江西省赣州市南康三中、兴国一中2026届高二上数学期末达标检测模拟试题含解析.doc

江西省赣州市南康三中、兴国一中2026届高二上数学期末达标检测模拟试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知中，内角，，的对边分别为，，，，.若为直角三角形，则的面积为（ ）
A. B.
C.或 D.或
2．已知数列满足，，，前项和（）
A. B.
C. D.
3．已知F是双曲线C：的一个焦点，点P在C的渐近线上，O是坐标原点，，则的面积为（ ）
A.1 B.
C. D.
4．如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的表面积为（）

A. B.
C.8 D.12
5．已知双曲线的离心率为5，则其标准方程为()
A. B.
C. D.
6．在正方体中，为棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为
A. B.
C. D.
7．若，则与的大小关系是（）
A. B.
C. D.不能确定
8．若函数既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
9．点到直线的距离为2，则的值为（ ）
A.0 B.
C.0或 D.0或
10．若，则图像上的点的切线的倾斜角满足（）
A.一定为锐角 B.一定为钝角
C.可能为 D.可能为直角
11．为了解义务教育阶段学校对双减政策的落实程度，某市教育局从全市义务教育阶段学校中随机抽取了6所学校进行问卷调查，其中有4所小学和2所初级中学，若从这6所学校中再随机抽取两所学校作进一步调查，则抽取的这两所学校中恰有一所小学的概率是（）
A. B.
C. D.
12．已知双曲线上点到点的距离为15，则点到点的距离为（ ）
A.9 B.6
C.6或36 D.9或21
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知是数列的前n项和，且，则________；数列的通项公式________
14．命题“x≥1，x2 -2x+4≥0”的否定为____________.
15．若x，y满足约束条件，则的最小值为___________.
16．若抛物线上一点到其准线的距离为4，则抛物线的标准方程为___________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）在等差数列中，已知且
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列前项和
18．（12分）写出下列命题的逆命题、否命题以及逆否命题：
（1）若，则；
（2）已知为实数，若，则
19．（12分）已知数列，若_________________
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和
从下列三个条件中任选一个补充在上面的横线上，然后对题目进行求解
①；
②，，；
③，点，在斜率是2的直线上
20．（12分）为增强市民的环境保护意识，某市面向全市征召若干名宣传志愿者，成立环境保护宣传小组，现把该小组的成员按年龄分成、、、、这组，得到的频率分布直方图如图所示，已知年龄在内的人数为.

（1）若用分层抽样的方法从年龄在、、内的志愿者中抽取名参加某社区的宣传活动，再从这名志愿者中随机抽取名志愿者做环境保护知识宣讲，求这名环境保护知识宣讲志愿者中至少有名年龄在内的概率；
（2）在（1）的条件下，记抽取的名志愿者分别为甲、乙，该社区为了感谢甲、乙作为环境保护知识宣讲的志愿者，给甲、乙各随机派发价值元、元、元的纪念品一件，求甲的纪念品不比乙的纪念品价值高的概率.
21．（12分）已知点到两个定点的距离比为
（1）求点的轨迹方程；
（2）若过点的直线被点的轨迹截得的弦长为，求直线的方程
22．（10分）在平面直角坐标系中，设椭圆（）的离心率是e，定义直线为椭圆的“类准线”，已知椭圆C的“类准线”方程为，长轴长为8.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）O为坐标原点，A为椭圆C的右顶点，直线l交椭圆C于E，F两不同点（点E，F与点A不重合），且满足，若点P满足，求直线的斜率的取值范围.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】由正弦定理化角为边后，由余弦定理求得，然后分类讨论：或求解
【详解】由正弦定理，可化为：
，即，
所以，，所以，
又为直角三角形，
若，则，，，，
若，则，，，
故选：C
2、C
【解析】根据，利用对数运算得到，再利用等比数列的前n项和公式求解.
【详解】解：因为，
所以，则，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，
故选：C
3、B
【解析】根据给定条件求出，再利用余弦定理求出即可计算作答.
【详解】双曲线C：中，，其渐近线，它与x轴的夹角为，即，
在中，，由余弦定理得：，
即，整理得：，解得，
所以面积为.
故选：B
4、B
【解析】首先确定几何体的空间结构特征，然后求解其表面积即可.
【详解】由题意知，
该几何体是一个由8个全等的正三角形围成的多面体，
正三角形的边长为：，
正三角形边上的一条高为：，
所以一个正三角形的面积为：，
所以多面体的表面积为：.
故选：B
5、D
【解析】双曲线离心率公式和a、b、c的关系即可求得m，从而得到双曲线的标准方程.
【详解】∵双曲线，
∴，又，∴，
∵离心率为，∴，解得，
∴双曲线方程.
故选：D.
6、C
【解析】利用正方体中，，将问题转化为求共面直线与所成角的正切值，在中进行计算即可.
【详解】在正方体中，，所以异面直线与所成角为，
设正方体边长为，则由为棱的中点，可得，所以，
则.故选C.

