2025年广东省罗定中学城东学校数学高一第一学期期末教学质量检测模拟试题含解析.doc

2025年广东省罗定中学城东学校数学高一第一学期期末教学质量检测模拟试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．下列函数，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是　　
A. B.
C. D.
2．已知集合，则（　　）
A. B.
C. D.
3．若：，则成立的一个充分不必要条件是（）
A. B.
C. D.
4．已知，，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
5．已知平面α和直线l，则α内至少有一条直线与l（　　）
A.异面 B.相交
C.平行 D.垂直
6．若则
A. B.
C. D.
7．已知H是球的直径AB上一点，AH:HB=1:2，AB⊥平面，H为垂足，截球所得截面的面积为，则球的表面积为
A. B.
C. D.
8．如图所示，液体从一圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中，开始时，漏斗盛满液体，经过3分钟漏完.已知圆柱中液面上升的速度是一个常量，H是圆锥形漏斗中液面下落的距离，则H与下落时间(分)的函数关系表示的图象只可能是（ ）

A. B.
C. D.
9．用a，b，c表示空间中三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题：
①若a⊥b，b⊥c，则a∥c；
②若a∥b，a∥c，则b∥c；
③若a∥γ，b∥γ，则a∥b
其中真命题的序号是(　　)
A.①② B.③
C.①③ D.②
10．设集合，则集合的元素个数为（）
A.0 B.1
C.2 D.3
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．函数是幂函数，且在上是减函数，则实数__________.
12．已知定义在上的函数，满足不等式，则的取值范围是______
13．若函数（，且）在上是减函数，则实数的取值范围是__________.
14．边长为3的正方形的四个顶点都在球上，与对角线的夹角为45°，则球的体积为______.
15．已知函数是定义在上且以3为周期的奇函数，当时，，则时，__________，函数在区间上的零点个数为 __________
16．已知向量，写出一个与共线的非零向量的坐标__________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知角的终边与单位圆交于点
（1）写出、、值；
（2）求的值
18．已知函数 .
（1）判断函数的奇偶性；
（2）求证：函数在为单调增函数；
（3）求满足的的取值范围.
19．已知是幂函数，是指数函数，且满足，
（1）求函数，的解析式；
（2）若，，请判断“是的什么条件？（“充分不必要条件”或“必要不充分条件”或“充要条件”或“既不充分也不必要条件”）
20．某班级欲在半径为1米的圆形展板上做班级宣传，设计方案如下：用四根不计宽度的铜条将圆形展板分成如图所示的形状，其中正方形ABCD的中心在展板圆心，正方形内部用宣传画装饰，若铜条价格为10元/米，宣传画价格为20元/平方米，展板所需总费用为铜条的费用与宣传画的费用之和

