江苏省启东市启东中学2026届数学高一第一学期期末质量检测模拟试题含解析.doc

江苏省启东市启东中学2026届数学高一第一学期期末质量检测模拟试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．设函数对的一切实数均有，则等于
A.2016 B.-2016
C.-2017 D.2017
2．下列关系中正确个数是（）
①②③④
A.1 B.2
C.3 D.4
3．若，则值为（ ）
A. B.
C. D.7
4．已知函数在内是减函数，则的取值范围是
A. B.
C. D.
5．已知，求的值（）
A. B.
C. D.
6．某单位共有名职工，其中不到岁的有人，岁的有人，岁及以上的有人，现用分层抽样的方法，从中抽出名职工了解他们的健康情况．如果已知岁的职工抽取了人，则岁及以上的职工抽取的人数为（）
A. B.
C. D.
7．已知函数，则下列判断正确的是
A.函数是奇函数，且在R上是增函数
B.函数偶函数，且在R上是增函数
C.函数是奇函数，且在R上是减函数
D.函数是偶函数，且在R上是减函数
8．将函数图象向左平移个单位后与的图象重合，则（ ）
A. B.
C D.
9．已知，，，那么a，b，c的大小关系为（）
A. B.
C. D.
10．形如的函数因其图像类似于汉字中的“囧”字，故我们把其生动地称为“囧函数”.若函数有最小值，则“囧函数”与函数的图像交点个数为（）
A.1 B.2
C.4 D.6
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知函数，则当______时，函数取到最小值且最小值为_______.
12．已知函数的零点为，不等式的最小整数解为，则__________
13．，，且，则的最小值为______.
14．已知向量，若，则m=____.
15．若函数满足，则______
16．在中，，则_____________
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数为奇函数.
（1）求的值；
（2）探究在上的单调性，并用函数单调性的定义证明你的结论.
18．已知函数在一个周期内的图像经过点和点，且的图像有一条对称轴为.
（1）求的解析式及最小正周期；
（2）求的单调递增区间.
19．某兴趣小组在研究性学习活动中，通过对某商店一种商品销售情况的调查发现：该商品在过去的一个月内（以天计）的日销售价格（元）与时间（天）的函数关系近似满足（为常数）.该商品的日销售量（个）与时间（天）部分数据如下表所示：
（天）

（个）

已知第天该商品日销售收入为元.
（1）求出该函数和的解析式；
（2）求该商品的日销售收入（元）的最小值.
20．已知向量，，若存在非零实数，使得，，且，试求：的最小值
21．在中，顶点，，BC边所在直线方程为.
（1）求过点A且平行于BC的直线方程；
（2）求线段AB的垂直平分线方程.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】将换成再构造一个等式，然后消去，得到的解析式，最后可求得
【详解】①
②
①②得
，

故选：
【点睛】本题考查求解析式的一种特殊方法：方程组法．如已知，求，则由已知得，把和作为未知数，列出方程组可解出．如已知也可以用这种方法求解析式
2、A
【解析】根据集合的概念、数集的表示判断
【详解】是有理数，是实数，不是正整数，是无理数，当然不是整数．只有①正确
故选：A
【点睛】本题考查元素与集合的关系，掌握常用数集的表示是解题关键
3、B
【解析】根据两角和的正切公式，结合同角的三角函数关系式中商关系进行求解即可.
【详解】由，
所以，
故选：B
4、B
【解析】由题设有为减函数，且，恒成立，所以，解得，选B.
5、A
【解析】利用同角三角函数的基本关系，即可得到答案；
【详解】，
故选：A
6、A
【解析】计算抽样比例，求出不到35岁的应抽取人数，再求50岁及以上的应抽取人数.
【详解】计算抽样比例为，
所以不到35岁的应抽取(人，
所以50岁及以上的应抽取(人.
故选：.
7、A
【解析】求出的定义域，判断的奇偶性和单调性，进而可得解.
【详解】的定义域为R，且；
∴是奇函数；
又和都是R上的增函数；
是R上的增函数
故选A
【点睛】本题考查奇偶性的判断，考查了指数函数的单调性，属于基础题
8、C
【解析】利用三角函数的图象变换可求得函数的解析式.
【详解】由已知可得.
故选：C.
9、B
【解析】根据指数函数单调性比较大小.
【详解】因为在上是增函数，又，所以，所以，
故选B.
【点睛】本题考查利用指数函数单调性比较指数幂的大小，难度较易.对于指数函数（且）：若，则是上增函数；若，则是上减函数.
10、C
【解析】令，根据函数有最小值，可得，由此可画出“囧函数”与函数在同一坐标系内的图象，由图象分析可得结果.
【详解】令，则函数有最小值
∵，
∴当函数是增函数时，在上有最小值，
∴当函数是减函数时，在上无最小值，
∴.此时“囧函数”与函数在同一坐标系内的图象如图所示，

