2025-2026学年安徽省安庆市重点中学高一上数学期末质量检测试题含解析.doc

2025-2026学年安徽省安庆市重点中学高一上数学期末质量检测试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．下列关于集合的关系式正确的是
A. B.
C. D.
2． “”是“关于的不等式对恒成立”的（）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3．用函数表示函数和中的较大者，记为：，若，，则的大致图像为（）
A. B.
C. D.
4．满足的集合的个数为（）
A. B.
C. D.
5．一个球的表面积是，那么这个球的体积为
A. B.
C. D.
6．命题“对，都有”的否定为（）
A.对，都有 B.对，都有
C.，使得 D.，使得
7．下列命题中是真命题的个数为（）
①函数的对称轴方程是；
②函数的一个对称轴方程是；
③函数的图象关于点对称；
④函数的值域为
A1 B.2
C.3 D.4
8．下列函数既是奇函数又是周期为π的函数是()
A. B.
C. D.
9．直线的倾斜角为
A. B.
C. D.
10．点直线中，被圆截得的最长弦所在的直线方程为（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．函数一段图象如图所示，这个函数的解析式为______________.

12．将函数y＝sinx的图象上的所有点向右平移个单位长度，所得图象的函数解析式为 _________.
13．放射性物质镭的某种同位素，每经过一年剩下的质量是原来的.若剩下的质量不足原来的一半，则至少需要（填整数） ____年.（参考数据：，)
14．已知是定义在R上的奇函数，当时，，则在R上的表达式是________
15．定义为中的最大值，函数的最小值为，如果函数在上单调递减，则实数的范围为__________
16．已知扇形的周长为8，则扇形的面积的最大值为_________，此时扇形的圆心角的弧度数为________
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．在平面直角坐标系中,已知角的终边与以原点为圆心的单位圆交于点.
（1）求与的值；
（2）计算的值.
18．已知函数是定义在R上的奇函数
（1）用定义法证明为增函数；
（2）对任意，都有恒成立，求实数k的取值范围
19．已知直线
（1）求直线的斜率；
（2）若直线m与平行，且过点，求m的方程.
20．计算下列各式的值：
（1）；
（2）.
21．已知，，且函数有奇偶性，求a，b的值
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】因为{0}是含有一个元素的集合，所以{0}≠，故B不正确；
元素与集合间不能划等号，故C不正确；
显然相等，故D不正确.
故选：A
2、B
【解析】先根据“关于的不等式对恒成立”得，再根据集合关系判断即可得答案.
【详解】设：“关于的不等式对恒成立”，
则由知一元二次函数的图象开口向上，且轴无交点.
所以对于一元二次方程必有，
解得，
由于，
所以“”是“关于的不等式对恒成立”的必要不充分条件.
故选：B.
【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：
（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；
（2）若是充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集；
（3）若是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；
（4）若是的既不充分又不必要条件， 对的集合与对应集合互不包含
3、A
【解析】利用特殊值确定正确选项.
【详解】依题意，
，排除CD选项.
，排除B选项.
所以A选项正确.
故选：A
4、B
【解析】列举出符合条件的集合，即可得出答案.
【详解】满足的集合有：、、.
因此，满足的集合的个数为.
故选：B.
【点睛】本题考查符合条件的集合个数的计算，只需列举出符合条件的集合即可，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题.
5、B
【解析】先求球半径，再求球体积.
【详解】因为，所以,选B.
【点睛】本题考查球表面积与体积，考查基本求解能力，属基础题.
6、D
【解析】全称命题的否定是特称命题，把任意改为存在，把结论否定.
【详解】，都有的否定是，使得.
故选：D
7、B
【解析】根据二次函数的性质、三角函数的性质以及图象，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.
【详解】对①：函数的对称轴方程是，故①是假命题；
对②：函数的对称轴方程是：，
当时，其一条对称轴是，故②正确；
对函数，
其函数图象如下所示：

