西安市航空六一八中学2025年高二数学第一学期期末综合测试模拟试题含解析.doc

西安市航空六一八中学2025年高二数学第一学期期末综合测试模拟试题
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．某企业甲车间有200人，乙车间有300人，现用分层抽样的方法在这两个车间中抽取25人进行技能考核，则从甲车间抽取的人数应为（）
A.5 B.10
C.8 D.9
2．已知椭圆的一个焦点坐标为，则的值为（）
A. B.
C. D.
3．若直线先向右平移一个单位，再向下平移一个单位，然后与圆相切，则c的值为（ ）
A.8或-2 B.6或-4
C.4或-6 D.2或-8
4．《周髀算经》中有这样一个问题：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，立春当日日影长为9.5尺，立夏当日日影长为2.5尺，则冬至当日日影长为（）
A.12.5尺 B.13尺
C.13.5尺 D.14尺
5．已知在一次降雨过程中，某地降雨量（单位：mm）与时间t（单位：min）的函数关系可表示为，则在时的瞬时降雨强度为（）mm/min.
A. B.
C.20 D.400
6．已知函数，则的单调递增区间为（）.
A. B.
C. D.
7．如图，平行六面体中，为的中点，，，，则（）

A. B.
C. D.
8．与直线关于轴对称的直线的方程为（）
A. B.
C. D.
9．已知是上的单调增函数，则的取值范围是
A.﹣1b2 B.﹣1b2
C.b﹣2或b2 D.b﹣1或b2
10．设、分别是椭圆（）的左、右焦点，过的直线l与椭圆E相交于A、B两点，且，则的长为（）
A. B.1
C. D.
11．若两定点A，B的距离为3，动点M满足，则M点的轨迹围成区域的面积为（ ）
A. B.
C. D.
12．在平形六面体中，其中，，，，，则的长为（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布（），若ξ在内取值的概率为0.4，则ξ在内取值的概率为______
14．从10名大学毕业生中选3个人担任村主任助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选不同选法的种数为___________.
15．将车行的30辆大巴车编号为01，02，…，30，采用系统抽样方法抽取一个容量为3的样本，且在某组随机抽得的一个号码为08，则剩下的两个号码依次是__________（按号码从小到大排列）
16．抛物线的焦点到准线的距离是______.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数，求函数在上的最大值与最小值.
18．（12分）圆过点A(1，－2)，B(－1，4)，求：
（1）周长最小的圆的方程；
（2）圆心在直线2x－y－4＝0上的圆的方程
19．（12分）共享电动车（sharedev）是一种新的交通工具，通过扫码开锁，实现循环共享.某记者来到中国传媒大学探访，在校园喷泉旁停放了10辆共享电动车，这些电动车分为荧光绿和橙色两种颜色，已知从这些共享电动车中任取1辆，取到的是橙色的概率为，若从这些共享电动车中任意抽取3辆.
（1）求取出的3辆共享电动车中恰好有一辆是橙色的概率；
（2）求取出的3辆共享电动车中橙色的电动车的辆数X的分布列与数学期望.
20．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：y2= 4x经过点A（1，2），直线l：y= kx+ b与抛物线C交于M，N两点.

（1）若，求直线l的方程；
（2）当AM⊥AN时，若对任意满足条件的实数k，都有b=mk+n（m，n为常数），求m+2n的值.
21．（12分）已知各项均为正数的等比数列的前n项和为，且，
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和
22．（10分）国家助学贷款由国家指定的商业银行面向在校全日制高等学校经济困难学生发放.用于帮助他们支付在校期间的学习和日常生活费.从年秋季学期起，全日制普通本专科学生每人每年申请贷款额度由不超过元提高至不超过元，助学贷款偿还本金的宽限期从年延长到年.假如学生甲在本科期间共申请到元的助学贷款，并承诺在毕业后年内还清，已知该学生毕业后立即参加工作，第一年的月工资为元，第个月开始，每个月工资比前一个月增加直到元，此后工资不再浮动.
（1）学生甲参加工作后第几个月的月工资达到元；
（2）如果学生甲从参加工作后的第一个月开始，每个月除了偿还应有的利息外，助学贷款的本金按如下规则偿还：前个月每个月偿还本金元，第个月开始到第个月每个月偿还的本金比前一个月多元，第个月偿还剩余的本金.则他第个月的工资是否足够偿还剩余的本金.
（参考数据：；；）
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】根据分层抽样的定义即可求解.
【详解】从甲车间抽取的人数为人
故选：B
2、B
【解析】根据题意得到得到答案.
【详解】椭圆焦点在轴上，且，故.
故选：B.
3、A
【解析】求出平移后的直线方程，再利用直线与圆相切并借助点到直线距离公式列式计算作答.
【详解】将直线先向右平移一个单位，再向下平移一个单位所得直线方程为，
因直线与圆相切，从而得，即，解得或，
所以c的值为8或-2.
故选：A
4、B
【解析】设十二节气自冬至日起的日影长构成的等差数列为，利用等差数列的性质即可求解.
【详解】设十二节气自冬至日起的日影长构成的等差数列为，则立春当日日影长为，立夏当日日影长为，故
所以冬至当日日影长为.
故选：B
5、B
【解析】对题设函数求导，再求时对应的导数值，即可得答案.
【详解】由题设，，则，
所以在时的瞬时降雨强度为 mm/min.
故选：B
6、D
【解析】利用导数分析函数单调性
【详解】的定义域为，，令，解得
故的单调递增区间为
故选：D
7、B
【解析】先用向量与表示，然后用向量表示向量与，即可得解
【详解】解：为的中点，