由图象可知，它们的图象的交点个数为4.
【点睛】本题考查对数函数的性质和函数图象的应用，考查学生画图能力和数形结合的思想运用，属中档题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、 ①. ②.
【解析】利用基本不等式可得答案.
【详解】因为，
所以，
当且仅当即等号成立.
故答案为：；.
12、8
【解析】利用单调性和零点存在定理可知，由此确定的范围，进而得到.
【详解】函数为上的增函数，，，
函数的零点满足，，
的最小整数解
故答案为：.
13、3
【解析】根据基本不等式“1”的用法求解即可.
【详解】解：解法一：因为
所以
当且仅当时等号成立.
解法二：设，，则，
所以
当且仅当时等号成立.
故答案为：
14、-1
【解析】求出的坐标，由向量共线时坐标的关系可列出关于的方程，从而可求出的值.
【详解】解：∵，∴，∵，，
∴，解得.
故答案为: -1
15、
【解析】根据题意，令，结合指数幂的运算，即可求解.
【详解】由题意，函数满足，令，可得.
故答案为：.
16、
【解析】先由正弦定理得到，再由余弦定理求得的值
【详解】由，结合正弦定理可得，
故设，，()，由余弦定理可得，
故.
【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理的运用，属于基础题

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）在上为增函数，证明见解析.
【解析】（1）由可求得的值；
（2）任取，可证明，则，从而可得结论.
【详解】（1）由于是定义在上的奇函数，
故，解得.
经检验，是奇函数；
（2）是上的增函数，证明如下：
任取，
，
由于，所以，，
所以，即，
所以在上为增函数
【点睛】本题主要考查根据奇偶性求参数，考查了函数单调性的判断与证明，同时考查了计算能力，属于中档题.
18、（1），；（2）.
【解析】（1）由函数图象经过点且f（x）的图象有一条对称轴为直线，
可得最大值A，且能得周期并求得ω，由五点法作图求出的值，可得函数的解析式
（2）利用正弦函数的单调性求得f（x）的单调递增区间
【详解】（1）函数f（x）＝Asin（ωx+）（A＞0，ω＞0，）在一个周期内的图象经过点，，且f（x）的图象有一条对称轴为直线，
故最大值A＝4，且,
∴，
∴ω＝3
所以.
因为的图象经过点，所以，
所以，.
因为，所以，
所以.
（2）因为，所以，，
所以，，
即的单调递增区间为.
【点睛】本题主要考查由函数y＝Asin（ωx+）的性质求解析式，通常由函数的最大值求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出的值，考查了正弦型函数的单调性问题，属于基础题
19、（1），
（2）最小值为元
【解析】（1）利用可求得的值，利用表格中的数据可得出关于、的方程组，可解得、的值，由此可得出函数和的解析式；
（2）求出函数的解析式，利用基本不等式、函数单调性求得在且、且的最小值，比较大小后可得出结论.
【小问1详解】
解：依题意知第天该商品的日销售收入为，
解得，所以，.
由表格可知，解得.
所以，.
【小问2详解】
解：由（1）知，
当且时，，
当且时，.
，
当时，由基本不等式可得，
当且仅当时，等号成立，即.
当时，因为函数、均为减函数，则函数为减函数，
所以当时，取得最小值，且.
综上所述，当时，取得最小值，且.
故该商品的日销售收入的最小值为元.
20、
【解析】根据向量数量积的坐标公式和性质，分别求出，且，由此将化简整理得到．将此代入，可得关于的二次函数，根据二次函数的单调性即可得到的最小值
【详解】解：，，
，，且
，，且，
，即，即，即，将、和代入上式，可得
，整理得，因为，为非零实数，所以且，

由此可得，当时，的最小值等于
21、（1）
（2）
【解析】（1）利用点斜式求得过点A且平行于BC的直线方程.
（2）根据中点坐标、线段AB的垂直平分线的斜率求得正确答案.
【小问1详解】
直线的斜率为，
所以过点A且平行于BC的直线方程为.
【小问2详解】
线段的中点为，
直线的斜率为，
所以线段AB的垂直平分线的斜率为，
所以线段AB的垂直平分线为.