【点睛】求异面直线所成角主要有以下两种方法：
（1）几何法：①平移两直线中的一条或两条，到一个平面中；②利用边角关系，找到（或构造）所求角所在的三角形；③求出三边或三边比例关系，用余弦定理求角；
（2）向量法：①求两直线的方向向量；②求两向量夹角的余弦；③因为直线夹角为锐角，所以②对应的余弦取绝对值即为直线所成角的余弦值.
7、B
【解析】由题知，进而研究的符号即可得答案.
详解】解：，
所以，即.
故选：B
8、B
【解析】函数既有极大值又有极小值转化为导函数在定义域上有两个不同的零点.
【详解】因为既有极大值又有极小值，
且，
所以有两个不等的正实数解，
所以，且，解得，且.
故选:B.
9、C
【解析】根据点到直线的距离公式即可得出答案.
【详解】解：点到直线的距离为，
解得或.
故选：C.
10、C
【解析】求出导函数，判断导数的正负，从而得出结论
【详解】，
时，，递减，时，，递增，
而，
所以切线斜率可能为正数，也可能为负数，还可以为0，
则倾斜角可为锐角，也可为钝角，还可以为，
当时，斜率不存在，而存在，则不成立.
故选：C
11、A
【解析】由组合知识结合古典概型概率公式求解即可.
【详解】从这6所学校中随机抽取两所学校的情况共有种，这两所学校中恰有一所小学的情况共有种，则其概率为.
故选：A
12、D
【解析】利用双曲线的定义可得答案.
【详解】设，，，为双曲线的焦点，
则由双曲线定义，知，而
所以或21
故选：D.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、 ①. ②.
【解析】当时，，推导出，从而数列是从第二项起，公比为的等比数列，进而能求出数列的通项公式，即可求得答案.
【详解】为数列的前项和，①
时，②
①②，得：，

，
，
，
数列的通项公式为.
故答案为：；.
14、
【解析】根据还有一个量词的命题的否定的方法解答即可.
【详解】命题“x≥1，x2 -2x+4≥0”的否定为“”.
故答案为：.
15、##
【解析】作出可行域，进而根据z的几何意义求得答案.
【详解】如图，作出可行域，由z的几何意义可知当过点B时取得最小值.

联立，则最小值为.
故答案为：.
16、
【解析】先由抛物线的方程求出准线的方程，然后根据点到准线的距离可求，进而可得抛物线的标准方程.
【详解】抛物线的准线方程为，点到其准线的距离为，
由题意可得，解得，故抛物线的标准方程为.
故答案为：.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）
【解析】（1）由等差数列基本量的计算即可求解；
（2）由裂项相消求和法即可求解.
【小问1详解】
解：由题意，设等差数列的公差为，则,，解得,
；
【小问2详解】
解：，.
18、（1）答案见解析
（2）答案见解析
【解析】（1）（2）根据逆命题、否命题以及逆否命题的定义作答即可；
【小问1详解】
解：逆命题：若，则；
否命题：若，则；
逆否命题：若，则
【小问2详解】
解：逆命题：已知为实数，若，则；
否命题：已知为实数，若或，则；
逆否命题：已知实数，若，则或
19、答案见解析.
【解析】（1）若选①，根据通项公式与前项和的关系求解通项公式即可；
若选②，根据可得数列为等差数列，利用基本量法求解通项公式即可；
若选③，根据两点间的斜率公式可得，可得数列为等差数列进而求得通项公式；
（2）利用裂项相消求和即可
【详解】解：（1）若选①，由，
所以当，，
两式相减可得：，
而在中，令可得：，符合上式，
故
若选②，由（，）可得：数列为等差数列，
又因为，，所以，即，
所以
若选③，由点，在斜率是2的直线上得：，
即，
所以数列为等差数列且
（2）由（1）知：，
所以

20、（1）；
（2）.
【解析】（1）将名志愿者进行编号，列举出所有的基本事件，并确定所求事件所包含的基本事件数，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率；
（2）列举出甲、乙获得纪念品价值的所有情况，并确定所求事件所包含的情况，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.
【小问1详解】
解：因为志愿者年龄在、、内的频率分别为、、，
所以用分层抽样的方法抽取的名志愿者年龄在、、内的人数分别为、、.
记年龄在内的名志愿者分别记为、、，
年龄在的名志愿者分别记为、，年龄在内的名志愿者记为，
则从中抽取名志愿者的情况有、、、、、、、
、、、、、、、，共种可能；
而至少有名志愿者的年龄在内的情况有、、、、、
、、、，共种可能.
所以至少有名志愿者的年龄在内的概率为.
【小问2详解】
解：甲、乙获得纪念品价值的情况有、、、、、
、、、，共种可能；
而甲的纪念品不比乙的纪念品价值高的情况有、、、、
、，共种可能.
故甲的纪念品不比乙的纪念品价值高的概率为.
21、（1）
（2）或
【解析】（1）设出，表达出，直接法求出轨迹方程；（2）在第一问的基础上，先考虑直线斜率不存在时是否符合要求，再考虑斜率存在时，设出直线方程，表达出圆心到直线的距离，利用垂径定理列出方程，求出直线方程.
【小问1详解】
设,则，，故，两边平方得：
【小问2详解】
当直线斜率不存在时，直线为，此时弦长为，满足题意；
当直线斜率存在时，设直线，则圆心到直线距离为，由垂径定理得：，解得：，此时直线的方程为，
综上：直线的方程为或.
22、（1）；（2）.
【解析】（1）由题意列关于，，的方程，联立方程组求得，，，则椭圆方程可求；
（2）分直线轴与直线l不垂直于x轴两种情况讨论，当直线l不垂直于x轴时，设，，直线l：（，），联立直线方程与椭圆方程，消元由，得到，再列出韦达定理，由则，解得，再由，求出的坐标，则，再利用基本不等式求出取值范围；
【详解】解：（1）由题意得：，，又，
联立以上可得：，，，椭圆C的方程为.
（2）由（1）得，当直线轴时，又，联立得，
解得或，所以，此时，直线的斜率为0.
当直线l不垂直于x轴时，设，，直线l：（，），
联立，整理得，
依题意，即（*）且，.
又，

，
，即，且t满足（*），
，，
故直线的斜率，
当时，，当且仅当，即时取等号，此时；
当时，，当且仅当，即时取等号，此时；
综上，直线的斜率的取值范围为.
【点睛】本题考查利用待定系数法求椭圆方程，直线与椭圆的综合应用，属于难题.