广东省肇庆市实验中学2026届高一数学第一学期期末学业质量监测试题含解析.doc

广东省肇庆市实验中学2026届高一数学第一学期期末学业质量监测试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．函数f(x)=|x|+ (aR)的图象不可能是（）
A. B.
C. D.
2．如图，一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的体积为

A.1 B.
C. D.
3．已知定义在上的函数满足，则（）
A. B.
C. D.
4．已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则函数的零点个数为（）
A.20 B.18
C.16 D.14
5．已知，函数在上递减，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
6．函数有（ ）
A.最大值 B.最小值
C.最大值2 D.最小值2
7．直线（为实常数）的倾斜角的大小是
A B.
C. D.
8．三个数的大小关系为（）
A. B.
C. D.
9．已知直线的斜率为1，则直线的倾斜角为
A. B.
C. D.
10．点M(1,4)关于直线l:x-y+1=0对称的点的坐标是（ ）
A.(4,1) B.(3,2)
C.(2,3) D.(-1,6)
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知向量，若，则实数的值为______
12．已知，则________.
13．已知幂函数的图象过点______
14．已知函数，，则它的单调递增区间为______
15．设函数不等于0，若，则________.
16．已知函数是定义在上且以3为周期的奇函数，当时，，则时，__________，函数在区间上的零点个数为 __________
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数过点
（1）求的解析式；
（2）求的值；
（3）判断在区间上的单调性，并用定义证明
18．某兴趣小组要测量钟楼的高度（单位：）.如示意图，垂直放置的标杆的高度为，仰角.

（1）该小组已测得一组的值，算出了，请据此算出的值（精确到）；
（2）该小组分析测得的数据后，认为适当调整标杆到钟楼的距离（单位：），使与之差较大，可以提高测量精度.若钟楼的实际高度为，试问为多少时，最大？
19．近年来，我国大部分地区遭遇雾霾天气，给人们的健康、交通安全等带来了严重影响.经研究发现工业废气等污染物排放是雾霾形成和持续的重要因素，污染治理刻不容缓.为此，某工厂新购置并安装了先进的废气处理设备，使产生的废气经过过滤后排放，以降低对空气的污染.已知过滤过程中废气的污染物数量（单位：mg/L）与过滤时间（单位：h）间的关系为（，均为非零常数，e为自然对数的底数），其中为时的污染物数量.若经过5h过滤后还剩余90%的污染物.
（1）求常数的值；
（2）试计算污染物减少到40%至少需要多长时间.（精确到1h，参考数据：，，，，）
20．某生物研究者于元旦在湖中放入一些风眼莲（其覆盖面积为），这些风眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，二月底测得凤眼莲的覆盖面积为，三月底测得凤眼莲的覆盖面积为，凤眼莲的覆盖面积（单位：）与月份（单位：月）的关系有两个函数模型与）可供选择
（1）试判断哪个函数模型更合适并求出该模型的解析式；
（2）求凤眼莲覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积倍以上的最小月份．（参考数据：，）
21．已知函数，（其中，，）的图象与轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最高点为.
（1）求函数的解析式；
（2）先把函数的图象向左平移个单位长度，然后再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若总存在，使得不等式成立，求实数的最小值.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】对分类讨论，将函数写成分段形式，利用对勾函数的单调性，逐一进行判断图象即可.
【详解】，
① 当时，，图象如A选项；
②当时，时，，
在递减，在递增；
时，，由，单调递减，
所以在上单调递减，故图象为B；
③当时，时，，可得，，在递增，
即在递增，图象为D；
故选：C.
2、D
【解析】由三视图可知：此立体图形是一个底面为等腰直角三角形，一条棱垂直于底面的三棱锥；所以其体积为.故选D.
考点：三视图和立体图形的转化；三棱锥的体积.
3、B
【解析】分别令，，得到两个方程，解方程组可求得结果
【详解】∵，
∴当时，，①，
当时，，②，
，得，解得
故选：B
4、C
【解析】解方程，得或，作出的图象，由对称性只要作的部分，观察的图象与直线和直线的交点的个数即得
【详解】,或
根据函数解析式以及偶函数性质作图象，
当时，.，是抛物线的一段，
当，由
的图象向右平移2个单位，并且将每个点的纵坐标缩短为原来的一半得到，依次得出y轴右侧的图象，根据对称轴可得左侧的结论，
时，，的图象与直线和的交点个数，分别有3个和5个，
∴函数g(x)的零点个数为，
故选：C

