2026届福建省福州市师大附中高一数学第一学期期末学业水平测试试题含解析.doc

2026届福建省福州市师大附中高一数学第一学期期末学业水平测试试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．所有与角的终边相同的角可以表示为，其中角（ ）
A.一定是小于90°的角 B.一定是第一象限的角
C.一定是正角 D.可以是任意角
2．不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
3．函数，的最小值是（ ）
A. B.
C. D.
4．下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递减的是（）
A. B.
C. D.
5．函数，则的大致图象是（）
A. B.
C. D.
6．若，则角终边所在象限是　　
A.第一或第二象限 B.第一或第三象限
C.第二或第三象限 D.第三或第四象限
7．已知偶函数的定义域为，当时，，若，则的解集为（）
A. B.
C. D.
8．已知函数，且，，，则的值
A.恒为正 B.恒为负
C.恒为0 D.无法确定
9．已知，，都是实数，则“”是“”的（）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
10．设p：关于x的方程有解；q：函数在区间上恒为正值，则p是q的（）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．函数的图象为，以下结论中正确的是______（写出所有正确结论的编号）.
①图象关于直线对称；
②图象关于点对称；
③由的图象向右平移个单位长度可以得到图象；
④函数在区间内是增函数.
12．命题“，”的否定为____.
13．化简的结果为______.
14．若命题“”为真命题，则的取值范围是______
15．函数定义域为____.
16．函数y=1-sin2x-2sinx的值域是______
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数，其中.
（1）求函数的定义域；
（2）若函数的最大值为2.求a的值.
18．已知函数f(x)＝是奇函数.
（1）求实数m的值；
（2）若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围.
19．设n是不小于3的正整数，集合，对于集合Sn中任意两个元素．定义．若，则称A，B互为相反元素，记作或
（1）若n=3，A=（0，1，0），B=（1，1，0），试写出，，以及A·B的值；
（2）若，证明：；
（3）设k是小于n的正奇数，至少含有两个元素的集合，且对于集合M中任意两个不同的元素，都有，试求集合M中元素个数的所有可能的取值
20．如图，已知，分别是正方体的棱，的中点.求证:平面平面.

21．已知函数
（1）求的最小正周期；
（2）当时，求的最小值以及取得最小值时的集合
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】由终边相同的角的表示的结论的适用范围可得正确选项.
【详解】因为结论与角的终边相同的角可以表示为适用于任意角，所以D正确，
故选：D.
2、D
【解析】化简不等式并求解即可．
【详解】将不等式变形为，解此不等式得或.
因此，不等式解集为
故选：D
【点睛】本题考查一元二次不等式解法，考查学生计算能力，属于基础题．
3、D
【解析】利用基本不等式可求得的最小值.
【详解】，
当且仅当时，即当时，等号成立，
故函数的最小值为.
故选：D.
4、D
【解析】依次判断4个选项的单调性及奇偶性即可.
【详解】对于A，在区间上单调递增，错误；
对于B，，由得，单调递增，错误；
对于C，当时，没有意义，错误；
对于D，为偶函数，且在时，单调递减，正确.
故选：D.
5、D
【解析】判断奇偶性，再利用函数值的正负排除三个错误选项，得正确结论
【详解】，为偶函数，排除BC，
又时，，时，，排除A，
故选：D
6、D
【解析】利用同角三角函数基本关系式可得，结合正切值存在可得角终边所在象限
【详解】，且存在，
角终边所在象限是第三或第四象限
故选D
【点睛】本题考查三角函数的象限符号，是基础题
7、D
【解析】先由条件求出参数，得到在上的单调性，结合和函数为偶函数进行求解即可.
【详解】因为为偶函数，所以，解得.
在上单调递减，且.
因为，所以，解得或.
故选：D
8、A
【解析】根据题意可得函数是奇函数，且在上单调递增．然后由，
可得，结合单调性可得，所以，以上三式两边分别相加后可得结论
【详解】由题意得，
当时，，于是
同理当时，可得，
又，
所以函数是上的奇函数
又根据函数单调性判定方法可得在上为增函数
由，
可得，
所以，
所以，
以上三式两边分别相加可得，
故选A.
【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的判断及应用，考查函数性质的应用，具有一定的综合性和难度，解题的关键是结合题意得到函数的性质，然后根据单调性得到不等式，再根据不等式的知识得到所求
9、B
【解析】利用充分、必要条件的定义，结合不等式的性质判断题设条件间的推出关系，即可知条件间的充分、必要关系.
【详解】当时，若时不成立；
当时，则必有成立，
∴“”是“”的必要不充分条件.
故选：B
10、B
【解析】先化简p,q，再利用充分条件和必要条件的定义判断.
【详解】因为方程有解,即方程有解，
令，则，即；
因为函数在区间上恒为正值，
所以在区间上恒成立，即在区间上恒成立，
解得，
所以p是q的必要不充分条件，
故选：B

