辽宁省五校联考2026届高一数学第一学期期末考试试题含解析.doc

辽宁省五校联考2026届高一数学第一学期期末考试试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．点P在正方形ABCD所在平面外，PD⊥平面ABCD，PD=AD，则PA与BD所成角的度数为（）
A.30° B.45°
C.60° D.90°
2．若，且则与的夹角为（　　）
A. B.
C. D.
3．已知命题“存在，使得等式成立”是假命题，则实数的取值范围是（）
A. B.
C. D.
4．若是三角形的一个内角，且，则三角形的形状为（）
A.钝角三角形 B.锐角三角形
C.直角三角形 D.无法确定
5．如图，在平面四边形中，，将其沿对角线对角折成四面体，使平面⊥平面,若四面体的顶点在同一球面上，则该求的体积为

A. B.
C. D.
6．若，均为锐角，，，则（）
A. B.
C. D.
7．某数学兴趣小组设计了一种螺线，作法如下：在水平直线上取长度为1的线段AB，并作等边三角形ABC，然后以点B为圆心，BA为半径逆时针画圆弧，交线段CB的延长线于点D；再以点C为圆心，CD为半径逆时针画圆弧，交线段AC的延长线于点E，以此类推，得到的螺线如图所示．当螺线与直线有6个交点（不含A点）时，则螺线长度最小值为（）

A. B.
C. D.
8．已知函数若方程恰有三个不同的实数解a，b，c（），则的取值范围是（）.
A. B.
C. D.
9．已知函数是上的奇函数，且在单调递减，则三个数：，，之间的大小关系是（）
A. B.
C. D.
10．三个数20.3，0.32，log0.32的大小顺序是
A.0.32＜log0.32＜20.3 B.0.32＜20.3＜log0.32
C.log0.32＜20.3＜0.32 D.log0.32＜0.32＜20.3
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．在中，，，，若将绕直线旋转一周，则所形成的几何体的体积是__________

12．如图，已知圆柱的轴截面是矩形，，是圆柱下底面弧的中点，是圆柱上底面弧的中点，那么异面直线与所成角的正切值为__________

13．函数在上为单调递增函数，则实数的取值范围是______
14．使得成立的一组，的值分别为_____.
15．在空间直角坐标系中，一点到三个坐标轴的距离都是1，则该点到原点的距离是________.
16．已知函数，若方程有4个不同的实数根，则的取值范围是____
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．对于两个定义域相同的函数和，若存在实数，使，则称函数是由“基函数，”生成的.
（1）若是由“基函数，”生成的，求实数的值；
（2）试利用“基函数，”生成一个函数，且同时满足以下条件：①是偶函数；②的最小值为1.求的解析式.
18．已知函数是偶函数（其中为自然对数的底数，…）
（1）求的值；
（2）若方程在区间上有实数根，求实数的取值范围
19．已知函数
（）求函数的最小正周期
（）求函数的单调递减区间
20．已知函数（，且）
（1）若函数的图象过点，求b的值；
（2）若函数在区间上的最大值比最小值大，求a的值
21．已知函数.
（1）解不等式；
（2）若函数,其中为奇函数,为偶函数,若不等式对任意恒成立,求实数的取值范围.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】

分别取AC.PC中点O.E.连OE,DE;则OE//PA,
所以（或其补角）就是PA与BD所成的角；
因PD⊥平面ABCD，所以PD⊥DC,PD⊥AD.
设正方形ABCD边长为2，则PA=PC=BD=
所以OD=OE=DE=,是正三角形，
，
故选C
2、C
【解析】因为，设与的夹角为，，则，故选C
考点：数量积表示两个向量的夹角
3、D
【解析】由题意可得，由的范围可得的范围，再求其补集即可求解.
【详解】由可得，
因为，所以，
若命题“存在，使得等式成立”是假命题，
则实数 的取值范围是，
故选：D.
4、A
【解析】已知式平方后可判断为正判断的正负，从而判断三角形形状
【详解】解：∵，∴，
∵是三角形的一个内角，则，
∴，
∴为钝角，∴这个三角形为钝角三角形.
故选：A
5、A
【解析】平面四边形ABCD中，AB=AD=CD=2，BD=2，BD⊥CD，将其沿对角线BD折成四面体A'﹣BCD，
使平面A'BD⊥平面BCD．四面体A'﹣BCD顶点在同一个球面上，△BCD和△A'BC都是直角三角形，
BC的中点就是球心，所以BC=2，球的半径为：；
所以球的体积为：
故答案选：A
点睛：涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.
6、B
【解析】由结合平方关系可解.
【详解】因为为锐角，，所以，
又，均为锐角，所以，所以，
所以
.
故选：B
7、A
【解析】根据题意，找到螺线画法的规律，由此对选项逐一分析，从而得到答案
【详解】第1次画线：以点为圆心，，旋转，划过的圆弧长为；
第2次画线：以点为圆心，，旋转，划过的圆弧长为，交累计1次；
第3次画线：以点为圆心，，旋转，划过的圆弧长为3，交累计2次；
第4次画线：以点为圆心，，旋转，划过的圆弧长为；
第5次画线：以点为圆心，，旋转，划过的圆弧长为，交累计3次；
前5次累计画线；
第6次画线：以点为圆心，，旋转，划过的圆弧长为，交累计4次，累计画线；
第7次画线：以点为圆心，，旋转，划过的圆弧长为；
第8次画线：以点为圆心，，旋转，划过的圆弧长为，交累计5次；
第9次画线：以点为圆心，，旋转，划过的圆弧长为，交累计6次，累计画线，故选项A正确
故选：A
另解：由前三次规律可发现，每画三次，与l产生两个交点，故要产生6个交点，需要画9次；每一次画的圆弧长度是以为首项，为公差的等差数列，所以前9项之和为：﹒
故选：A﹒
8、A
【解析】画出的图象，数形结合可得求出.
【详解】画出的图象

