2026届重庆市重庆市第一中学校数学高一上期末综合测试模拟试题含解析.doc

2026届重庆市重庆市第一中学校数学高一上期末综合测试模拟试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知函数是定义在上的奇函数，，且，则（ ）
A. B.
C. D.
2． “”是“且”的（）
A.必要而不充分条件 B.充分而不必要条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3．将函数的图像向右平移个单位后得到的图像关于直线对称，则的最小正值为
A. B.
C. D.
4．若均大于零，且，则的最小值为（）
A. B.
C. D.
5．函数，若恰有3个零点，则a的取值范围是（）
A. B.
C. D.
6．在《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是某“堑堵”的三视图，则该“堑堵”的侧面积为（）

A.48 B.42
C.36 D.30
7．下列集合与集合相等的是（ ）
A. B.
C. D.
8．函数的定义域为
A. B.
C. D.
9．关于函数，下列说法正确的是（）
A.最小值为0 B.函数为奇函数
C.函数是周期为周期函数 D.函数在区间上单调递减
10．经过点的直线到，两点的距离相等，则直线的方程为
A. B.
C.或 D.都不对
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．为了解某校高三学生身体状况，用分层抽样的方法抽取部分男生和女生的体重，将男生体重数据整理后，画出了频率分布直方图，已知图中从左到右前三个小组频率之比为1:2:3，第二小组频数为12，若全校男、女生比例为3:2，则全校抽取学生数为________

12．以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形.勒洛三角形是由德国机械工程专家、机构运动学家勒洛首先发现，所以以他的名字命名.一些地方的市政检修井盖、方孔转机等都有应用勒洛三角形.如图，已知某勒洛三角形的一段弧的长度为，则该勒洛三角形的面积是___________.

13．函数最小正周期是________________
14．已知，，，则的最小值___________.
15．在棱长为2的正方体ABCD－中，E，F，G，H分别为棱，，，的中点，将该正方体挖去两个大小完全相同的四分之一圆锥，得到如图所示的几何体，现有下列四个结论：

①CG//平面ADE；②该几何体的上底面的周长为；
③该几何体的的体积为；④三棱锥F－ABC的外接球的表面积为
其中所有正确结论的序号是____________
16．已知．若实数m满足，则m的取值范围是__
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．在①函数的图象关于原点对称；②函数的图象关于直线对称；这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.已知函数，的图象相邻两条对称轴的距离为，
（1）求函数的解析式；
（2）求函数在上的取值范围.
18．我们知道，声音通过空气传播时会引起区域性的压强值改变.物理学中称为“声压”.用P表示（单位：Pa（帕））：“声压级”S（单位：dB（分贝））表示声压的相对大小.已知它与“某声音的声压P与基准声压的比值的常用对数（以10为底的对数）值成正比”，即（k是比例系数）.当声压级S提高60dB时，声压P会变为原来的1000倍.
（1）求声压级S关于声压P的函数解析式；
（2）已知两个不同的声源产生的声压P1，P2叠加后得到的总声压，而一般当声压级S<45dB时人类是可以正常的学习和休息的.现窗外同时有两个声压级为40dB的声源，在不考虑其他因素的情况下，请问这两个声源叠加后是否会干扰我们正常的学习？并说明理由.（参考数据：lg2≈0.3）
19．已知圆C经过点，两点，且圆心在直线上
（1）求圆C的方程；
（2）已知、是过点且互相垂直的两条直线，且与C交于A，B两点，与C交于P、Q两点，求四边形APBQ面积的最大值
20．已知函数
（1）求出该函数最小正周期；
（2）当时，的最小值是-2，最大值是，求实数a，b的值
21．在等腰梯形中，已知，，，，动点和分别在线段和上（含端点），且，且（、为常数），设，.

