2026届江西省南康中学、于都中学数学高一上期末监测模拟试题含解析.doc

2026届江西省南康中学、于都中学数学高一上期末监测模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．两圆和的位置关系是
A.相离 B.相交
C.内切 D.外切
2．已知函数，，若存在，使得，则实数的取值范围是（）
A. B.
C. D.
3．地震以里氏震级来度量地震的强度，若设为地震时所散发出来的相对能量，则里氏震级可定义为.在2021年3月下旬，地区发生里氏级地震，地区发生里氏7.3级地震，则地区地震所散发出来的相对能量是地区地震所散发出来的相对能量的（）倍.
A.7 B.
C. D.
4．若函数y=|x|（x-1）的图象与直线y=2（x-t）有且只有2个公共点，则实数t的所有取值之和为（　　）
A.2 B.
C.1 D.
5．已知，，，则（ ）
A. B.
C. D.
6．设，，，则a、b、c的大小关系是　　
A. B.
C. D.
7．已知，则下列选项错误的是（ ）
A. B.
C.的最大值是 D.的最小值是
8．函数零点的个数为（）
A.4 B.3
C.2 D.0
9．已知是空间两条不重合的直线，是两个不重合的平面，则下列命题中正确的是
A.，，
B，，
C.，，
D.，，
10．函数的定义域为，且为奇函数，当时，，则函数的所有零点之和是（）
A.2 B.4
C.6 D.8
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则的值为______
12．求值：__________
13．下面有六个命题：
①函数是偶函数；
②若向量的夹角为，则；
③若向量的起点为，终点为，则与轴正方向的夹角的余弦值是；
④终边在轴上的角的集合是；
⑤把函数的图像向右平移得到的图像；
⑥函数在上是减函数.
其中，真命题的编号是__________．（写出所有真命题的编号）
14．表示一位骑自行车和一位骑摩托车的旅行者在相距80 km的甲、乙两城间从甲城到乙城所行驶的路程与时间之间的函数关系，有人根据函数图象，提出了关于这两个旅行者的如下信息：

①骑自行车者比骑摩托车者早出发3 h，晚到1 h；
②骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动；
③骑摩托车者在出发1.5 h后追上了骑自行车者；
④骑摩托车者在出发1.5 h后与骑自行车者速度一样
其中，正确信息的序号是________
15．函数的零点个数是________.
16．将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，若使得，且的最小值为，则_________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．某中学共有3000名学生，其中高一年级有1200名学生，为了解学生的睡眠情况，现用分层抽样的方法，在三个年级中抽取了200名学生，依据每名学生的睡眠时间（单位：小时），绘制出了如图所示的频率分布直方图.

（1）求样本中高一年级学生的人数及图中a的值；
（2）估计样本数据中位数（保留两位小数）；
（3）估计全校睡眠时间不低于7个小时的学生人数.
18．已知
(1)求的定义域；
(2)判断的奇偶性并予以证明；
(3)求使的的取值范围
19．已知以点为圆心的圆与直线：相切，过点的直线与圆相交于，两点，是的中点，.
（1）求圆的标准方程；
（2）求直线的方程.
20．设函数.
(1)当时，求函数的最小值；
(2)若函数 的零点都在区间内，求的取值范围.
21．如图，直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AD=6，BC=2AB=4，点E为线段BC的中点，点F在线段AD上，且EF∥AB，现将四边形ABCD沿EF折起，使平面ABEF⊥平面EFDC，点P为几何体中线段AD的中点