故选：
【点睛】本题考查了平面向量基本定理的应用，解决本题的关键是熟练运用向量的加法、减法及实数与向量的积的运算，属于基础题
8、D
【解析】点关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数，据此即可求解.
【详解】设(x，y)是与直线关于轴对称的直线上任意一点，
则(x，－y)在上，故，
∴与直线关于轴对称的直线的方程为.
故选：D.
9、A
【解析】利用三次函数的单调性，通过其导数进行研究，求出导数，利用其导数恒大于0即可解决问题
【详解】∵
∴
∵函数是上的单调增函数
∴在上恒成立
∴，即.
∴
故选A.
【点睛】可导函数在某一区间上是单调函数，实际上就是在该区间上（或）（在该区间的任意子区间都不恒等于0）恒成立，然后分离参数，转化为求函数的最值问题，从而获得参数的取值范围，本题是根据相应的二次方程的判别式来进行求解.
10、C
【解析】由椭圆的定义得：，，结合条件可得，即可得答案.
【详解】由椭圆的定义得：，，
又，，所以，
由椭圆知，所以.
故选：C
11、D
【解析】以点A为坐标原点，射线AB为x轴的非负半轴建立直角坐标系，求出点M的轨迹方程即可计算得解.
【详解】以点A为坐标原点，射线AB为x轴的非负半轴建立直角坐标系，如图，设点，

则，化简并整理得：，
于是得点M的轨迹是以点为圆心，2为半径的圆，其面积为，
所以M点的轨迹围成区域的面积为.
故选：D
12、B
【解析】根据空间向量基本定理、加法的运算法则，结合空间向量数量积的运算性质进行求解即可.
【详解】因为是平行六面体，
所以，
所以有：，
因此有：
，
因为，，，，，
所以，
所以，
故选：B

