2026届江西省南昌市第八中学数学高一第一学期期末统考试题含解析.doc

2026届江西省南昌市第八中学数学高一第一学期期末统考试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．若偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集是（）
A. B.
C. D.
2．设，，，则（）
A. B.
C. D.
3．如图是三个对数函数的图象，则a、b、c的大小关系是（）

A.a＞b＞c B.c＞b＞a
C.c＞a＞b D.a＞c＞b
4．已知，则的最小值为（ ）
A.2 B.3
C.4 D.5
5．设函数，若关于方程有个不同实根，则实数的取值范围为（）
A. B.
C. D.
6．已知集合，则函数的最小值为（ ）
A.4 B.2
C.-2 D.-4
7．总体由编号为01，02，…，49，50的50个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第7行的第9列和第10列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出的第4个个体的编号为（）
附：第6行至第8行的随机数表
2748 6198 71644148 7086 2888 8519 1620 7477
01111630 24042979 7991 9624 5125 32114919
7306 4916 76778733 9974 6732 2635 7900 3370
A.11 B.24
C.25 D.20
8． “是第一象限角”是“”的（）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
9．在长方体中， ， ，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A. B.
C. D.
10．圆与圆的位置关系是
A.相离 B.外切
C.相交 D.内切
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．函数的单调增区间是__________
12．已知扇形的圆心角为120°，半径为3，则扇形的面积是________.
13．在某高传染性病毒流行期间，为了建立指标显示疫情已受控制，以便向该地区居民显示可以过正常生活，有公共卫生专家建议的指标是“连续7天每天新增感染人数不超过5人”，根据连续7天的新增病例数计算，下列各个选项中，一定符合上述指标的是__________(填写序号)
①平均数；②标准差；③平均数且极差小于或等于2；
④平均数且标准差；⑤众数等于1且极差小于或等于4
14．已知正四棱锥的高为4，侧棱长为3，则该棱锥的侧面积为___________.
15．若，则________.
16．给出下列命题“
①设表示不超过的最大整数，则；
②定义：若任意，总有，就称集合为的“闭集”，已知且为的“闭集”，则这样的集合共有7个；
③已知函数为奇函数，在区间上有最大值5，那么在上有最小值.其中正确的命题序号是_________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数是定义在R上的奇函数.
（1）求函数的解析式，判断并证明函数的单调性；
（2）若存在实数，使成立，求实数的取值范围.
18．已知函数且点（4,2）在函数f（x）的图象上.
(1)求函数f(x)的解析式，并在图中的直角坐标系中画出函数f(x)的图象；
(2)求不等式f(x)<1的解集；
(3)若方程f(x)－2m＝0有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围