（Ⅰ）证明：平面ACD⊥平面ACF；
（Ⅱ）证明：CD∥平面BPE
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】依题意，圆的圆坐标为，半径为，圆的标准方程为，其圆心坐标为，半径为，两圆心的距离，且两圆相交，故选B.
2、D
【解析】根据条件求出两个函数在上的值域，结合若存在，使得，等价为两个集合有公共元素，然后根据集合关系进行求解即可
【详解】当时，，即，则的值域为[0，1]，
当时，，则的值域为，
因为存在，使得，
则
若，
则或，
得或，
则当时，，
即实数a的取值范围是，A，B，C错，D对.
故选：D
3、C
【解析】把两个震级代入后，两式作差即可解决此题
【详解】设里氏3.1级地震所散发出来的能量为，里氏7.3级地震所散发出来的能量为，则①，②
②①得：，解得：
故选：
4、C
【解析】可直接根据题意转化为方程有两个根，然后利用分类讨论思想去掉绝对值再利用判别式即可求得各个t的值
【详解】由题意得方程有两个不等实根，
当方程有两个非负根时，
令 时，则方程为，整理得
，解得；
当时，
，解得，故不满足满足题意；
当方程有一个正跟一个负根时，
当时，，
，解得，
当时，方程为，
，解得；
当方程有两个负根时，
令，则方程为，
解得，
当，
，解得，不满足题意
综上，t的取值为 和，
因此t的所有取值之和为1，故选C
【点睛】本题是在二次函数的基础上加了绝对值，所以首先需解决绝对值，关于去绝对值直接用分类讨论思想即可；
关于二次函数根的分布需结合对称轴，判别式，进而判断，必要时可结合进行判断
5、B
【解析】
分析】由指数函数和对数函数单调性，结合临界值可确定大小关系.
【详解】，.
故选：B.
6、D
【解析】根据指数函数与对数函数性质知，，，可比较大小，
【详解】解：，，；

故选D
【点睛】在比较幂或对数大小时，一般利用指数函数或对数函数的单调性，有时还需要借助中间值与中间值比较大小，如0,1等等
7、D
【解析】根据题意求出b的范围可以判断A，然后结合基本不等式判断B,C，最后消元通过二次函数的角度判断D.
【详解】对A，，正确；
对B，，当且仅当时取“=”，正确；
对C，，当且仅当时取“=”，正确；
对D，由题意，，由A可知，所以，错误.
故选：D.
8、A
【解析】由，得，则将函数零点的个数转化为图象的交点的个数，画出两函数的图象求解即可
【详解】由，得，
所以函数零点的个数等于图象的交点的个数，
函数的图象如图所示，

由图象可知两函数图象有4个交点，
所以有4个零点，
故选：A
9、D
【解析】A不正确，也有可能；
B不正确，也有可能；
C不正确，可能或或；
D正确， ， ， ，
考点：1线面位置关系；2线面垂直
10、B
【解析】根据题意可知图象关于点中心对称，由的解析式求出时的零点，根据对称性即可求出时的零点，即可求解.
【详解】因为为奇函数，所以函数的图象关于点中心对称，
将的图象向右平移个单位可得的图象，
所以图象关于点中心对称，
当时，，
令解得：或，
因为函数图象关于点中心对称，
则当时，有两解，为或，
所以函数的所有零点之和是，
故选：B
第II卷（非选择题

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、1
【解析】根据题意，由函数在（﹣∞，0）上的解析式可得f（﹣1）的值，又由函数为奇函数可得f（1）=﹣f（﹣1），即可得答案
【详解】根据题意，当x∈（﹣∞，0）时，f（x）=2x3+x2，
则f（﹣1）=2×（﹣1）3+（﹣1）2=﹣1，
又由函数奇函数，
则f（1）=﹣f（﹣1）=1；
故答案为1
【点睛】本题考查函数奇偶性的应用，注意利用奇偶性明确f（1）与f（﹣1）的关系
12、
【解析】直接利用两角和的正切公式计算可得；
【详解】解：
故答案为：
13、①⑤
【解析】对于①函数，则=，所以函数是偶函数；故①对；
对于②若向量的夹角为，根据数量积定义可得，此时的向量应该为非零向量；故②错；
对于③=，所以与轴正方向的夹角的余弦值是-；故③错；
对于④终边在轴上的角的集合是；故④错；
对于⑤把函数的图像向右平移得到，故⑤对；
对于⑥函数=在上是增函数.故⑥错；
故答案为①⑤.
14、①②③
【解析】看时间轴易知①正确；骑摩托车者行驶的路程与时间的函数图象是直线，所以是匀速运动，而骑自行车者行驶的路程与时间的函数图象是折线，所以是变速运动，因此②正确；两条曲线的交点的横坐标对应着4.5，故③正确，④错误
故答案为①②③.
点睛：研究函数问题离不开函数图象，函数图象反映了函数的所有性质，在研究函数问题时要时时刻刻想到函数的图象，学会从函数图象上去分析问题、寻找解决问题的方法
15、3
【解析】令f(x)＝0求解即可.
【详解】，方程有三个解，故f(x)有三个零点.
故答案为：3.
16、
【解析】根据三角函数的图形变换，求得，根据，不妨设，求得，，得到
则，根据题意得到，即可求解.
【详解】将函数的图象向左平移个单位长度，
可得，
又由，不妨设，
由，解得，即，
又由，解得，
即
则，
因为的最小值为，可得，解得或，
因为，所以.
故答案为：

