2025年上海市复旦大学附中浦东分校高一上数学期末质量检测模拟试题含解析.doc

2025年上海市复旦大学附中浦东分校高一上数学期末质量检测模拟试题
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．设一个半径为r的球的球心为空间直角坐标系的原点O，球面上有两个点A，B，其坐标分别为（1，2，2），（2，-2，1），则（　　）
A. B.
C. D.
2．已知幂函数在上单调递减，则m的值为（）
A.0 B.1
C.0或1 D.
3．如图，在下列四个正方体中，、为正方体两个顶点，、、为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面 不平行的是（　　）
A. B.
C. D.
4．已知点P(1，a)在角α的终边上，tan＝－则实数a的值是（）
A.2 B.
C.－2 D.－
5．集合用列举法表示是（）
A. B.
C. D.
6．函数的最小值为（ ）
A. B.3
C. D.
7．已知函数f（x）=，若f（a）=f（b）=f（c）且a＜b＜c，则ab+bc+ac的取值范围为（　　）
A. B.
C. D.
8．下列各组函数表示同一函数的是（ ）
A.， B.，
C.， D.，
9．下列函数中，既是偶函数又在上是单调递增的函数是（ ）
A. B.
C. D.
10．从3名男同学，2名女同学中任选2人参加体能测试，则选到的2名同学中至少有一名男同学的概率是（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．用二分法研究函数f(x)=x3+3x-1的零点时，第一次经计算，可得其中一个零点x0∈(0，1)，那么经过下一次计算可得x0∈___________(填区间).
12．若，则__________
13．设函数，若关于的不等式的解集为，则__________
14．已知幂函数的图象过点，则___________.
15．已知，且，则______.
16．已知函数是定义在上的奇函数，且，则________，________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．某产品在出厂前需要经过质检，质检分为2个过程．第1个过程，将产品交给3位质检员分别进行检验，若3位质检员检验结果均为合格，则产品不需要进行第2个过程，可以出厂；若3位质检员检验结果均为不合格，则产品视为不合格产品，不可以出厂；若只有1位或2位质检员检验结果为合格，则需要进行第2个过程．第2个过程，将产品交给第4位和第5位质检员检验，若这2位质检员检验结果均为合格，则可以出厂，否则视为不合格产品，不可以出厂．设每位质检员检验结果为合格的概率均为，且每位质检员的检验结果相互独立
（1）求产品需要进行第2个过程的概率；
（2）求产品不可以出厂的概率
18． (1)计算：lg25+lg2•lg50+lg22
(2)已知=3，求的值
19．已知函数
（1）当时，函数恒有意义，求实数的取值范围；
（2）是否存在这样的实数，使得函数在区间上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出的值；如果不存在，请说明理由
20．已知，且，
（1）求，的值；
（2），求的值
21．对于两个函数：和，的最大值为M，若存在最小的正整数k，使得恒成立，则称是的“k阶上界函数”.
（1）若，是的“k阶上界函数”.求k的值；
（2）已知，设，，.
（i）求的最小值和最大值；
（ii）求证：是的“2阶上界函数”.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】由已知求得球的半径，再由空间中两点间的距离公式求得|AB|，则答案可求
【详解】∵由已知可得r，
而|AB|，
∴|AB|r
故选C
【点睛】本题考查空间中两点间距离公式的应用，是基础题
2、A
【解析】根据幂函数得的定义，求得或，结合幂函数的性质，即可求解.
【详解】由题意，幂函数，可得，解得或，
当时，可得，可得在上单调递减，符合题意；
当时，可得，可得在上无单调性，不符合题意，
综上可得，实数的值为.
故选：A.
3、D
【解析】利用线面平行判定定理可判断A、B、C选项的正误；利用线面平行的性质定理可判断D选项的正误.
【详解】对于A选项，如下图所示，连接，

