安徽省马鞍山市含山中学2025-2026学年高一上数学期末统考模拟试题含解析.doc

安徽省马鞍山市含山中学2025-2026学年高一上数学期末统考模拟试题
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．纳皮尔是苏格兰数学家，其主要成果有球面三角中纳皮尔比拟式、纳皮尔圆部法则（1614）和纳皮尔算筹（1617），而最大贡献是对数的发明，著有《奇妙的对数定律说明书》，并且发明了对数尺，可以利用对数尺查询出任意一对数值.现将物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是（℃），空气的温度是（℃），经过t分钟后物体的温度T（℃）可由公式得出，如温度为90℃的物体，放在空气中冷却2.5236分钟后，物体的温度是50℃，若根据对数尺可以查询出，则空气温度是（　　）
A.5℃ B.10℃
C.15℃ D.20℃
2．对于函数的图象，关于直线对称；关于点对称；可看作是把的图象向左平移个单位而得到；可看作是把的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的倍而得到以上叙述正确的个数是　　
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
3．已知函数（其中）的最小正周期为，则（）
A. B.
C.1 D.
4．已知函数在上单调递减，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
5．命题“，”的否定为（）
A.， B.，
C， D.，
6．，，，则（）
A. B.
C. D.
7．若是的重心，且（，为实数），则（ ）
A. B.1
C. D.
8．设全集，，，则如图阴影部分表示的集合为（）

A. B.
C. D.
9．设，则“”是“”的（）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
10．函数的一个零点所在的区间是(　 )
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．若实数x，y满足，则的最小值为___________
12．若存在常数和，使得函数和对其公共定义域上的任意实数都满足：和恒成立，则称此直线为和的“隔离直线”．已知函数，，若函数和之间存在隔离直线，则实数的取值范围是______
13．已知幂函数的图象过点，则______
14．若直线l在x轴上的截距为1,点到l的距离相等，则l的方程为______.
15．定义在上的偶函数满足：当时，，则______
16．已知，则函数的最大值为__________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．设函数
（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；
（2）求函数在上的最大值与最小值及相应的x的值.
18．已知函数，当时，取得最小值
（1）求a的值；
（2）若函数有4个零点，求t的取值范围
19．计算：
（1）；
（2）已知，求.
20．已知非空集合，.
（1）当时，求，；
（2）若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围.
21．如图，已知，分别是正方体的棱，的中点.求证:平面平面.

参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】依题意可得，即，即可得到方程，解得即可；
【详解】：依题意，即，又，所以，即，解得；
故选：B
2、B
【解析】由判断；由判断；由的图象向左平移个单位，得到的图象判断；由的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的倍，得到函数的图象判断.
【详解】对于函数的图象，令，求得，不是最值，故不正确；
令，求得，可得的图象关于点对称，故正确；
把的图象向左平移个单位，得到的图象，故不正确；
把的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的倍，得到函数的图象，故正确，故选B
【点睛】本题通过对多个命题真假的判断，综合考查三角函数的对称性以及三角函数的图象的变换规律，属于中档题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.
3、D
【解析】根据正弦型函数的最小正周期求ω，从而可求的值.
【详解】由题可知，，
∴.
故选：D.
4、C
【解析】可分析单调递减,即将题目转化为在上单调递增,分别讨论与的情况,进而求解
【详解】由题可知单调递减,因为在上单调递减,则在上单调递增,
当时,在上单调递减,不符合题意,舍去；
当时,,解得,即
故选C
【点睛】本题考查对数函数的单调性的应用,考查复合函数单调性问题,考查解不等式
5、B
【解析】根据特称命题的否定为全称命题可得.
【详解】根据特称命题的否定为全称命题，
可得命题“，”的否定为“，”
故选：B.
6、B
【解析】根据对数函数和指数函数的单调性即可得出，，的大小关系
【详解】，
，，