（Ⅰ）试用、表示和；
（Ⅱ）若，求的最小值.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】由得函数的周期性，由周期性变形自变量的值，最后由奇函数性质求得值
【详解】∵是奇函数，∴，
又，∴是周期函数，周期为4
∴
故选：C
2、A
【解析】根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的性质分析判断
【详解】当时，满足，而不成立，
当且时，，所以，
所以“”是“且”的必要而不充分条件，
故选：A
3、C
【解析】函数，将其图像向右平移个单位后得到
∵这个图像关于直线对称
∴，即
∴当时取最小正值为
故选C
点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母而言.
4、D
【解析】由题可得，利用基本不等式可求得.
【详解】均大于零，且，
，
当且仅当，即时等号成立，
故的最小值为.
故选：D.
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
5、B
【解析】画出的图像后，数形结合解决函数零点个数问题.
【详解】做出函数图像如下

由得，由得
故函数有3个零点
若恰有3个零点，即函数与直线有三个交点，
则a的取值范围，
故选：B
6、C
【解析】由三视图可知该“堑堵”的高为，其底面是直角边为，斜边为的三角形，从而可求出其侧面积.
【详解】解：由三视图易得该“堑堵”的高为，其底面是直角边为，斜边为的三角形，
故其侧面积为.
故选：C.
7、C
【解析】根据各选项对于的集合的代表元素，一一判断即可；
【详解】解：集合，表示含有两个元素、的集合，
对于A：，表示含有一个点的集合，故不相等；
对于B：，表示的是点集，故不相等；
对于C：，表示方程的解集，因为的解为，或，所以
对于D：，故不相等
故选：C
8、C
【解析】要使函数有意义，需满足解得，所以函数的定义域为
考点：求函数的定义域
【易错点睛】本题是求函数的定义域，注意分母不能为0，同时本题又将对数的运算，交集等知识联系在一起，重点考查学生思维能力的全面性和缜密性，凸显了知识之间的联系性、综合性，能较好的考查学生的计算能力和思维的全面性．学生很容易忽略，造成失误，注意在对数函数中，真数一定是正数，负数和零无意义
考点：求函数的定义域
9、D
【解析】根据三角函数的性质，得到的最小值为，可判定A不正确；根据奇偶性的定义和三角函数的奇偶性，可判定C不正确；举例可判定C不正确；根据三角函数的单调性，可判定D正确.
【详解】由题意，函数，
当时，可得，所以，
当时，可得，所以，
所以函数的最小值为，所以A不正确；
又由，所以函数为偶函数，所以B不正确；
因为，，所以，
所以不是的周期，所以C不正确；
当时，，，
当时，，即函数在区间上单调递减，
又因为，所以函数在区间上单调递减，
所以D正确.
故选：D.
10、C
【解析】当直线的斜率不存在时，直线显然满足题意；
当直线的斜率存在时，设直线的斜率为
则直线为，即
由到直线的距离等于到直线的距离得：
，
化简得：或（无解），解得
直线的方程为
综上，直线的方程为或
故选

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、80
【解析】频率分布直方图中，先根据小矩形的面积等于这一组的频率求出四与第五组的频率和，再根据条件求出前三组的频数，再依据频率的和等于1，求出前三组的频率，从而求出抽取的男生数，最后按比例求出全校抽取学生数即可
【详解】根据图可知第四与第五组的频率和为（0.0125+0.0375）×5=0.25
∵从左到右前三个小组频率之比1：2：3，第二小组频数为12
∴前三个小组的频数为36，从而男生有人
∵全校男、女生比例为3：2，
∴全校抽取学生数为48× =80
故答案为80
【点睛】本题考查频数，频率及频率分布直方图，考查运用统计知识解决简单实际问题的能力，数据处理能力和运用意识
12、
【解析】计算出一个弓形的面积，由题意可知，勒洛三角形由三个全等的弓形以及一个正三角形构成，利用弓形和正三角形的面积可求得结果.
【详解】由弧长公式可得，可得，
所以，由和线段所围成的弓形的面积为，
而勒洛三角形由三个全等的弓形以及一个正三角形构成，
因此，该勒洛三角形的面积为.
故答案为：.
13、
【解析】根据三角函数周期计算公式得出结果.
【详解】函数的最小正周期是
故答案为：
14、
【解析】利用“1”的变形，结合基本不等式，求的最小值.
【详解】，
当且仅当时，即等号成立，
，解得：，，
所以的最小值是.
故答案为：
15、①③④
【解析】由面面平行的性质判断①；由题设知两段圆弧的长度之和为，即可得上底周长判断②；利用正方体体积及圆锥体积的求法求几何体体积判断③；首先确定外接球球心位置，进而求出球体的半径，即可得F－ABC的外接球的表面积判断④.
【详解】因为面面，面，
所以CG//平面，即CG//平面ADE，①正确；
依题意知，弧EF与弧HG均为圆弧，且这两段圆弧的长度之和为，
所以该几何体的上底面的周长为，该几何体的体积为8－，②错误，③正确；
设M，N分别为下底面、上底面的中心，则三棱锥F－ABC的外接球的球心O在MN上
设OM＝h，则，解得，
从而球O的表面积为，④正确.
故答案为：①③④