（1）设，将展板所需总费用表示成的函数；
（2）若班级预算为100元，试问上述设计方案是否会超出班级预算？
21．已知二次函数满足对任意，都有；；的图象与轴的两个交点之间的距离为.
（1）求的解析式；
（2）记，
（i）若为单调函数，求的取值范围；
（ii）记的最小值为，若方程有两个不等的根，求的取值范围.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】由幂函数，指数函数与对数函数的性质可得
【详解】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，，其定义域为R，在R上既是奇函数又是增函数，符合题意；
对于B，，是对数函数，不是奇函数，不符合题意；
对于C，，为指数函数，不为奇函数；
对于D，，为反比例函数，其定义域为，在其定义域上不是增函数，不符合题意；
故选A
【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性，是基础题，掌握幂函数，指数函数与对数函数的性质是解题关键
2、C
【解析】根据并集的定义计算
【详解】由题意
故选：C
3、C
【解析】根据不等式的解法求得不等式的解集，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.
【详解】由题意，不等式，可得，解得，
结合选项，不等式的一个充分不必要条件是.
故选：C.
4、C
【解析】根据已知条件逐个分析判断
【详解】对于A，因为，所以A错误，
对于B，因为，所以集合A不是集合B的子集，所以B错误，
对于C，因为，，所以，所以C正确，
对于D，因为，，所以，所以D错误，
故选：C
5、D
【解析】若直线l∥α，α内至少有一条直线与l垂直，
当l与α相交时，α内至少有一条直线与l垂直
当l⊂α，α内至少有一条直线与l垂直
故选D
6、A
【解析】集合A三个实数0，1，2，而集合B表示的是大于等于1小于2的所有实数，所以两个集合的交集{1}，故选A.
考点：集合的运算.
7、D
【解析】设球的半径为，根据题意知由与球心距离为的平面截球所得的截面圆的面积是，我们易求出截面圆的半径为1，根据球心距、截面圆半径、球半径构成直角三角形，满足勾股定理，我们易求出该球的半径，进而求出球的表面积
【详解】设球的半径为，∵，
∴平面与球心的距离为，
∵截球所得截面的面积为，∴时，，
故由得，
∴，∴球的表面积，故选D
【点睛】本题主要考查的知识点是球的表面积公式，若球的截面圆半径为，球心距为，球半径为，则球心距、截面圆半径、球半径构成直角三角形，满足勾股定理，属于中档题.
8、A
【解析】利用特殊值法，圆柱液面上升速度是常量，表示圆锥漏斗中液体单位时间内落下相同的体积，当时间取分钟时，液面下降的高度与漏斗高度的比较.
【详解】由于所给的圆锥形漏斗上口大于下口，当时间取分钟时，液面下降的高度不会达到漏斗高度的，对比四个选项的图象可得结果.
故选：A
【点睛】本题主要考查了函数图象的判断，常利用特殊值和函数的性质判断，属于中档题.
9、D
【解析】因为空间中，用a，b，c表示三条不同的直线，
①中正方体从同一点出发的三条线，满足已知但是a⊥c，所以①错误；
②若a∥b，b∥c，则a∥c，满足平行线公理，所以②正确；
③平行于同一平面的两直线的位置关系可能是平行、相交或者异面，所以③错误；
故选D
10、B
【解析】解出集合中的不等式，得到集合中的元素，利用交集的运算即可得到结果.
【详解】集合，
所以.
故选：B.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、2
【解析】根据函数为幂函数求参数m，讨论所求得的m判断函数是否在上是减函数，即可确定m值.
【详解】由题设，，即，解得或，
当时，，此时函数在上递增，不合题意；
当时，，此时函数在上递减，符合题设.
综上，.
故答案为：2
12、
【解析】观察函数的解析式，推断函数的性质，借助函数性质解不等式
【详解】令 ，则，得，即函数的图像关于中心对称，且单调递增，不等式可化为，即，得，解集为
【点睛】利用函数解决不等式问题，关键是根据不等式构造适当的函数，通过研究函数的单调性等性质解决问题
13、
【解析】根据分段函数的单调性，列出式子，进行求解即可.
【详解】由题可知：函数在上是减函数
所以，即
故答案为：
14、
【解析】根据给定条件结合球的截面小圆性质求出球O的半径，再利用球的体积公式计算作答.
【详解】因边长为3的正方形的四个顶点都在球上，则正方形的外接圆是球O的截面小圆，其半径为，
令正方形的外接圆圆心为，由球面的截面小圆性质知是直角三角形，且有，
而与对角线的夹角为45°，即是等腰直角三角形，球O半径，
所以球体积为.
故答案为：
【点睛】关键点睛：涉及求球的表面积、体积问题，利用球的截面小圆性质是解决问题的关键.
15、 ①. ②.5
【解析】（1）当时，，
∴，
又函数是奇函数，
∴
故当时，
（2）当时，令，得，即，
解得，即，
又函数为奇函数，故可得，且
∵函数是以3为周期的函数，
∴，，
又，
∴
综上可得函数在区间上的零点为，共5个
答案：，5
16、（纵坐标为横坐标2倍即可，答案不唯一）
【解析】向量 与共线的非零向量的坐标纵坐标为横坐标2倍，例如（2，4）
故答案为

