浙江省鄞州中学2025年数学高一上期末学业质量监测模拟试题含解析.doc

浙江省鄞州中学2025年数学高一上期末学业质量监测模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．命题“，有”的否定是（）
A.，使 B.，有
C.，使 D.，使
2．不等式对一切恒成立，则实数a的取值范围是（）
A. B.
C. D.
3．已知幂函数的图象过点，则的值为（）
A. B.
C. D.
4．方程组的解集是（）
A. B.
C. D.
5．不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
6．已知集合，则中元素的个数为
A.1 B.2
C.3 D.4
7．函数的图像大致为（ ）
A. B.
C. D.
8．在平面直角坐标系中, 以为圆心的圆与轴和轴分别相切于两点, 点分别在线段上, 若,与圆相切, 则的最小值为
A. B.
C. D.
9．下列结论正确的是（）
A.不相等的角终边一定不相同
B.，，则
C.函数的定义域是
D.对任意的，，都有
10．已知，条件：，条件：，则是的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．由直线上的任意一个点向圆引切线，则切线长的最小值为________.
12．若函数在上存在零点，则实数的取值范围是________
13．已知正数a，b满足，则的最小值为______
14．不等式的解为______
15．当一个非空数集G满足“如果，则，，，且时，”时，我们称G就是一个数域，以下关于数域的命题：①0和1都是任何数域的元素；②若数域G有非零元素，则；③任何一个有限数域的元素个数必为奇数；④有理数集是一个数域；⑤偶数集是一个数域，其中正确的命题有______________.
16．已知扇形的面积为4，圆心角为2弧度，则该扇形的弧长为_________
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数
（1）判断并说明函数的奇偶性；
（2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围
18．设直线与相交于一点.
（1）求点的坐标；
（2）求经过点，且垂直于直线的直线的方程.
19．已知集合.
（1）当时.求;
（2）若是的充分条件，求实数的取值范围.
20．已知的三个顶点
（1）求边上高所在直线的方程；
（2）求的面积
21．对于函数，若，则称为的“不动点”，若，则称为的“稳定点”，函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为和，即，，那么，
（1）求函数的“稳定点”；
（2）求证：；
（3）若，且，求实数的取值范围.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】全称命题的否定：将任意改存在并否定原结论，即可知正确选项.
【详解】由全称命题的否定为特称命题，
∴原命题的否定为.
故选：D
2、B
【解析】当时，得到不等式恒成立；当时，结合二次函数的性质，列出不等式组，即可求解.
【详解】由题意，不等式对一切恒成立，
当时，即时，不等式恒成立，符合题意；
当时，即时，
要使得不等式对一切恒成立，
则满足，解得，
综上，实数a的取值范围是.
故选：B.
3、A
【解析】待定系数求得幂函数解析式，再求对数运算的结果即可.
【详解】设幂函数为，由题意得，，
∴
故选：A
【点睛】本题考查幂函数解析式的求解，涉及对数运算，属综合简单题.
4、A
【解析】解出方程组，写成集合形式.
【详解】由可得：或.
所以方程组的解集是.
故选：A
5、C
【解析】将原不等式转化为从而可求出其解集
【详解】原不等式可化为，即，
所以
解得
故选：C
6、A
【解析】利用交集定义先求出A∩B，由此能求出A∩B中元素的个数
【详解】∵集合∴A∩B＝{3}，
∴A∩B中元素的个数为1
故选A
【点睛】本题考查交集中元素个数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用
7、A
【解析】先判断函数为偶函数排除；再根据当时， ，排除得到答案.
【详解】，偶函数，排除；
当时， ，排除
故选
【点睛】本题考查了函数图像的识别，通过函数的奇偶性和特殊函数点可以排除选项快速得到答案.
8、D
【解析】因为为圆心的圆与 轴和轴分别相切于 两点, 点分别在线段 上, 若, 与圆相切，设切点为 ，所以，设 ，则， ，故选D.

考点：1、圆的几何性质；2、数形结合思想及三角函数求最值
【方法点睛】本题主要考查圆的几何性质、数形结合思想及三角函数求最值，属于难题．求最值的常见方法有 ① 配方法：若函数为一元二次函数，常采用配方法求函数求值域，其关键在于正确化成完全平方式，并且一定要先确定其定义域；② 三角函数法：将问题转化为三角函数，利用三角函数的有界性求最值；③ 不等式法：借助于基本不等式 求函数的值域，用不等式法求值域时，要注意基本不等式的使用条件“一正、二定、三相等”；④ 单调性法：首先确定函数的定义域，然后准确地找出其单调区间 ，最后再根据其单调性求凼数的值域，⑤图像法：画出函数图像，根据图像的最高和最低点求最值，本题主要应用方法②求的最小值的
9、B
【解析】根据对数函数与三角函数的性质依次讨论各选项即可得答案.
【详解】解：对于A选项，例如角的终边相同，但不相等，故错误；
对于B选项，，，则，故正确；
对于C选项，由题，解得，即定义域是，故错误；
对于D选项，对数不存在该运算法则，故错误；
故选：B
10、C
【解析】分别求两个命题下的集合，再根据集合关系判断选项.
【详解】，则，
，则，因为，
所以是充分必要条件.
故选：C