在正方体中，且，所以，四边形为平行四边形，则，
、分别为、的中点，则，，
平面，平面，平面；
对于B选项，连接，如下图所示：

在正方体中，且，所以，四边形为平行四边形，则，
、分别为、的中点，则，，
平面，平面，平面；
对于C选项，连接，如下图所示：

在正方体中，且，所以，四边形为平行四边形，则，
、分别为、中点，则，，
平面，平面，平面；
对于D选项，如下图所示，连接交于点，连接，连接交于点，

若平面，平面，平面平面，则，
则，
由于四边形为正方形，对角线交于点，则为的中点，
、分别为、的中点，则，且，
则，，
则，又，则，所以，与平面不平行；
故选：D.
【点睛】判断或证明线面平行的常用方法：
（1）利用线面平行的定义，一般用反证法；
（2）利用线面平行的判定定理（，，），其关键是在平面内找（或作）一条直线与已知直线平行，证明时注意用符号语言的叙述；
（3）利用面面平行的性质定理（，）.
4、C
【解析】利用两角和的正切公式得到关于tan α的值，进而结合正切函数的定义求得a的值.
【详解】∵，
∴tan α＝－2，
∵点P(1，a)在角α的终边上，
∴tan α＝＝a，
∴a＝－2.
故选：C.
5、D
【解析】解不等式，结合列举法可得结果.
【详解】.
故选：D
6、C
【解析】运用乘1法，可得，再利用基本不等式求最值即可.
【详解】由三角函数的性质知

当且仅当，即，即，时，等号成立.
故选：C
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
7、D
【解析】画出函数的图象，根据，，互不相等，且（a）（b）（c），我们令，我们易根据对数的运算性质，及，，的取值范围得到的取值范围
【详解】解：作出函数的图象如图，