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）=；=；=（2）
【解析】（1）根据已知角的终边与单位圆交于点，结合三角函数的定义即可得到、、的值；（2）依据三角函数的诱导公式化简即可，
，最后利用第（1）小问的结论得出答案.
试题解析：（1）已知角终边与单位圆交于点，
.
（2）.
点睛：本题考查任意角的三角函数的定义，即当角的终边与单位圆的交点为时，则，，，运用诱导公式化简求值，在化简过程中必须注意函数名是否改变以及符号是否改变等．本题是基础题，解答的关键是熟悉任意角的三角函数的定义，单位圆的知识.
18、（1）为奇函数；（2）证明见解析；（3）.
【解析】（Ⅰ）求出定义域为{x|x≠0且x∈R}，关于原点对称，再计算f（-x），与f（x）比较即可得到奇偶性；
（Ⅱ）运用单调性的定义，注意作差、变形、定符号、下结论等步骤；
（Ⅲ）讨论x＞0，x＜0，求出f（x）的零点，再由单调性即可解得所求取值范围
试题解析：
（1）定义域为{x|x≠0且x∈R}，关于原点对称，
，所以为奇函数；
（2）任取，
所以在为单调增函数；
（3）解得，所以零点为，
当时，由（2）可得的的取值范围为，的的取值范围为，又该函数为奇函数，所以当时，由（2）可得的的取值范围为，
综上：所以 >解集为.
19、（1），
（2）“”是“”的必要不充分条件
【解析】（1）利用待定系数法求得.
（2）通过求函数的值域求得，由此确定充分、必要条件.
【小问1详解】
设，，则
则，代入，
∴，.
【小问2详解】
由（1）知，，，
当时，，有，得，
又由，有，得，故，
当时，，有，得，
又由，有，，解得，故，
由Ü，故“”是“”的必要不充分条件
20、（1）；（2）上述设计方案是不会超出班级预算
【解析】（1）过点O作，垂足为H，用表示出OH和PH，从而可得铜条长度和正方形的面积，进而得出函数式；
（2）利用同角三角函数的关系和二次函数的性质求出预算的最大值即可得出结论
【详解】（1）过点O作，垂足为H，则，，

正方形ABCD的中心在展板圆心，铜条长为相等，每根铜条长，
，展板所需总费用为
（2）
，当时等号成立.
上述设计方案是不会超出班级预算
【点睛】本题考查了函数应用，三角函数恒等变换与求值，属于中档题
21、（1）；（2）（i）；（ii）或.
【解析】（1）根据二次函数的对称轴、求参数a、b、c，写出的解析式；
（2）（i）利用二次函数的性质，结合的区间单调性求的取值范围；
（ii）讨论、、，结合二次函数的性质求最小值的表达式，再令并应用数形结合的方法研究的零点情况求的取值范围.
【详解】（1）设由题意知：对称轴，
，又，则，
，
设的两根为，，则，，
由已知：，解得
.
（2）（i），其对称轴为
为单调函数，
或，解得或.
的取值范围是.
（ii），，对称轴
①当，即时，区间单调递增，
.
②当，即时，在区间单调递减，

③当，即时，，

函数零点即为方程的根
令，即，作出的简图如图所示

①当时，，或，解得或，有个零点；
②当时，有唯一解，解得，有个零点；
③当时，有两个不同解，，解得或，有4个零点；
④当时，，，解得，有个零点；
⑤当时，无解，无零点
综上：当或时，有个零点.
【点睛】关键点点睛：第二问，（i）分类讨论并结合二次函数区间单调性求参数范围，（ii）分类讨论求最小值的表达式，再应用换元法及数形结合求参数范围.