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）人数为，；
（2）7.42；（3）约为人.
【解析】（1）由分层抽样等比例性质求高一年级学生的人数，根据直方图及频率和为1求参数a.
（2）由频率直方图及中位数的性质估计中位数.
（3）由直方图计算区间的频率，进而估计全校睡眠时间不低于7个小时的学生人数.
【小问1详解】
由分层抽样等比例的性质，样本中高一年级学生的人数为.
由，可得.
【小问2详解】
设中位数为x，
由、，知：，
∴.得，故样本数据的中位数约为7.42.
【小问3详解】
由图可知，样本数据落在的频率为.
故全校睡眠时间不低于7个小时的学生人数约为人.
18、（1）；（2）见解析；（3）见解析.
【解析】(1)求对数函数的定义域，只要真数大于0即可；(2)利用奇偶性的定义，看和的关系，得到结论；(3)由对数函数的单调性可知，要使,需分和两种情况讨论，即可得到结果.
【详解】(1)由>0 ，解得x∈(－1,1)
(2)f(－x)＝loga＝－f(x)，且x∈(－1,1)，∴函数y＝f(x)是奇函数
(3)若a>1，f(x)>0，则>1，解得0<x<1；
若0<a<1，f(x)>0，则0<<1，解得－1<x<0.
【点睛】本题主要考查函数的定义域、奇偶性与单调性，属于中档题.判断函数的奇偶性首先要看函数的定义域是否关于原点对称，如果不对称，既不是奇函数又不是偶函数，如果对称常见方法有：（1）直接法，(正为偶函数，负为减函数)；（2）和差法，（和为零奇函数，差为零偶函数）；（3）作商法，（为偶函数，为奇函数） .
19、（1）；（2）或.
【解析】（1）求出点A与直线的距离即可得出圆的半径，由圆心与半径写出圆的标准方程；
（2）分斜率存在与不存在两种情况讨论，当斜率存在时，点斜式设出直线方程，由弦长及半径可求出弦心距，再利用点到直线距离即可求解，当斜率不存在时验证是否满足条件即可.
【详解】（1）设圆的半径为，
因为圆与直线：相切，
，
∴圆的方程为.
（2）①当直线与轴垂直时，易知符合题意；
②当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，即.
由题意，
，
，
则由得，
∴直线为：，
故直线的方程为或.
20、（1）；（2）
【解析】（1）分类讨论得；（2）由题意，得到等价不等式，解得的取值范围是
试题解析：
(1)∵函数.
当，即时，；
当，即时，；
当，即时，.
综上，
(2)∵函数的零点都在区间内，
等价于函数的图象与轴的交点都在区间内.
∴
故的取值范围是
21、证明过程详见解析
【解析】（Ⅰ）证明AF⊥平面EFDC，得出AF⊥CD； 再由勾股定理证明FC⊥CD，即可证明CD⊥平面ACF，平面ACD⊥平面ACF；
（Ⅱ）取DF的中点Q，连接QE、QP，证明BPQE四点共面， 再证明CD∥EQ，从而证明CD∥平面EBPQ，即为CD∥平面BPE
【详解】（Ⅰ）由题意知，四边形ABEF是正方形，∴AF⊥EF，
又平面ABEF⊥平面EFDC，
∴AF⊥平面EFDC，
∴AF⊥CD；
又FD=4，FC=AB=2，CD=AB=2，
∴FD2=FC2+CD2，
∴FC⊥CD；
又FC∩AF=F，
∴CD⊥平面ACF；
又CD⊂平面ACD，
∴平面ACD⊥平面ACF；
（Ⅱ）如图所示，

取DF的中点Q，连接QE、QP，则QP∥AF，
又AF∥BE，∴PQ∥BF，∴BPQE四点共面；
又EC=2，QD=DF=2，且DF∥EC，
∴QD与EC平行且相等，∴QECD为平行四边形，
∴CD∥EQ，
又EQ⊂平面EBPQ，CD⊄平面EBPQ，
∴CD∥平面EBPQ，即CD∥平面BPE
【点睛】本题主要考查直线和平面平行与垂直的判定应用问题，也考查了平面与平面的垂直应用问题，是中档题