（1）求得，，即可得到总利润．②设产品投入万元，产品投入万元，得到则，结合二次函数的图象与性质，即可求解
【详解】（1）设投资为万元（），，两种产品所获利润分别为，万元，
由题意可设，，其中，是不为零的常数
所以根据图象可得，，，，
所以，
（2）①由（1）得，，所以总利润为万元
②设产品投入万元，产品投入万元，该企业可获总利润为万元，
则，
令，则，且，
则，
当时，，此时，
当，两种产品分别投入2万元，16万元时，可使该企业获得最大利润，最大利润为万元
【点睛】本题主要考查了函数的实际应用问题，其中解答中能够从图象中准确地获取信息，利用待定系数法求得函数的解析式，再结合二次函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题
18、（1）；
（2）.
【解析】（1）由对数函数的性质可得，再解含指数的一元二次方程，结合指数的性质即可得解.
（2）由题设有在上恒成立，判断的单调性并确定其值域，即可求k的范围.
【小问1详解】
由题设，令，则，
∴，可得或（舍），
∴，故的零点为.
【小问2详解】
由，则，即在上恒成立，
∵在上均递减，
∴在上递减，则，
∴k的取值范围为.
19、（1）增区间为，减区间为；证明见解析
（2）
【解析】（1）根据函数的解析式特点可写出其单调区间，利用函数单调性的定义可证明其单调性；
（2）写出的表达式，将整理为即关于的方程有两个不等实根，，且，，即，在上有两个不等实根，然后数形结合解得答案.
【小问1详解】
函数的增区间为，减区间为；
任取，不妨令，
则，
因为，，故，
所以，即，
所以函数在时为单调减函数；
【小问2详解】
，则即，
也即，，
因此关于的方程有两个不等实根，，且，，
即，在上有两个不等实根，
作出函数的图象如图示：

故要满足，在上有两个不等实根，
需有，即 .
20、（1），且；，且；
（2）答案见解析.
【解析】（1）设年销售量为件，由题意可得，，注意根据实际情况确定定义域.
（2）分别计算两种方案的最值可得，讨论的符号，研究不同的方案所投资的产品及最大利润.
【小问1详解】
设年销售量为件，按利润的计算公式生产、两产品的年利润、分别为：
，且；
，且.
【小问2详解】
因为，则，故为增函数，又且，
所以时，生产产品有最大利润：（万美元）.
又，且，
所以时，生产产品有最大利润为460（万美元），
综上，，
令，得；
令，得；
令，得.
由上知：当时，投资生产产品200件获得最大年利润；
当时，投资生产产品100件获得最大年利润；
当时，投资生产产品和产品获得的最大利润一样.
21、（1）；（2）；（3）.
【解析】（1）根据函数在同一周期的最值，确定最小正周期和，再由最大值求出，即可得出函数解析式；
（2）根据正弦函数的单调递减区间列出不等式求解，即可得出结果；
（3）根据自变量的范围，先确定的范围及单调性，根据函数有两个零点，推出函数与直线有两不同交点，进而可得出结果.
【详解】（1）因为函数，在同一周期内，当时，取得最大值3；当时，取得最小值，
，，则，所以；
又，所以，解得，
又，所以，因此；
（2）由，解得，
∴函数的单调递减区间为；
（3）由，解得，
即函数的单调递增区间为；
，所以在区间上单调递增，在上单调递增；
所以，，，
又有两个零点，等价于方程有两不等实根，
即函数与直线有两不同交点，
因此，只需，解得，
即实数的取值范围是
【点睛】思路点睛：
已知含三角函数的函数在给定区间的零点个数求参数时，一般需要分离参数，将问题转化为三角函数与参数对应的直线交点问题求解，利用三角函数的性质，确定其在给定区间的单调性与最值等，即可求解（有时需要利用数形结合的方法求解）.