对③：数形结合可知，该函数的图象不关于对称，故③是假命题；
对④：数形结合可知，该函数值域为，故④为真命题.
综上所述，是真命题的有2个.
故选：.
8、D
【解析】先判断函数的奇偶性，再求函数的周期，然后确定选项
【详解】是最小正周期为的奇函数，故A错误；
的最小正周期是π是偶函数，故B错误；
是最小正周期是π是偶函数，故C错误；
最小正周期为π的奇函数，故D正确﹒
故选：D
9、B
【解析】设直线x﹣y+3=0的倾斜角为θ
由直线x﹣y+3=0化为y=x+3，
∴tanθ=，
∵θ∈[0，π），∴θ=60°
故选B
10、A
【解析】要使得直线被圆截得的弦长最长，则直线必过圆心，利用斜率公式求得斜率，结合点斜式方程，即可求解.
【详解】由题意，圆，可得圆心坐标为，
要使得直线被圆截得的弦长最长，则直线必过圆心，
可得直线的斜率为，所以直线的方程为，
即所求直线的方程为.
故选：A.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】由图象的最大值求出A，由周期求出ω，通过图象经过（，0），求出φ，从而得到函数的解析式
【详解】由函数的图象可得A＝2， T＝＝4π，
∴解得ω＝
∵图象经过（，0），∴可得：φ＝2kπ，k∈Z，解得：φ＝2kπ，k∈Z，
取k=0∴φ，
故答案为：y＝2sin（x）
12、
【解析】利用相位变换直接求得.
【详解】按照相位变换，
把函数y＝sinx的图象上的所有点向右平移个单位长度，得到.
故答案为：.
13、
【解析】设所需的年数为，由已知条件可得，解该不等式即可得结论.
【详解】设所需的年数为，由已知条件可得，则.
因此，至少需要年.
故答案为：.
14、
【解析】根据奇函数定义求出时的解析式，再写出上的解析式即可
【详解】时，，，
所以
故答案为：
【点睛】本题考查函数的奇偶性，掌握奇函数的定义是解题关键
15、
【解析】根据题意，将函数写成分段函数的形式，分析可得其最小值，即可得的值，进而可得，由减函数的定义可得，解得的范围，即可得答案
【详解】根据题意，，
则，
根据单调性可得先减后增，所以当时，取得最小值2，则有 ，
则，因为为减函数，
必有，
解可得：，即m的取值范围为；
故答案为．
【点睛】本题考查函数单调性、函数最值的计算，关键是求出c的值．
16、 ①.4 ②.2
【解析】根据扇形的面积公式，结合配方法和弧长公式进行求解即可.
【详解】设扇形所在圆周的半径为r，弧长为l，有，
，
此时，，
故答案为：；

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1），；（2）.
【解析】（1）由任意角的三角函数的定义求出，，，再利用两角和的余弦公式计算可得；
（2）利用诱导公式将式子化简，再将弦化切，最后代入计算可得；
【详解】解：（1）由三角函数定义可知: .,
；
（2）原式
因为，原式.
18、（1）证明见解析
（2）
【解析】（1）根据函数单调性定义及指数函数的单调性与值域即可证明；
（2）由已知条件，利用函数的奇偶性和单调性，可得对恒成立，然后分离参数，利用基本不等式求出最值即可得答案.
【小问1详解】
证明：设，则，
由，可得，即，又，，
所以，即，则在上为增函数；
【小问2详解】
解：因为任意，都有恒成立，且函数是定义在R上的奇函数，
所以对恒成立，
又由（1）知函数在上为增函数，所以对恒成立，
由，有，
所以对恒成立，
设，由递减，可得，
所以，当且仅当时取得等号，
所以，即的取值范围是.
19、（1）；（2）.
【解析】（1）将直线变形为斜截式即可得斜率；
（2）由平行可得斜率，再由点斜式可得结果.
【详解】（1）由，可得，
所以斜率为；
（2）由直线m与平行，且过点，
可得m的方程为，整理得：.
20、（1）；（2）0.
【解析】
（1）直接利用根式与分数指数幂的运算法则求解即可，化简过程注意避免出现计算错误；
（2）直接利用对数的运算法则求解即可，解答过程注意避免出现计算错误.
【详解】（1）

；
（2）

21、为奇函数，，
【解析】由函数奇偶性的定义列方程求解即可
【详解】若为奇函数，则，
所以恒成立，
即，
所以恒成立，
所以，解得，
所以当为奇函数时，，
若为偶函数，则，
所以恒成立，
得，得，不合题意，
所以不可能是偶函数，
综上，为奇函数，，