湖南省桃江县第一中学2025-2026学年高二上数学期末联考模拟试题含解析.doc

湖南省桃江县第一中学2025-2026学年高二上数学期末联考模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1． “，”的否定是　　
A.， B.，
C.， D.，
2．若椭圆的短轴为,一个焦点为,且为等边三角形的椭圆的离心率是
A. B.
C. D.
3．函数区间上有（ ）
A.极大值为27，极小值为-5 B.无极大值，极小值为-5
C.极大值为27，无极小值 D.无极大值，无极小值
4．已知圆的半径为，平面上一定点到圆心的距离，是圆上任意一点.线段的垂直平分线和直线相交于点，设点在圆上运动时，点的轨迹为，当时，轨迹对应曲线的离心率取值范围为（）
A. B.
C. D.
5．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为
A. B.
C. D.
6．函数图象如图所示,则的解析式可以为

A. B.
C. D.
7．动点P，Q分别在抛物线和圆上，则的最小值为（）
A. B.
C. D.
8．南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中有如下俯视图所示的几何体，后人称之为“三角垛”.其最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，则第十层球的个数为（）

A.45 B.55
C.90 D.110
9．平面上动点到点的距离与它到直线的距离之比为，则动点的轨迹是（ ）
A.双曲线 B.抛物线
C.椭圆 D.圆
10．已知，若，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
11．已知圆：，点，则点到圆上点的最小距离为（）
A.1 B.2
C. D.
12．若实数满足，则点不可能落在（）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．生活中有这样的经验：三脚架在不平的地面上也可以稳固地支撑一部照相机.这个经验用我们所学的数学公理可以表述为___________.
14．若函数解析式，则使得成立的的取值范围是___________.
15．已知曲线，则以下结论正确的是______.①曲线C关于点对称；②曲线C关于y轴对称；③曲线C被x轴所截得的弦长为2；④曲线C上的点到原点距离都不超过2.
16．已知数列满足下列条件：①数列是等比数列；②数列是单调递增数列；③数列的公比满足.请写出一个符合条件的数列的通项公式__________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）公差不为0的等差数列中，，且成等比数列
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前n项和为．若，求的取值范围
18．（12分）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点.

(1) 证明：PB∥平面AEC
(2) 设二面角D-AE-C为60°，AP=1，AD=，求三棱锥E-ACD的体积
19．（12分）已知椭圆（）的离心率为，一个焦点为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设为原点，直线（）与椭圆交于不同的两点，且与x轴交于点，为线段的中点，点关于轴的对称点为.证明：是等腰直角三角形.
20．（12分）已知函数
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数有两个零点，，证明：
21．（12分）已知函数.
（1）若函数的图象在处的切线方程为，求的值；
（2）若函数在上是增函数，求实数的最大值.
22．（10分）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
求A和B的大小；
若M，N是边AB上的点，，求的面积的最小值
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】通过命题的否定的形式进行判断
【详解】因为全称命题的否定是特称命题，故“， ”的否定是“， ”.
故选D.
【点睛】本题考查全称命题的否定，属基础题.
2、B
【解析】因为为等边三角形,所以.
考点：椭圆的几何性质.
点评：椭圆图形当中有一个特征三角形，它的三边分别为a,b,c.因而可据此求出离心率.
3、B
【解析】求出得出的单调区间，从而可得答案.
【详解】
当时，，单调递减.
当时，，单调递增.
所以当时，取得极小值，极小值为，无极大值.
故选：B
4、D
【解析】分点A在圆内，圆外两种情况，根据中垂线的性质，结合椭圆、双曲线的定义可判断轨迹，再由离心率计算即可求解.
【详解】当A在圆内时，如图，

