山东省聊城市第二中学2025-2026学年数学高二上期末经典试题含解析.doc

山东省聊城市第二中学2025-2026学年数学高二上期末经典试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．当我们停放自行车时，只要将自行车旁的撑脚放下，自行车就稳了，这用到了（）
A.三点确定一平面 B.不共线三点确定一平面
C.两条相交直线确定一平面 D.两条平行直线确定一平面
2．若、且，则下列式子一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
3．已知抛物线的焦点为，为抛物线上一点，为坐标原点，且，则（ ）
A.4 B.2
C. D.
4．已知等差数列的公差，若，，则该数列的前项和的最大值为（ ）
A.30 B.35
C.40 D.45
5．下列关于函数及其图象的说法正确的是（　　）
A.
B.最小正周期为
C.函数图象的对称中心为点
D.函数图象的对称轴方程为
6．算盘是中国古代的一项重要发明．现有一种算盘（如图1），共两档，自右向左分别表示个位和十位，档中横以梁，梁上一珠拨下，记作数字5，梁下五珠，上拨一珠记作数字1（如图2中算盘表示整数51）．如果拨动图1算盘中的两枚算珠，可以表示不同整数的个数为（）

A.8 B.10
C.15 D.16
7．已知椭圆的一个焦点坐标为，则的值为（）
A.1 B.3
C.9 D.81
8．已知E、F分别为椭圆的左、右焦点，倾斜角为的直线l过点E，且与椭圆交于A，B两点，则的周长为
A.10 B.12
C.16 D.20
9．已知直线与直线垂直，则（ ）
A. B.
C. D.
10．若复数满足，则复数对应的点的轨迹围成图形的面积等于（）
A. B.
C. D.
11．设双曲线的实轴长为8，一条渐近线为，则双曲线的方程为（）
A. B.
C. D.
12．下列函数求导错误的是（ ）
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．在1和9之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则中间三个数的积等于 ________ .
14．复数（其中i为虚数单位）的共轭复数______
15．某公司青年、中年、老年员工的人数之比为10∶8∶7，从中抽取100名作为样本，若每人被抽中的概率是0.2，则该公司青年员工的人数为__________
16．如图，某湖有一半径为的半圆形岸边，现决定在圆心O处设立一个水文监测中心（大小忽略不计），在其正东方向相距的点A处安装一套监测设备．为了监测数据更加准确，在半圆弧上的点B以及湖中的点C处，再分别安装一套监测设备，且，．定义：四边形及其内部区域为“直接监测覆盖区域”，设．则“直接监测覆盖区域”面积的最大值为________

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）双曲线的离心率为2，经过C的焦点垂直于x轴的直线被C所截得的弦长为12.
（1）求C的方程；
（2）设A，B是C上两点，线段AB的中点为，求直线AB的方程.
18．（12分）已知直线恒过抛物线的焦点F
（1）求抛物线的方程；
（2）若直线与抛物线交于A，B两点，且，求直线的方程
19．（12分）设，分别是椭圆：的左、右焦点，的离心率为，点是上一点.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线交椭圆E于A，B两点，且，求直线的方程.
20．（12分）已知直线：和：
（1）若，求实数m的值；
（2）若，求实数m的值
21．（12分）求适合下列条件的双曲线的标准方程：
（1）焦点坐标为，且经过点；
（2）焦点在坐标轴上，经过点.
22．（10分）已知数列的前n项和为，满足，
（1）求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；
（2）设，为数列的前n项和，
①求；
②若不等式对任意的正整数n恒成立，求实数的取值范围
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】自行车前后轮与撑脚分别接触地面，使得自行车稳定,此时自行车与地面的三个接触点不在同一条线上.
【详解】自行车前后轮与撑脚分别接触地面，此时三个接触点不在同一条线上,所以可以确定一个平面，即地面，从而使得自行车稳定.
故选B项.
【点睛】本题考查不共线的三个点确定一个平面，属于简单题.
2、B
【解析】构造函数，利用函数在上的单调性可判断AB选项；构造函数，利用函数在上的单调性可判断CD选项.
【详解】对于AB选项，构造函数，其中，则，
所以，函数在上单调递增，
因为、且，则，即，A错B对；
对于CD选项，构造函数，其中，则.
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
故函数在上不单调，无法确定与的大小关系，故CD都错.
故选：B.
3、B
【解析】依题意可得，设，根据可得，，根据为抛物线上一点，可得.
【详解】依题意可得，设，
由得，
所以，，所以，，
因为为抛物线上一点，所以，解得.
故选：B.
【点睛】本题考查了平面向量加法的坐标运算，考查了求抛物线方程，属于基础题.
4、D
【解析】利用等差数列的性质求出公差以及首项，再由等差数列的前项和公式即可求解.
【详解】等差数列，由，有，
又，公差，所以，，得，
，，
∴当或10时，最大，，
故选：D
5、D
【解析】化简，利用正弦型函数的性质，依次判断，即可
【详解】∵