【点睛】本题考查函数零点个数，解题方法是数形结合思想方法，把函数零点个数转化为函数图象与直线交点个数，由图象易得结论
5、B
【解析】求出f（x）的单调减区间A，令（，π）⊆A，解出ω的范围
【详解】解：f（x）sin（ωx），
令，解得x，k∈Z
∵函数f（x）sin（ωx）（ω＞0）在（，π）上单调递减，
∴，解得ω2k，k∈Z
∴当k＝0时，ω
故选：B
【点睛】本题考查了三角函数的单调性与单调区间，考查转化能力与计算能力，属于基础题
6、D
【解析】分离常数后，用基本不等式可解.
【详解】（方法1），，则，当且仅当，即时，等号成立.
（方法2）令，，，.
将其代入，原函数可化为，当且仅当，即时等号成立，此时.
故选：D
7、D
【解析】计算出直线的斜率，再结合倾斜角的取值范围可求得该直线的倾斜角.
【详解】设直线倾斜角为，直线的斜率为，所以，
，则.
故选：D.
【点睛】本题考查直线倾斜角的计算，一般要求出直线的斜率，考查计算能力，属于基础题.
8、A
【解析】利用指数对数函数的性质可以判定,从而做出判定.
【详解】因为指数函数是单调增函数，是单调减函数，对数函数是单调减函数，所以，
所以，
故选：A
9、A
【解析】设直线的倾斜角为，则
由直线的斜率，则
故
故选
10、B
【解析】设出关于直线对称点的坐标，利用中点和斜率的关系列方程组，解方程组求得对称点的坐标.
【详解】设关于直线对称点的坐标为，线段的中点坐标为，且在直线上，即①.由于直线的斜率为，所以线段的斜率为②.解由①②组成的方程组得，即关于直线对称点的坐标为.
故选：B
【点睛】本小题主要考查点关于直线的对称点的坐标的求法，考查方程的思想，属于基础题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、；
【解析】由题意得
12、
【解析】利用诱导公式化简等式，可求出的值，将所求分式变形为，在所得分式的分子和分母中同时除以，将所求分式转化为只含的代数式，代值计算即可.
【详解】，，，
因此，.
故答案为：.
【点睛】本题考查利用诱导公式和弦化切思想求值，解题的关键就是求出的值，考查计算能力，属于基础题.
13、3
【解析】利用幂函数的定义先求出其解析式，进而得出答案
【详解】设幂函数为常数，
幂函数的图象过点，，解得

故答案为3
【点睛】本题考查幂函数的定义，正确理解幂函数的定义是解题的关键
14、（区间写成半开半闭或闭区间都对）；
【解析】由得
因为，所以单调递增区间为
15、
【解析】令，易证为奇函数，根据，可得，再根据，由此即可求出结果.
【详解】函数的定义域为，令，
则，即，所以为奇函数；
又，所以，
所以.
故答案为:.
16、 ①. ②.5
【解析】（1）当时，，
∴，
又函数是奇函数，
∴
故当时，
（2）当时，令，得，即，
解得，即，
又函数为奇函数，故可得，且
∵函数是以3为周期的函数，
∴，，
又，
∴
综上可得函数在区间上的零点为，共5个
答案：，5

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）
（3）在区间上单调递增；证明见解析
【解析】（1）直接将点的坐标代入函数中求出，从而可求出函数解析式，
（2）直接利用解析求解即可，
（3）利用单调性的定义直接证明即可
【小问1详解】
∵函数∫过点，∴，
∴，得的解析式为：
【小问2详解】

【小问3详解】
在区间上单调递增
证明：，且，有

∵，
∴
∴，即
∴在区间上单调递增
18、（1）约为
（2）为时，最大
【解析】（1）运用正切三角函数建立等式，再结合题中数据可求解；
（2）由，得到，再运用基本不等式求解.
【小问1详解】
由得，
同理，.
因为，所以，
解得.
因此，算出钟楼的高度约为.
【小问2详解】
由题设知，得，
又
，
当且仅当时，取等号，
故当时，最大.
因为，则，所以当时，最大，
故所求的是.
19、（1）（2）42h
【解析】（1）根据题意，得到，求解，即可得出结果；
（2）根据（1）的结果，得到，由题意得到，求解，即可得出结果.
【详解】（1）由已知得，当时，；当时，.
于是有，解得（或）.
（2）由（1）知，当时，有，
解得.
故污染物减少到40%至少需要42h.
【点睛】本题主要考查函数模型的应用，熟记指数函数的性质即可，属于常考题型.
20、（1）函数模型较为合适，且该函数模型的解析式为；（2）月份.
【解析】（1）根据两个函数模型增长的快慢可知函数模型较为合适，将点、代入函数解析式，求出、的值，即可得出函数模型的解析式；
（2）分析得出，解此不等式即可得出结论.
【详解】（1）由题设可知，两个函数、）在上均为增函数，
随着的增大，函数的值增加得越来越快，
而函数的值增加得越来越慢，
由于风眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，故而函数模型满足要求.
由题意可得，解得，，
故该函数模型的解析式为；
（2）当时，，故元旦放入凤眼莲的面积为，
由，即，故，
由于，故.
因此，凤眼莲覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积倍以上的最小月份是月份.
【点睛】思路点睛：解函数应用题的一般程序：
第一步：审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；
第二步：建模——将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型；
第三步：求模——求解数学模型，得到数学结论；
第四步：还原——将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义；
第五步：反思回顾——对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学解对实际问题的合理性
21、（1）；（2）.
【解析】（1）根据相邻两个交点之间的距离为可求出，由图像上一个最高点为可求出，，从而得到函数的解析式；
（2）根据三角变换法则可得，再求出在上的最小值，利用对数函数的单调性即可求出实数的最小值
【详解】（1）∵，∴，解得.
又函数图象上一个最高点为，
∴，（），∴（），又，
∴，∴
（2）把函数的图象向左平移个单位长度，得到；然后再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，即，
∵，∴，，依题意知，，
∴，即实数的最小值为.