,
所以的轨迹是以O，A为焦点的椭圆，其中，
，此时，，.
当A在圆外时，如图 ，

因为，
所以轨迹是以O，A为焦点的双曲线，其中，
，此时，，.
综上可知，.
故选：D
5、A
【解析】每个同学参加的情形都有3种，故两个同学参加一组的情形有9种，而参加同一组的情形只有3种，所求的概率为p=选A
6、A
【解析】利用排除法：
对于B,令得,,即有两个零点，不符合题意；
对于C,当时，，
当且仅当时等号成立，即函数在区间上存在最大值，不符合题意；
对于D,的定义域为，不符合题意；
本题选择A选项.
点睛：函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项
7、B
【解析】设，根据两点间距离公式，先求得P到圆心的最小距离，根据圆的几何性质，即可得答案.
【详解】设，圆化简为，即圆心为（0,4），半径为，
所以点P到圆心的距离，
令，则，
令，，为开口向上，对称轴为的抛物线，
所以的最小值为，
所以，
所以的最小值为.
故选：B
8、B
【解析】根据题意，发现规律并将规律表达出来，第层有个球.
【详解】根据规律，可以得知：第一层有个球；第二层有个球；第三层有个球，则根据规律可知：第层有个球
设第层的小球个数为，则有：
故第十层球的个数为：
故选：
9、A
【解析】设点，利用距离公式化简可得出点的轨迹方程，即可得出动点的轨迹图形.
【详解】设点，由题意可得，
化简可得，即，曲线为反比例函数图象，
故动点的轨迹是双曲线.
故选：A.
10、C
【解析】根据题意，由为原点到直线上点的距离的平方，再根据点到直线垂线段最短，即可求得范围.
【详解】由，，
视为原点到直线上点的距离的平方，
根据点到直线垂线段最短，
可得，
所有的取值范围为，
故选：C.
11、C
【解析】写出圆的圆心和半径，求出距离的最小值，
再结合圆外一点到圆上点的距离最小值的方法即可求解.
【详解】由圆：，得圆，半径为，
所以
，
所以点到圆上点的最小距离为.
故选：C.
12、B
【解析】作出给定的不等式组表示的平面区域，观察图形即可得解.
【详解】因实数满足，作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分，

观察图形知，阴影区域不过第二象限，即点不可能落在第二象限.
故选：B

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、不在同一直线上的三点确定一个平面
【解析】根据题意结合平面公理2即可得出答案.
【详解】解：根据题意可知，三脚架与地面接触的三个点不在同一直线上，
则为数学中的平面公理2：不在同一直线上的三点确定一个平面.
故答案为：不在同一直线上的三点确定一个平面.
14、
【解析】由题意先判断函数为偶函数，再利用的导函数判断在上单调递增，根据偶函数的对称性得上单调递减.要使成立，即，解不等式即可得到答案.
【详解】，，为偶函数，当时，，故函数在上单调递增.为偶函数，在上单调递减.要使成立，即.
故答案为：.
15、②④
【解析】将x换成,将y换成,若方程不变则关于原点对称；将x换成，曲线的方程不变则关于y轴对称；令通过解方程即可求得被x轴所截得的弦长；利用基本不等式即可判断出曲线C上y轴右侧的点到原点距离是否不超过2，根据曲线C关于y轴对称，即可判断出曲线C上的点到原点距离是否都不超过2.
【详解】对于①，将x换成,将y换成,方程改变，则曲线C关于点不对称，故①错误；
对于②，将x换成，曲线的方程不变，则曲线C关于y轴对称，故②正确；
对于③，令得，，解得，即曲线C与x轴的交点为和，则曲线C被x轴所截得的弦长为，故③错误；
对于④，当时，，可得，当且仅当时取等号，即，则，即曲线C上y轴右侧的点到原点的距离都不超过2，此曲线关于y轴对称，即曲线C上y轴左侧的点到原点的距离也不超过2，故④正确；
故答案为：②④.
16、（答案不唯一）
【解析】根据题意判断数列特征，写出一个符合题意的数列的通项公式即可.
【详解】因为数列是等比数列，数列是单调递增数列，数列公比满足，
所以等比数列公比，且各项均为负数，
符合题意的一个数列的通项公式为.
故答案为：（答案不唯一）