不妨设，，，，，，
由图象可知，，则，解得，
，则，解得，
，
的取值范围为
故选．
【点睛】本题主要考查分段函数、对数的运算性质以及利用数形结合解决问题的能力，解答的关键是图象法的应用，即利用函数的图象交点研究方程的根的问题，属于中档题．
8、A
【解析】根据相同函数的定义，分别判断各个选项函数的定义域和对应关系是否都相同，即可得出答案.
【详解】解：对于A，两个函数的定义域都是，
，对应关系完全一致，
所以两函数是相同函数，故A符合题意；
对于B，函数的定义域为，
函数的定义域为，
故两函数不是相同函数，故B不符题意；
对于C，函数的定义域为，
函数的定义域为，
故两函数不是相同函数，故C不符题意；
对于D，函数的定义域为，
函数的定义域为，
故两函数不是相同函数，故D不符题意.
故选：A.
9、B
【解析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论．
【详解】根据函数奇偶性和单调性，
A，（0，+∞）上是单调递减，错误
B，偶函数，（0，+∞）上是递增，正确．
C，奇函数，错误，
D，x＞0时，（0，+∞）上是函数递减，错误，
故选：B．
【点睛】根据函数奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键
10、A
【解析】先计算一名男同学都没有的概率，再求至少有一名男同学的概率即可.
【详解】两名同学中一名男同学都没有的概率为，则2名同学中至少有一名男同学的概率是.
故选：A.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】根据零点存在性定理判断零点所在区间.
【详解】，，
所以下一次计算可得.
故答案为：
12、
【解析】先求出的值,然后再运用对数的运算法则求解出和的值,最后求解答案.
【详解】若,则,所以.
故答案为:
【点睛】本题考查了对数的运算法则,熟练掌握对数的各运算法则是解题关键,并能灵活运用法则来解题,并且要计算正确,本题较为基础.
13、
【解析】根据不等式的解集可得、、为对应方程的根，分析两个不等式对应方程的根，即可得解.
【详解】由于满足，即，可得，
所以，，
所以，方程的两根分别为、，
而可化为，即，
所以，方程的两根分别为、，
，且不等式解集为，
所以，，解得，则，因此，.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查一元二次不等式与方程之间的关系，即不等式解集的端点即为对应方程的根，本题在理解、、分别为方程、的根，而两方程含有公共根，进而可得出关于实数的等式，即可求解.
14、##0.25
【解析】设，代入点求解即可.
【详解】设幂函数，
因为的图象过点，
所以，
解得
所以，得
.
故答案为：
15、##
【解析】化简已知条件，求得，通过两边平方的方法求得，进而求得.
【详解】依题意，
①，
，，
化简得①，则，
由，得，，
.
故答案为：
16、 ①.1 ②.0
【解析】根据函数的周期性和奇偶性，结合已知条件，代值计算即可.
【详解】因为满足，且，且其为奇函数，
故；
又，故可得，
又函数是定义在上的奇函数，故，又，
故.
故答案为：1；0.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）
【解析】（1）分在第1个过程中，1或2位质检员检验结果为合格两种情况讨论，根据相互独立事件及互斥事件的概率公式计算可得；
（2）首先求出在第1个过程中，3位质检员检验结果均为不合格的概率，再求出产品需要进行第2个过程，在第2个过程中，产品不可以出厂的概率，最后根据互斥事件的概率公式计算可得；
【小问1详解】
解：记事件A为“产品需要进行第2个过程”
在第1个过程中，1位质检员检验结果为合格的概率，
在第1个过程中，2位质检员检验结果为合格的概率，
故
【小问2详解】
解：记事件B为“产品不可以出厂”
在第1个过程中，3位质检员检验结果均为不合格概率，
产品需要进行第2个过程，在第2个过程中，产品不可以出厂的概率，
故
18、（1）2；（2）9.
【解析】（1）利用对数的性质及运算法则直接求解
（2）利用平方公式得，x+x﹣1＝（）2﹣2＝7，x2+x﹣2＝（x+x﹣1）2﹣2＝49﹣2＝47，代入求解
【详解】(1)lg25+lg2•lg50+lg22
=lg52+lg2(lg5+1)+lg22
=2lg5+lg2•lg5+lg2+lg22
=2lg5+lg2+lg2(lg5+lg2)
=2(lg5+lg2)
=2；
(2)由，得，
即x+2+x-1=9
∴x+x-1=7
两边再平方得：x2+2+x-2=49，
∴x2+x-2=47
∴=
【点睛】本题考查了有理指数幂的运算，考查了对数式化简求值，属于基础题
19、（1）；（2）不存在，理由见解析
【解析】（1）结合题意得到关于实数的不等式组，求解不等式，即可求解，得到答案；
（2）由题意结合对数函数的图象与性质，即可求得是否存在满足题意的实数的值，得到答案
【详解】（1）由题设，对一切恒成立，且，
∵，∴在上减函数，
从而，∴，
∴的取值范围为；
（2）假设存在这样的实数，由题设知，
即，∴，
此时，
当时，，此时没有意义，故这样的实数不存在
【点睛】关键点点睛：本题主要考查了对数函数的图象与性质的应用，以及复数函数的单调性的判定及应用，其中解答中熟记对数函数的图象与性质，合理求解函数的最值，列出方程求解是解答的关键
20、（1）； （2）
【解析】(1)首先可通过二倍角公式以及将转化为，然后带入即可计算出的值，再然后通过以及即可计算出的值；
(2)可将转化为然后利用两角差的正弦公式即可得出结果
【详解】⑴，
因为，，
所以；
⑵因为，，，
所以，

【点睛】本题考查三角函数的相关性质，主要考查三角恒等变换，考查的公式有、、，在使用计算的时候一定要注意角的取值范围
21、（1）；
（2）（i）时，，；时，，；时，，；（ii）证明部分见解析.
【解析】（1）先求，的范围，再求的最大值，利用恒成立问题的方式处理；（2）分类讨论对称轴是否落在上即可；先求的最大值，需观察发现最值在取得，不要尝试用三倍角公式，另外的最大值必定在端点或者在顶点处取得，通过讨论的范围，证明即可
【小问1详解】
时，单调递增，于是，于是
，则最大值为，又恒成立，故
，注意到是正整数，于是符合要求的为.
【小问2详解】
（i）依题意得，为开口向上，对称轴为的二次函数，于是在上递减，在上递增，由于，，下分类讨论：当，即时，，
；当，即时，
，；当，
即当，在上递减，，.
（ii），则，当，即取等号，，，则
，下令
，只需说明时，即可，分类如下：
当时，，且注意到
，此时
，显然时，单调递减，于是；
当，由基本不等式，，且
，，即，此时，而
，时，
由基本不等式，，故有：
综上，时，，即当时，最小正整数
【点睛】本题综合的考查了分类讨论思想，函数值域的求法等问题，特别是观察分析出的最大值，若用三倍角公式反倒会变得更加复杂.