故选：
7、A
【解析】若与边的交点为,再由三角形中线的向量表示即可.
【详解】若与边交点为，则为边上的中线，
所以，
又因为，
所以
故选:A
【点睛】此题为基础题，考查向量的线性运算.
8、D
【解析】解出集合、，然后利用图中阴影部分所表示的集合的含义得出结果.
【详解】，.
图中阴影部分所表示的集合为且.
故选：D.
【点睛】本题考查韦恩图表示的集合的求解，同时也考查了一元二次不等式的解法，解题的关键就是弄清楚阴影部分所表示的集合的含义，考查运算求解能力，属于基础题.
9、B
【解析】分别求出两个不等式的的取值范围，根据的取值范围判断充分必要性.
【详解】等价于，解得：；等价于，解得：，可以推出，而不能推出，所以是的必要不充分条件，所以“”是“”的必要不充分条件
故选：B
10、B
【解析】先求出根据零点存在性定理得解.
【详解】由题得，
，
所以
所以函数一个零点所在的区间是.
故选B
【点睛】本题主要考查零点存在性定理，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】由对数的运算性质可求出的值，再由基本不等式计算即可得答案
【详解】由题意，
得：，
则（当且仅当时，取等号）
故答案为：
12、
【解析】由已知可得、恒成立，可求得实数的取值范围.
【详解】因为函数和之间存在隔离直线，所以，
当时，可得对任意的恒成立，
则，即，
当时，可得对恒成立，令，
则有对恒成立，
所以或，解得或，
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：.
13、3
【解析】先利用待定系数法代入点的坐标，求出幂函数的解析式，再求的值.
【详解】设，由于图象过点,
得，
，
，故答案为3.
【点睛】本题考查幂函数的解析式，以及根据解析式求函数值，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题.
14、或
【解析】考虑斜率不存在和存在两种情况，利用点到直线距离公式计算得到答案.
【详解】显然直线轴时符合要求，此时的方程为.
当直线l的斜率存在时，设直线l的斜率为k，则l的方程为，即.
∵A，B到l的距离相等
∴，∴，∴，
∴直线l的方程为.
故答案为或
【点睛】本题考查了点到直线的距离公式，忽略掉斜率不存在的情况是容易犯的错误.
15、12
【解析】根据偶函数定义，结合时的函数解析式，代值计算即可.
【详解】因为是定义在上的偶函数，故可得，
又当时，，故可得，
综上所述：.
故答案为：.
16、
【解析】换元，，化简得到二次函数，根据二次函数性质得到最值.
【详解】设，，则，，
故当，即时，函数有最大值为.
故答案为：.
【点睛】本题考查了指数型函数的最值，意在考查学生的计算能力，换元是解题的关键.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）最小正周期，单调递增区间为，；
（2）时函数取得最小值，时函数取得最大值；
【解析】（1）利用二倍角公式及辅助角公式将函数化简，再根据正弦函数的性质计算可得；
（2）由的取值范围，求出的取值范围，再根据正弦函数的性质计算可得；
【小问1详解】
解：因为

，
即，所以函数的最小正周期，
令，，
解得，，
所以函数的单调递增区间为，；
【小问2详解】
解：因为，所以，
所以当，即时函数取得最小值，即，
当，即时函数取得最大值，即；
18、（1）4 （2）
【解析】（1）分类讨论和两种情况，由其单调性得出a的值；
（2）令，结合一元二次方程根的分布得出t的取值范围
【小问1详解】
解：当时，，则，故没有最小值
当时，由，得，
则在上单调递减，在上单调递增，
故，即
【小问2详解】
的图象如图所示

令，则函数在上有2个零点，
得
解得，故t的取值范围为
19、（1）；（2）.
【解析】（1）根据对数的运算法则和对数恒等式，即可求解；
（2）根据同角三角函数关系，由已知可得，代入所求式子，即可求解.
【详解】（1）原式；
（2）∵
∴
∴.
20、（1），
（2）
【解析】（1）先解出集合B，再根据集合的运算求得答案;
（2）根据题意可知AÜ.B，由此列出相应的不等式组，解得答案.
【小问1详解】
，，
故，；
【小问2详解】
由题意A是非空集合，“”是“”的充分不必要条件，
故得AÜ.B，得，或或,
解得，故的取值范围为.
21、见解析
【解析】取的中点，连接、，则，进一步得到四边形为平行四边形，同理得到四边形为平行四边形，结合线面平行的判定即可得到结果.
【详解】证明:取的中点，连接、.
因为、分别为、的中点，.
四边形为平行四边形..
、分别为、的中点，∴，
∴四边形为平行四边形，∴，∴.
∵平面，平面，
平面
又，平面平面.
【点睛】本题主要考查面面平行的判定，属于基础题型.