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、4##
【解析】根据正态分布曲线的对称性求解
【详解】因为ξ服从正态分布（），即正态分布曲线的对称轴为，根据正态分布曲线的对称性，可知ξ在与取值的概率相同，所以ξ在内取值的概率为0.4.
故答案为：0.4
14、49
【解析】丙没有入选，相当于从9个人中选3人，分为两种情况：甲乙两人只有一人入选；甲乙两人都入选，分别求出每种情况的选法数，再利用分类加法计数原理即可得解.
【详解】丙没有入选，把丙去掉，相当于从9个人中选3人，
甲、乙至少有1人入选，分为两种情况：甲乙两人只有一人入选；甲乙两人都入选.
甲乙两人只有一人入选，选法有种；
甲乙两人都入选，选法有种.
所以，满足题意的选法共有种.
故答案为：49.
【点睛】本题考查组合的应用，其中涉及到分类加法计数原理，属于中档题.一些常见类型的排列组合问题的解法：
（1）特殊元素、特殊位置优先法
元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；
位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置；
（2）分类分步法：对于较复杂的排列组合问题，常需要分类讨论或分步计算，一定要做到分类明确，层次清楚，不重不漏；
（3）间接法（排除法），从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法；
（4）捆绑法：某些元素必相邻的排列，可以先将相邻的元素“捆成一个”元素，与其它元素进行排列，然后再给那“一捆元素”内部排列；
（5）插空法：某些元素不相邻的排列，可以先排其它元素，再让不相邻的元素插空；
（6）去序法或倍缩法；
（7）插板法：个相同元素，分成组，每组至少一个的分组问题.把个元素排成一排，从个空中选个空，各插一个隔板，有；
（8）分组、分配法：有等分、不等分、部分等分之别.
15、18，28
【解析】根据等距抽样的性质确定剩下的两个号码即可.
【详解】由于从30辆大巴车中抽取3辆车，故分组间距为10，又第一组的号码为08，
所以其它两个号码依次是18，28
故答案为：18，28.
16、4
【解析】由y2＝2px＝8x知p＝4，又焦点到准线的距离就是p，所以焦点到准线的距离为4.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、最大值为，最小值为
【解析】利用导数可求得的单调性，进而可得极值，比较极值和端点值的大小即可求解.
【详解】由可得：，
则当时，；当时，；
所以在上单调递减，在上单调递增，
，
又因为，，
所以，
综上所述：函数在上的最大值为，最小值为.
18、（1）x2＋(y－1)2＝10；（2）(x－3)2＋(y－2)2＝20.
【解析】（1）根据当AB为直径时，过A，B的圆的半径最小进行求解即可；
（2）根据垂径定理，通过解方程组求出圆心坐标，进而可以求出圆的方程.
【详解】解：（1）当AB为直径时，过A，B的圆的半径最小，从而周长最小，即AB中点(0，1)为圆心，半径r＝|AB|＝.故圆的方程为x2＋(y－1)2＝10；
（2）由于AB的斜率为k＝－3，则AB的垂直平分线的斜率为，
AB的垂直平分线的方程是y－1＝x，即x－3y＋3＝0.
由解得
即圆心坐标是C(3，2)
又r＝|AC|＝＝2.
所以圆的方程是(x－3)2＋(y－2)2＝20.
19、（1）；
（2）分布列见解析，数学期望为.
【解析】（1）先求出两种颜色的电动车各有多少辆，然后根据超几何分布求概率的方法即可求得答案；
（2）先确定X的所有可能取值，进而求出概率并列出分布列，然后根据期望公式求出答案.
【小问1详解】
因为从10辆共享电动车中任取一辆，取到橙色的概率为0.4，所以橙色的电动车有4辆，荧光绿的电动车有6辆.
记A为“从中任取3辆共享单车中恰好有一辆是橙色”，则.
【小问2详解】
随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.
所以，，
，.
所以分布列为

0
1
2
3

数学期望.
20、（1）
（2）3或
【解析】（1）由可得，则可得直线为，设，然后将直线方程代入抛物线方程中消去，再利用根与系数的关系，由可得，三个式子结合可求出，从而可得直线方程，
（2）将直线方程代入抛物线方程中消去，再利用根与系数的关系表示出，再结合直线方程表示出，由AM⊥AN可得，化简结合前面的式子可求出或，从而可可求出的值，进而可求得答案
【小问1详解】
因为A（1，2），，
所以，
则直线为，设，
由，得，
由，得
则，
因为，所以，
所以，
所以，
所以，解得，
所以直线的方程为，即，
【小问2详解】
设，由，得，
由，得，
则，
所以，
，
因为AM⊥AN，所以，
所以，
即，
所以，
所以，
所以或，
所以或，
所以或
21、（1）
（2）
【解析】（1）由等比数列的前项和公式，等比数列的基本量运算列方程组解得和公比后可得通项公式；
（2）用错位相减法求得和
【小问1详解】
设数列的公比为q，由，，
得，解之得所以；
【小问2详解】
，
又，得，
，
两式作差，得
，
所以
22、（1）；
（2）不能，理由见解析.
【解析】（1）设甲参加工作后第个月的月工资达到元，根据已知条件可得出关于的不等式，结合参考数据可求得结果；
（2）分析可知从第个月开始到第个月偿还的本金是首项为为首项，以为公差的等差数列，计算出甲前个月偿还的本金，再由甲第个月的工资可得出结论.
【小问1详解】
解：设甲参加工作后第个月的月工资达到元，
则，可得，，解得，
所以，学生甲参加工作后第个月的月工资达到元.
【小问2详解】
解：因为甲前个月每个月偿还本金元，第个月开始到第个月每个月偿还的本金比前一个月多元，
所以，从第个月开始到第个月偿还的本金是首项为为首项，以为公差的等差数列，
所以，前个月偿还的本金为，
因为第个月开始，每个月工资比前一个月增加直到元，
所以，第个月的工资为元，
因为，因此，甲第个月的工资不能足够偿还剩余的本金.