16、
【解析】由题意可得，进而解不含参数的一元二次不等式即可求出结果.
【详解】由题意可知，即，所以，因此，
故答案：.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）.
【解析】（1）先根据对称性和周期公式求，选择①，化简，根据对称性利用整理代入法求参数即可；条件②，直接根据对称性，利用整理代入法求参数即可；
（2）先利用辅助角公式，化简函数，再由，得到，即得取值范围.
【详解】解：函数的图象相邻两条对称轴的距离为，
，即，，.
(1)若补充条件①，函数的图象关于原点对称.

即，
，时，，
函数的解析式为；
若补充条件②，函数的图象关于直线对称，
，，
，
，时，，
函数的解析式为；
(2)由(1)得，

，，，
，
函数在上的取值范围是.
18、（1）
（2）不会，理由见解析
【解析】（1）根据已知条件代入具体数据即可求出参数的值，从而确定解析式
（2）将声压级代入解析式求出声压，根据求出叠加后的声压，代入解析式可求出对应的声压级，与45比较大小，判断是否会干扰学习
【小问1详解】
由题意得：，，所以，所以声压级S关于声压P的函数解析式为
【小问2详解】
不会干扰我们正常的学习，理由如下：
将代入得：，所以，解得：，即所以，代入得：，所以不会干扰我们正常的学习.
19、（1）
（2）7
【解析】（1）根据题意，求出MN的中垂线的方程为，分析可得圆心为直线和的交点，联立直线的方程可得圆心的坐标，进而求出圆的半径，由圆的标准方程可得答案；
（2）根据题意，分2种情况讨论：，当直线，，其中一条直线斜率为0时，另一条斜率不存在，分析可得四边形APBQ的面积；，当直线，斜率均存在时，设直线的斜率为k，则方程的方程为，用k表示四边形APBQ的面积，由二次函数分析其最值，综合即可得答案
【小问1详解】
根据题意，点，，则线段MN的中垂线方程为，
圆心为直线和的交点，
则有，解得，所以圆C的圆心坐标为；
半径，
所以圆C的方程为.
【小问2详解】
根据题意，已知、是互相垂直的两条直线，分2种情况讨论：
，当直线，，其中一条直线斜率为0时．另一条斜率不存在
不妨令的斜率为0，此时，
四边形APBQ的面积
，当直线，斜率均存在时，设直线的斜率为
则其方程为，圆心到直线的距离为，
于是，
又的方程为
同理，
所以四边形APBQ的面积
，
当且仅当即时，等号成立
因为
综上所述，四边形APBQ面积的最大值为7
20、（1）
（2），
【解析】（1）根据正弦函数的周期公式即可求出；
（2）根据，求出的范围，即可得到函数的最小值及最大值，列出方程组，即可求a，b
【小问1详解】
由题意可得最小正周期为 ；
【小问2详解】
令，∵，∴，
∴由正弦函数性质得，，
设，
故，，
由，解得，
故， .
21、（Ⅰ），；（Ⅱ）.
【解析】（Ⅰ）过点作，交于点，证明出，从而得出，然后利用向量加法的三角形法则可将和用、表示；
（Ⅱ）计算出、和的值，由得出，且有，然后利用向量数量积的运算律将表示为以为自变量的二次函数，利用二次函数的基本性质可求出的最小值.
【详解】（Ⅰ）如下图所示，过点作，交于点，

由于为等腰梯形，则，且，
，即，又，所以，四边形为平行四边形，
则，所以，为等边三角形，且，
，，
，
；
（Ⅱ），，，
由题意可知，，由得出，
所以，，
，
令，则函数在区间上单调递减，
所以，，因此，的最小值为.
【点睛】本题考查利用基底表示向量，同时也考查了平面向量数量积最值的计算，考查运算求解能力，属于中等题.