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】利用切线和点到圆心的距离关系即可得到结果.
【详解】圆心坐标，半径

要使切线长最小，则只需要点到圆心的距离最小，
此时最小值为圆心到直线的距离，
此时，
故答案为：
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，同时考查了点到直线的距离公式，属于基础题.
12、
【解析】分和并结合图象讨论即可
【详解】解：令，则有，
原命题等价于函数与在上有交点，
又因为在上单调递减，且当时，，
在上单调递增，
当时，作出两函数的图像，

则两函数在上必有交点，满足题意；
当时，如图所示，只需，
解得，即，

综上所述实数的取值范围是.
故答案为：
13、##
【解析】右边化简可得，利用基本不等式，计算化简即可求得结果.
【详解】，
故,则，当且仅当时，等号成立
故答案为：
14、
【解析】根据幂函数的性质，分类讨论即可
【详解】将不等式转化成
（Ⅰ），解得；
（Ⅱ），解得；
（Ⅲ），此时无解；
综上，不等式的解集为：
故答案为：
15、①②③④
【解析】利用已知条件中数域的定义判断各命题的真假，题目给出了对两个实数的四种运算，要满足对四种运算的封闭，只有一一验证.
【详解】①当时，由数域的定义可知，
若，则有，即，，故①是真命题;
②因为，若，则，则，，则2019，所以，故②是真命题；
③，当且时，则，因此只要这个数不为就一定成对出现，
所以有限数域的元素个数必为奇数，所以③是真命题；
④若，则，且时,，故④是真命题；
⑤当时，，所以偶数集不是一个数域，故⑤是假命题；
故答案为：①②③④
【点睛】关键点点睛：理解数域就是对加减乘除封闭的集合，是解题的关键，一定要读懂题目再入手，没有一个条件是多余的，是难题.
16、4
【解析】设扇形半径为，弧长为，则，解得
考点：角的概念，弧度的概念

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）为奇函数（2）
【解析】（1）利用函数的奇偶性判断即可；
（2）由（1）知为奇函数且单调递增，将不等式恒成立分离参数，利用基本不等式解得即可.
【详解】（1）函数的定义域为，
，
所以为奇函数.
（2）由（1）知奇函数且定义域为，易证在上单调递增，
所以不等式恒成立，转化，
即对恒成立，
所以对恒成立，
即，
因，则，
所以，即，
所以，
故实数的取值范围为.
【点睛】本题考查函数奇偶性的定义，以及利用奇偶性，单调性解不等式恒成立问题，属于中档题.
18、（1）；（2）.
【解析】（1）将两直线方程联立，求出方程组的公共解，即可得出点的坐标；
（2）求出直线的斜率，可得出垂线的斜率，然后利用点斜式方程可得出所求直线的方程，化为一般式即可.
【详解】（1）由，解得，因此，点的坐标为；
（2）直线斜率为，垂直于直线的直线斜率为，
则过点且垂直于直线的直线的方程为，
即：.
【点睛】本题两直线交点坐标计算，同时也考查了直线的垂线方程的求解，解题时要将两直线的垂直关系转化为斜率关系，考查计算能力，属于基础题.
19、（1）或.
（2）
【解析】（1）解一元二次不等式求集合A、B，再由集合的补、并运算求即可.
（2）由充分条件知，则有，进而求的取值范围.
【小问1详解】
，
当时，，或，
∴或；
【小问2详解】
由是的充分条件，知：，
∴，解得，
∴的取值范围为.
20、 (1) ；⑵8.
【解析】（1）设BC边的高所在直线为l，由斜率公式求出KBC，根据垂直关系得到直线l的斜率 Kl，用点斜式求出直线l的方程，并化为一般式
（2）由点到直线距离公式求出点A（﹣1，4）到BC的距离d，由两点间的距离公式求出|BC|，代入△ABC的面积公式求出面积S的值
试题解析：
(1)设边上高所在直线为，
由于直线的斜率
所以直线的斜率.
又直线经过点，
所以直线的方程为，
即
⑵边所在直线方程为：
,即
点到直线的距离
，
又
.
21、（1）“稳定点”；（2）见解析；（3）
【解析】本题拿出一个概念来作为新型定义题，只需要去对定义的理解就好，要求函数的“稳定点”只需求方程中的值，即为“稳定点”
若，有这是不动点的定义，此时得出，，如果，则直接满足.
先求出即存在“不动点”的条件，同理取得到存在“稳定点”的条件，而两集合相等，即条件所求出的结果一直，对结果进行分类讨论.
【详解】（1）由有，得：，所以函数的“稳定点”为；
（2）证明：若，则，显然成立；
若，设，有，则有，
所以，故
（3）因为，所以方程有实根，即有实根，
所以或，解得又由得：即由（1）知，故方程左边含有因式
所以，又，
所以方程要么无实根，要么根是方程的解，
当方程无实根时，或，即，
当方程有实根时，则方程的根是方程的解，
则有，代入方程得，故，
将代入方程，得，所以.
综上：的取值范围是.
【点睛】作为新型定义题，题中需要求什么，我们就从条件中去得到相应的关系，比如本题中，求不动点，就去求；求稳定点，就去求，完全根据定义去处理问题.
需要求出不动点及稳定点相同，则需要它们对应方程的解完全一样.