所以方程恰有三个不同的实数解a，b，c（），
可知m的取值范围为，由题意可知，，
所以，所以
故选：A.
9、D
【解析】根据题意，得函数在上单调递减，又，，然后结合单调性判断
【详解】因为函数是上奇函数，且在单调递减，
所以函数在上单调递减，
∵，，
∴，
即
故选：D
10、D
【解析】由已知得：，，，所以.故选D.
考点：指数函数和对数函数的图像和性质.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】依题意可知，旋转体是一个大圆锥去掉一个小圆锥，

所以OA=，OB=1
所以旋转体的体积:
故答案为．
12、
【解析】
取圆柱下底面弧AB的另一中点D，连接C1D，AD，
因为C是圆柱下底面弧AB中点，所以AD∥BC，
所以直线AC1与AD所成角等于异面直线AC1与BC所成角，
因为C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，
所以C1D⊥圆柱下底面，所以C1D⊥AD，
因为圆柱的轴截面ABB1A1是矩形， AA1=2AB
所以C1D＝2AD，
所以直线AC1与AD所成角的正切值为2，
所以异面直线AC1与BC所成角的正切值为2
故答案为：2.
点睛：求两条异面直线所成角关键是作为这两条异面直线所成角，作两条异面直线所成角的方法是：将其中一条一条直线平移与另一条相交相交或是将两条异面直线同时平移到某个位置使他们相交，然后再同一平面内求相交直线所成角，值得注意的是：平移后相交所得的角必须容易算出，因此平移时要求选择恰当位置.
13、
【解析】令
∴
即函数的增区间为，
又函数在上为单调递增函数
∴令得：，
即，得到：，又
∴实数的取值范围是
故答案为
14、，（不唯一）
【解析】使得成立，只需，举例即可.
【详解】使得成立，只需，
所以,，
使得成立的一组，的值分别为，
故答案为：，（不唯一）
15、
【解析】设出点的坐标，根据题意列出方程组，从而求得该点到原点的距离.
【详解】设该点的坐标
因为点到三个坐标轴的距离都是1
所以，，，
所以
故该点到原点的距离为，
故填.
【点睛】本题主要考查了空间中点的坐标与应用，空间两点间的距离公式，属于中档题.
16、
【解析】先画出函数的图象，把方程有4个不同的实数根转化为函数的图象与有四个不同的交点，结合对数函数和二次函数的性质，即可求解.
【详解】由题意，函数，要先画出函数的图象，如图所示，
又由方程有4个不同的实数根，
即函数的图象与有四个不同的交点，
可得，且，
则=，
因为，则，所以.
故答案为.

【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中解答中把方程有4个不同的实数根，转化为两个函数的有四个交点，结合对数函数与二次函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）
【解析】⑴由已知得，求解即可求得实数的值；
⑵设，则，继而证得是偶函数，可得与的关系，得到函数解析式，设，则由，即可求解的最小值为
解析：（1）由已知得，
即，
得，所以.
（2）设，则.
由，得，
整理得，即，
即对任意恒成立，所以.
所以
.
设，令，则，
改写为方程，
则由，且，得，检验时，满足，
所以，且当时取到“=”.
所以，又最小值为1，所以，且，此时，
所以.
点睛：本题考查了学生对新定义的理解，方程的思想，对数的运算性质，不等式的性质以及函数的最值求法．考查了函数的最值及其几何意义，函数解析式的求解及其常用方法，本题涉及的函数的性质较多，综合性抽象性很强，做题的时候要做到每一步变化严谨
18、（1）；（2）
【解析】（1）由偶函数的定义可得恒成立，即可求出值；
（2）由题意可分离参数得出有解，求出的值域即可.
【详解】（1）是偶函数，

恒成立，
，解得；
（2）由（1）知，
由得，
令，
当时，，则，
故时，方程在区间上有实数根，
故的取值范围为.
【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解
19、（）．（），
【解析】利用两角和差余弦公式、二倍角公式和辅助角公式整理出；（1）根据求得结果；（2）令，解出的范围即可得到结果.
详解】由题意得：

（）最小正周期：
（）令
解得：
的单调递减区间为：
【点睛】本题考查正弦型函数的最小正周期、单调区间的求解问题，涉及到两角和差余弦公式、二倍角公式、辅助角公式的应用.
20、（1）1（2）或
【解析】（1）将点坐标代入求出b的值；（2）分与两种情况，根据函数单调性表达出最大值和最小值，列出方程，求解a的值.
【小问1详解】
，解得.
【小问2详解】
当时，在区间上单调递减，此时，，所以，解得：或0（舍去）；
当时，在区间上单调递增，此时，，所以，解得：或0（舍去）.
综上：或
21、（1）（1，3）；（2） .
【解析】（1）设t＝2x，利用f（x）＞16﹣9×2x，转化不等式为二次不等式，求解即可；
（2）利用函数的奇偶性以及函数恒成立，结合对勾函数的图象与性质求解函数的最值，推出结果
【详解】解：（1）设t=2x，由f（x）＞16﹣9×2x得：t﹣t2＞16﹣9t，
即t2﹣10t+16＜0
∴2＜t＜8，即2＜2x＜8，∴1＜x＜3
∴不等式的解集为（1，3）
（2） 由题意得
解得.
2ag（x）+h（2x）≥0，即，对任意x∈[1，2]恒成立，
又x∈[1，2]时，令，

在上单调递增，
当时，有最大值，
所以.
【点睛】本题考查函数与方程的综合应用，二次函数的性质，对勾函数的图像与性质以及函数恒成立的转化，考查计算能力