19．已知函数.
（1）用函数单调性的定义证明在区间上是增函数；
（2）解不等式.
20．已知关于x的不等式对恒成立.
（1）求的取值范围；
（2）当取得最小值时，求的值.
21．已知函数.
（1）求的定义域； （2）判断的奇偶性并予以证明；
（3）求不等式的解集.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】根据奇偶性，可得在上单调递增，且，根据的奇偶性及单调性，可得，根据一元二次不等式的解法，即可得答案.
【详解】由题意得在上单调递增，且，
因为，
所以，解得，
所以不等式的解集是.
故选：A
2、C
【解析】根据指数函数和对数函数的单调性判断，，的范围即可比较的大小.
【详解】因为，即，
，即，
，即，
所以，
故选：C.
3、D
【解析】根据对数函数的图象与单调性确定大小
【详解】y＝logax的图象在（0，＋∞）上是上升的，所以底数a＞1，函数y＝logbx，y＝logcx的图象在（0，＋∞）上都是下降的，因此b，c∈（0，1），又易知c＞b，故a＞c＞b.
故选：D
4、A
【解析】由可得，将整理为，再利用基本不等式即可求解.
【详解】因为，所以，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为.
故选：A
5、B
【解析】等价于，即或
，转化为与和图象交点的个数为个，作出函数的图象，数形结合即可求解
【详解】作出函数的图象如下图所示
变形得，
由此得或，方程只有两根
所以方程有三个不同实根，则，
故选：B
【点睛】易错点点睛：本题的易错点为函数的图像无限接近直线，即方程只有两根，另外难点在于方程的变形，即因式分解
6、D
【解析】因为集合，所以，设，则，所以，且对称轴为，所以最小值为，
故选D
7、C
【解析】根据题意，直接从所给随机数表中读取，即可得出结果.
【详解】由题意，编号为的才是需要的个体；
由随机数表依次可得：，
故第四个个体编号为25.
故选：C
【点睛】本题考查了随机数表的读法，注意重复数据只取一次，属于基础题.
8、B
【解析】根据充分、必要条件的定义，结合角的概念，即可得答案.
【详解】若是第一象限角，则，无法得到一定属于，充分性不成立，
若，则一定第一象限角，必要性成立，
所以“是第一象限角”是“”的必要不充分条件.
故选：B
9、D
【解析】如图，连接交于点 ，连接，则结合已知条件可证得为直线与平面 所成角，然后根据已知数据在求解即可
【详解】解：如图，连接交于点 ，连接，
因为长方体中， ，
所以四边形为正方形，
所以，，所以 ，
因为平面，所以 ，
因为，所以 平面，
所以为直线与平面所成角，
因为，，所以，
在中，，
所以直线与平面所成角的正弦值为 ，
故选：D

【点睛】此题考查线面角的求法，考查空间想象能力和计算能力，属于基础题
10、D
【解析】圆的圆心，半径
圆的圆心，半径
∴
∴
∴两圆内切
故选D
点睛：判断圆与圆的位置关系的常见方法
(1)几何法：利用圆心距与两半径和与差的关系
(2)切线法：根据公切线条数确定

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、，
【解析】分析：利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和与差的正弦公式将函数化为，利用正弦函数的单调性解不等式，可得到函数的递增区间.
详解：，
，
，
由，
计算得出，
因此函数的单调递增区间为：，
故答案为，.
点睛：本题主要考查三角函数的单调性，属于中档题.函数的单调区间的求法：(1) 代换法：①若,把看作是一个整体，由求得函数的减区间，求得增区间；②若,则利用诱导公式先将的符号化为正，再利用①的方法，或根据复合函数的单调性规律进行求解；(2) 图象法：画出三角函数图象，利用图象求函数的单调区间.
12、
【解析】先将角度转化成弧度制，再利用扇形面积公式计算即可.
【详解】扇形的圆心角为120°，即，故扇形面积.
故答案为：.
13、③⑤
【解析】按照平均数、极差、方差依次分析各序号即可.
【详解】连续7天新增病例数：0，0，0，0，2，6，6，平均数是2<3，①错；
连续7天新增病例数：6，6，6，6，6，6，6，标准差是0<2，②错；
平均数且极差小于或等于2，单日最多增加4人，若有一日增加5人，
其他天最少增加3人，不满足平均数，所以单日最多增加4人，③对；
连续7天新增病例数：0，3，3，3，3，3，6，平均数是3且标准差小于2，④错；
众数等于1且极差小于或等于4，最大数不会超过5，⑤对.
故答案为：③⑤.
14、
【解析】由高和侧棱求侧棱在底面射影长，得底面边长，从而可求得斜高，可得侧面积
【详解】如图，正四棱锥，是高，是中点，则是斜高，
由已知，，则，
是正方形，∴，，，
侧面积侧
故答案为：