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）
【解析】（1）利用等比数列的定义以及等差数列的性质，列出方程即可得到答案；
（2）先求出的通项，再利用的单调性即可得到的最小值，从而求得的取值范围
【小问1详解】
依题意，，，所以，
设等差数列的公差为，则，
解得，
所以
【小问2详解】
，则数列是递增数列，
，
所以，
若，则.
18、
【解析】（Ⅰ）连接BD交AC于O点，连接EO，只要证明EO∥PB，即可证明PB∥平面AEC；（Ⅱ）延长AE至M连结DM，使得AM⊥DM，说明∠CMD=60°，是二面角的平面角，求出CD，即可三棱锥E-ACD的体积
试题解析：(1)证明：连接BD交AC于点O，连接EO.
因为ABCD为矩形，所以O为BD中点
又E为PD的中点，所以EO∥PB.
因为EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，
所以PB∥平面AEC.
(2)因为PA⊥平面ABCD，ABCD为矩形，
所以AB，AD，AP两两垂直
如图，以A为坐标原点，，AD，AP的方向为x轴y轴z轴的正方向，||为单位长，建立空间直角坐标系A­xyz，则D，E，＝.

设B(m，0，0)(m>0)，则C(m，，0)，＝(m，，0)
设n1＝(x，y，z)为平面ACE的法向量，
则即
可取n1＝.
又n2＝(1，0，0)为平面DAE的法向量，
由题设易知|cos〈n1，n2〉|＝，即
＝，解得m＝.
因为E为PD的中点，所以三棱锥E­ACD的高为.三棱锥E­ACD的体积V＝××××＝.
考点：二面角的平面角及求法；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定
19、（1）
（2）证明见解析.
【解析】（1）由题知，进而结合求解即可得答案；
（2）设点，，进而联立并结合题意得或，进而结合韦达定理得，再的中点为，证明，进而得，，故，综合即可得证明.
【小问1详解】
解：因为椭圆的离心率为，一个焦点为
所以，所以
所以椭圆的方程为.
【小问2详解】
解：设点，则点,
所以联立方程得，
所以有，解得，
因为，故或
设，
所以
设向量，
所以
，
所以，即，
设的中点为，则
所以，
又因为，所以，
所以，
因为点关于轴的对称点为.
所以，
所以，
所以是等腰直角三角形.
20、（1）函数的单调性见解析；
（2）证明见解析.
【解析】(1)求出函数的导数，按a值分类讨论判断的正负作答.
(2)将分别代入计算化简变形，再对所证不等式作等价变形，构造函数，借助函数导数推理作答.
【小问1详解】
已知函数的定义域为，，
当时，恒成立，所以在区间上单调递增；
当时，由，解得，由，解得，
的单调递增区间为，单调递减区间为，
所以，当时，在上单调递增，当时，在上单调递增，在上单调递减.
【小问2详解】
依题意，不妨设，则，，
于是得，即，
亦有，即，
因此，，
要证明，即证，
即证，
即证，即证，
令，，，
则有在上单调递增，，，即成立，
所以.
【点睛】思路点睛：涉及双变量的不等式证明问题，将所证不等式等价转化，构造新函数，再借助导数探讨函数的单调性、极(最)值问题处理.
21、（1）；（2）.
【解析】（1）先对函数求导，再根据在处的切线斜率可得到参数的值，然后代入，求出的值，则即可得出；
（2）根据函数在上是增函数，可得，即恒成立，再进行参变分离，构造函数，对进行求导分析，找出最小值，即实数的最大值
【详解】解：（1）由题意，函数.
故，
则，
由题意，知，即.
又，则.
，即.
.
（2）由题意，可知，即恒成立，
恒成立.
设，则.
令，解得.
令，解得.
令，解得x.
在上单调递减，在上单调递增，在处取得极小值.
.
，
故的最大值为.
【点睛】本题主要考查利用某点处的一阶导数分析得出参数的值，参变量分离方法的应用，不等式的计算能力．本题属中档题
22、（1），（2）
【解析】利用正余弦定理化简即求解A和B的大小
利用正弦定理把CN、CM表示出来，结合三角函数的性质，即可求解的面积的最小值
【详解】解：，
由正弦定理得：，
，，
可得，即;

,
由
由余弦定理可得：，
，

如图所示:

设，,
在中由正弦定理,得,
由可知,,
所以:,
同理,
由于,
故，此时
故的面积的最小值为
【点睛】本题考查了正余弦定理的应用，三角函数的有界限求解最值范围，考查了推理能力与计算能力，属于中档题