∴，A选项错误；
的最小正周期为，B选项错误；
令，则，故函数图象的对称中心为点，C选项错误；
令，则，所以函数图象的对称轴方程为，D选项正确
故选：D
6、A
【解析】根据给定条件分类探求出拨动两枚算珠的结果计算得解.
【详解】拨动图1算盘中的两枚算珠，有两类办法，
由于拨动一枚算珠有梁上、梁下之分，则只在一个档拨动两枚算珠共有4种方法，在每一个档各拨动一枚算珠共有4种方法，
由分类加法计数原理得共有8种方法，
所以表示不同整数的个数为8.
故选：A
7、A
【解析】根据条件，利用椭圆标准方程中长半轴长a，短半轴长b，半焦距c关系列式计算即得.
【详解】由椭圆的一个焦点坐标为，则半焦距c=2，
于是得，解得，
所以值为1.
故选：A
8、D
【解析】利用椭圆的定义即可得到结果
【详解】椭圆，
可得，
三角形的周长，，
所以：周长，
由椭圆的第一定义，，
所以，周长
故选D
【点睛】本题考查椭圆简单性质的应用，椭圆的定义的应用，三角形的周长的求法，属于基本知识的考查
9、D
【解析】根据互相垂直两直线的斜率关系进行求解即可.
【详解】由，所以直线的斜率为，
由，所以直线的斜率为，
因为直线与直线垂直，
所以，
故选：D
10、D
【解析】利用复数的几何意义，即可判断轨迹图形，再求面积.
【详解】复数满足，表示复数对应的点的轨迹是以点为圆心，半径为3的圆，所以围成图形的面积等于.
故选：D
11、D
【解析】双曲线的实轴长为，渐近线方程为，代入解析式即可得到结果.
【详解】双曲线的实轴长为8，即，，
渐近线方程为，进而得到双曲线方程为.
故选：D.
12、C
【解析】每一个选项根据求导公式及法则来运算即可判断.
【详解】对于A，，正确；
对于B，，正确；
对于C，，不正确；
对于D，，正确.
故选：C

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、27
【解析】设公比为，利用已知条件求出，然后根据通项公式可求得答案
【详解】设公比为，插入的三个数分别为，
因为，所以，得，
所以，
故答案为：27
14、##
【解析】根据共轭复数的概念，即可得答案.
【详解】由题意可知：复数（其中i为虚数单位）的共轭复数，
故答案为：
15、200
【解析】先根据分层抽样的方法计算出该单位青年职工应抽取的人数，进而算出青年职工的总人数.
【详解】由题意，从中抽取100名员工作为样本，需要从该单位青年职工中抽取（人）.因为每人被抽中的概率是0.2，所以青年职工共有（人）.
故答案：200.
16、
【解析】由题意，根据余弦定理得的值，则四边形的面积表示为，再代入面积公式化简为三角函数，根据三角函数的性质求解最大值即可.
【详解】在中，，
，，
，
，则（其中），当时，取最大值，所以“直接监测覆盖区域”面积的最大值.
故答案为：.
【点睛】解答本题的关键是将四边形的面积表示为，代入面积公式后化简得三角函数的解析式，再根据三角函数的性质求解最大值.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）
【解析】（1）根据已知条件求得，由此求得的方程.
（2）结合点差法求得直线的斜率，从而求得直线的方程.
【小问1详解】
因为C的离心率为2，所以，
可得.将代入
可得，由题设.解得，
，，
所以C的方程为.
【小问2详解】
设，，则，.
因此，即.
因为线段AB的中点为，所以，
，从而，于是直线AB的方程是.
18、（1）
（2）或
【解析】（1）把直线化为，得到抛物线的焦点为，求得，即可求得抛物线的方程；
（2）联立方程组，得到，，结合，列出方程求得的值，即可求得直线的方程
【小问1详解】
解：将直线化为，可得直线恒过点，
即抛物线的焦点为，所以，解得，
所以抛物线的方程为
【小问2详解】
解：由题意显然,联立方程组，整理得，
设，，则，，
因为，
所以

，解得，所以或，
所以直线的方程为或
19、（1）
（2）或
【解析】(1)按照所给的条件带入椭圆方程以及e的定义即可；
（2）联立直线与椭圆方程，表达出，解方程即可.
【小问1详解】
由题意知，，且，解得，，所以椭圆的方程为.
【小问2详解】
由题意知，直线的斜率存在且不为0，故可设直线的方程为，设，.
由得，
则……①，……②，
因为，所以，，
由可得…… ③
由①②③可得，
解得，，
所以直线的方程为或，
故答案为：，或.
20、（1）2（2）或
【解析】（1）易知两直线的斜率存在，根据，由斜率相等求解.
（2）分和，根据，由直线的斜率之积为-1求解.
【小问1详解】
由直线的斜率存在，且为，则直线的斜率也存在，且为，
因为，
所以，
解得或2，
①当时，由此时直线，重合，
②当时，，此时直线，平行，
综上：若，则实数m的值为2
【小问2详解】
①当时，直线斜率为0，此时若必有，不可能.
②当时，若必有，解得，
由上知若，则实数m的值为或
21、（1）；
（2）.
【解析】（1）利用双曲线定义求出双曲线的实轴长即可计算作答.
（2）设出双曲线的方程，利用待定系数法求解作答.
【小问1详解】
因双曲线的焦点坐标为，且经过点，令双曲线实半轴长为a，
则有
，解得，双曲线半焦距，虚半轴长b有，
所以所求双曲线的标准方程为.
【小问2详解】
依题意，设双曲线的方程为：，
于是得，解得：，
所以所求双曲线的标准方程为.
22、（1）证明见解析，
（2）①；②
【解析】（1）由得到，即可得到，从而得证，即可求出的通项公式，从而得到的通项公式；
（2）①由（1）可得，再利用错位相减法求和即可；
②利用作差法证明的单调性，即可得到，即可得到，再解一元二次不等式即可；
【小问1详解】
证明：由，，当时，可得，解得，
当时，，
又，两式相减得，
所以，所以，即，
则数列是首项为，公比为的等比数列；
所以，所以
【小问2详解】
解：①由（1）可得，所以，所以，所以，所以
整理得
②由①知，所以，即单调递增，所以，因为不等式对任意的正整数n恒成立，所以，即，解得或，即