【点睛】关键点点睛：本题考查求正棱锥的侧面积．在正棱锥计算中，解题关键是掌握四个直角三角形：如解析中图中，正棱锥的几乎所有量在这四个直角三角形中都有反应
15、
【解析】
由，根据三角函数的诱导公式进行转化求解即可．
详解】，
，
则，
故答案为：．
16、①②
【解析】对于①，如果，则，也就是，所以，进一步计算可以得到该和为，故①正确；对于②，我们把分成四组：，由题设可知不是“闭集”中的元素，其余三组元素中的每组元素必定在“闭集”中同时出现或同时不出现，故所求的“闭集”的个数为，故②正确；对于③，因为在上的最大值为，故在上的最大值为，所以在上的最小值为，在上的最小值为，故③错．综上，填①②
点睛：（1）根据可以得到，因此，这样的共有，它们的和为，依据这个规律可以写出和并计算该和
（2）根据闭集的要求，中每组元素都是同时出现在闭集中或者同时不出现在闭集中，故可以根据子集的个数公式来计算
（3）注意把非奇非偶函数转化为奇函数或偶函数来讨论

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1），函数在上单调递减，证明见解析（2）
【解析】（1）由为奇函数且定义域为R,则,即可求得,进而得到解析式；设,代入解析式中证得即可；
（2）由奇函数,可将问题转化为,再利用单调性可得存在实数,使成立,即为存在实数,使成立,进而求解即可
【详解】解：
（1）为奇函数且定义域为R,
所以,即,所以,
所以,
所以函数在R上单调递减,
设,则

,
因为,所以,即,
所以,
所以,即,
所以函数在上单调递减.
（2）存在实数,使成立.
由题,则存在实数，使成立,
因为为奇函数,所以成立,
又因为函数在R上单调递减,
所以存在实数,使成立,
即存在实数,使成立,
而当时,,
所以的取值范围是
【点睛】本题考查利用函数奇偶性求解析式,考查定义法证明函数单调性,考查已知函数单调性求参数问题,考查转化思想和运算能力
18、（1）见解析； （2）；（3）.
【解析】（1）根据点在函数的图象上得到，于是可得解析式，进而可画出函数的图象；（2）将不等式化成不等式组求解可得所求；（3）结合图象得到的取值范围后再求出的范围
【详解】（1）∵点在函数图象上，
∴，
∴
∴ .
画出函数的图象如下图所示

（2）不等式等价于或
解得，或，
所以原不等式的解集为
（3）∵方程f(x)－2m＝0有两个不相等的实数根，
∴函数的图象与函数的图象有两个不同的交点
结合图象可得，
解得
∴实数的取值范围为
【点睛】（1）本题考查函数图象的画法和图象的应用，根据解析式画图象时要根据描点法进行求解，画图时要熟练运用常见函数的图象
（2）根据方程根的个数（函数零点的个数）求参数的取值时，要注意将问题进行转化两函数图象交点个数的问题，然后画出函数的图象后利用数形结合求解
19、（1）见解析；（2）
【解析】（1）利用函数单调性的定义证明即可；
（2）根据在区间上单调递增，得到，即可解出的集合.
【详解】解：（1）设任意的且，
则

，
且，
，，
即，
即，
即对任意的，当时，都有，
在区间上增函数；
（2）由（1）知：在区间上是增函数；
又，
，
即，
即，
解得：，
即的解集为：.
【点睛】方法点睛：
定义法判定函数在区间上的单调性的一般步骤：
取值：任取，，规定，
作差：计算，
定号：确定的正负，
得出结论：根据同增异减得出结论.
20、（1）
（2）
【解析】（1）根据已知条件，利用判别式小于等于零列不等式可得范围；
（2）根据（1）可得，利用转化分母，把正弦和余弦化为正切值，可得答案.
【小问1详解】
关于x的不等式对恒成立，
所以，解得.
【小问2详解】
由（1）可知，由得
.
21、（1）．（2）见解析;(3)
【解析】(1)根据对数函数的定义,列出关于自变量x的不等式组,求出的定义域;
(2)由函数奇偶性的定义,判定在定义域上的奇偶性;
(3)化简,根据对数函数的单调性以及定义域,求出不等式>1的解集.
试题解析：（1）要使函数有意义．则，
解得.故所求函数的定义域为
（2）由（1）知的定义域为，设，则.
且， 故为奇函数.
（3）因为在定义域内是增函数， 因为，所以，解得.
所以不等式的解集是