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、①②④
【解析】利用整体代入的方式求出对称中心和对称轴，分析单调区间，利用函数的平移方式检验平移后的图象.
【详解】由题意，，令，，
当时，即函数的一条对称轴，所以①正确；
令，，当时，，所以是函数的一个对称中心，所以②正确；
当，，在区间内是增函数，所以④正确；
的图象向右平移个单位长度得到，与函数不相等，所以③错误.
故答案为：①②④.
12、，
【解析】利用全称量词命题的否定可得出结论.
【详解】命题“，”为全称量词命题，该命题的否定为“，”.
故答案为：，.
13、0
【解析】由对数的运算求解即可.
【详解】
故答案为：
14、
【解析】依题意可得恒成立，则，得到一元二次不等式，解得即可；
【详解】解：依题意可得，命题等价于恒成立，
故只需要解得，即
故答案为：
15、∪
【解析】根据题意列出满足的条件，解不等式组
【详解】由题意得，即，解得或，从而函数的定义域为∪.
故答案为：∪.
16、 [-2，2]
【解析】利用正弦函数的值域，二次函数的性质，求得函数f（x）的值域，属于基础题
【详解】∵sinx∈[-1，1]，∴函数y=1-sin2x-2sinx=-（sinx+1）2+2，故当sinx=1时，函数f（x）取得最小值为-4+2=-2，当sinx=-1时，函数f（x）取得最大值为2，故函数的值域为[-2，2]，故答案为[-2，2]
【点睛】本题主要考查正弦函数的值域，二次函数的性质，属于基础题

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）.
【解析】（1）根据对数的性质进行求解即可；
（2）根据对数的运算性质，结合配方法、对数复合函数的单调性进行求解即可.
【详解】（1）要使函数有意义，则有，
解得，
所以函数的定义域为.
（2）函数可化.
因为，所.
因，所以，
即，
由，解得.
18、（1）2；（2）(1，3].
【解析】（1）根据函数是奇函数求得的解析式，比照系数，即可求得参数的值；
（2）根据分段函数的单调性，即可列出不等式，即可求得参数的范围.
【详解】（1）设x＜0，则－x＞0，
所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.
又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x).
于是当x＜0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，
所以m＝2.
（2）要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，结合f(x)的图象

知所以1＜a≤3，
故实数a的取值范围是(1，3].
【点睛】本题考查利用奇偶性求参数值，以及利用函数单调性求参数范围，属综合基础题.
19、（1）
（2）证明见解析（3）集合M中元素的个数只可能是2
【解析】（1）根据定义直接求解即可；
（2）设，进而结合题意得，，再计算即可；
（3）假设为集合M中的三个不相同的元素，进而结合题意，推出矛盾，得出假设不成立，即集合M中至多有两个元素，且时符合题意，故集合M中元素的个数只可能是2
【小问1详解】
解：因为若，则称A，B互为相反元素，记作或，
所以，
所以.
【小问2详解】
解：设，
由，可得
所以，
当且仅当，即时上式“=”成立
由题意可知
即
所以

【小问3详解】
解：解法1：假设为集合M中的三个不相同的元素
则
即
又由题意可知或1，i=1，2，，n
恰有k个1，与n－k个0
设其中k个等于1项依次为
n－k个等于0的项依次为
由题意可知
所以，
同理
所以
即
因为
由（2）可知
因为
所以，
设，由题意可知.
所以，得与为奇数矛盾
所以假设不成立，即集合M中至多有两个元素
当时符合题意
所以集合M中元素的个数只可能是2
解法2：假设为集合M中的三个不相同的元素
则
即
又由题意可知
恰有k个1，与n－k个0
设其中k个等于1的项依次为
n－k个等于0的项依次
由题意可知
所以①
同理②
因为
所以，
①—②得
又因为为奇数
与矛盾
所以假设不成立，即集合M中至多有两个元素
当时符合题意
所以集合M中元素的个数只可能是2
【点睛】关键点点睛：本题第三问解题的关键在于利用反证法证明当为集合M中的三个不相同的元素时，结合题意推出与为奇数矛盾，进而得集合M中至多有两个元素，再举例当时符合题意即可.
20、见解析
【解析】取的中点，连接、，则，进一步得到四边形为平行四边形，同理得到四边形为平行四边形，结合线面平行的判定即可得到结果.
【详解】证明:取的中点，连接、.
因为、分别为、的中点，.
四边形为平行四边形..
、分别为、的中点，∴，
∴四边形为平行四边形，∴，∴.
∵平面，平面，
平面
又，平面平面.
【点睛】本题主要考查面面平行的判定，属于基础题型.
21、（1），（2），时
【解析】（1）先利用同角平方关系及二倍角公式，辅助角公式进行化简，即可求解；
（2）由的范围先求出的范围，结合余弦函数的性质即可求解
【详解】解：（1），
，
，
，
故的最小正周期；
（2）由可得，，
当得即时，函数取得最小值．所以，时