广东省深圳市罗湖区罗湖外国语学校2026届数学高二上期末学业质量监测试题含解析.doc

广东省深圳市罗湖区罗湖外国语学校2026届数学高二上期末学业质量监测试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在数列中，，，则（）
A.985 B.1035
C.2020 D.2070
2．有这样一道题目：“戴氏善屠，日益功倍.初日屠五两，今三十日屠讫，向共屠几何？”其意思为：“有一个姓戴的人善于屠肉，每一天屠完的肉是前一天的2倍，第一天屠了5两肉，共屠了30天，问一共屠了多少两肉？"在这个问题中，该屠夫前5天所屠肉的总两数为（）
A.35 B.75
C.155 D.315
3．已知F1(-5，0)，F2(5，0)，动点P满足|PF1|-|PF2|=2a，当a为3和5时，点P的轨迹分别为( )
A.双曲线和一条直线 B.双曲线和一条射线
C.双曲线的一支和一条直线 D.双曲线的一支和一条射线
4．如图1所示，抛物面天线是指由抛物面（抛物线绕其对称轴旋转形成的曲面）反射器和位于其焦点上的照射器（馈源，通常采用喇叭天线）组成的单反射面型天线，广泛应用于微波和卫星通讯等，具有结构简单、方向性强、工作频带宽等特点.图2是图1的轴截面，，两点关于抛物线的对称轴对称，是抛物线的焦点，是馈源的方向角，记为.焦点到顶点的距离与口径的比为抛物面天线的焦径比，它直接影响天线的效率与信噪比等.若馈源方向角满足，则该抛物面天线的焦径比为（）

A. B.
C. D.2
5．圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0公共弦所在直线方程为（ ）
A. B.
C. D.
6．设、是向量，命题“若，则”的逆否命题是（ ）
A.若，则 B.若，则
C.若，则 D.若，则
7．若，则（　　）
A B.
C. D.
8．若函数f(x)=x2+x+1在区间内有极值点,则实数a的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
9．已知平面上两点，则下列向量是直线的方向向量是（）
A. B.
C. D.
10．三棱锥D－ABC中，AC＝BD，且异面直线AC与BD所成角为60°，E、F分别是棱DC、AB的中点，则EF和AC所成的角等于( )
A.30° B.30°或60°
C.60° D.120°
11．设P为椭圆C：上一点，，分别为左、右焦点，且，则（）
A. B.
C. D.
12．设双曲线的实轴长与焦距分别为2,4，则双曲线C的渐近线方程为（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．过点的直线与双曲线交于两点，且点恰好是线段的中点，则直线的方程为___________.
14．一个质地均匀的正四面体，其四个面涂有不同的颜色，抛掷这个正四面体一次，观察它与地面接触的颜色得到样本空间{红，黄，蓝，绿}，设事件{红，黄}，事件{红，蓝}，事件{黄，绿}，则下列判断：①E与F是互斥事件；②E与F是独立事件；③F与G是对立事件；④F与G是独立事件．其中正确判断的序号是______（请写出所有正确判断的序号）
15．已知正项数列的前n项和为，且，则__________，满足不等式的最大整数为__________
16．如图所示，直线是曲线在点处的切线，则__________.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）一个经销鲜花产品的微店，为保障售出的百合花品质，每天从云南鲜花基地空运固定数量的百合花，如有剩余则免费分赠给第二天购花顾客，如果不足，则从本地鲜花供应商处进货.今年四月前10天，微店百合花的售价为每支2元，云南空运来的百合花每支进价1.6元，本地供应商处百合花每支进价1.8元，微店这10天的订单中百合花的需求量（单位：支）依次为：251，255，231，243，263，241，265，255，244，252.

（Ⅰ）求今年四月前10天订单中百合花需求量的平均数和众数，并完成频率分布直方图；
（Ⅱ）预计四月的后20天，订单中百合花需求量的频率分布与四月前10天相同，百合花进货价格与售价均不变，请根据（Ⅰ）中频率分布直方图判断（同一组中的需求量数据用该组区间的中点值作代表，位于各区间的频率代替位于该区间的概率），微店每天从云南固定空运250支，还是255支百合花，四月后20天百合花销售总利润会更大？
18．（12分）在中，，，为边上一点，且
（1）求；
（2）若，求
19．（12分）【阅读材料1】
我们在研究两个变量之间的相关关系时，往往先选取若干个样本点（），（），……，（），将样本点画在平面直角坐标系内，就得到样本的散点图.观察散点图，如果所有样本点都落在某一条直线附近，变量之间就具有线性相关关系，如果所有的样本点都落在某一非线性函数图象附近，变量之间就有非线性相关关系.在统计学中经常选择线性或非线性（函数）回归模型来刻画相关关系，并且可以用适当的方法求出回归模型的方程，还常用相关指数R2来刻画回归的效果，相关指数R2的计算公式为：
当R2越大时，回归方程的拟合效果越好；当R2越小时，回归方程的拟合效果越差，R2是常用的选择模型的指标之一，在实际应用中应该尽量选择R2较大的回归模型.
【阅读材料2】
2021年6月17日9时22分，我国酒泉卫星发射中心用长征二号F遥十二运载火箭，成功将神舟十二号载人飞船送入预定轨道，顺利将聂海胜、刘伯明、汤洪胺3名航天员送入太空，发射取得圆满成功，这标志着中国人首次进入自己的空间站.某公司负责生产的A型材料是神舟十二号的重要零件，该材料应用前景十分广泛，该公司为了将A型材料更好地投入商用，拟对A型材料进行应用改造，根据市场调研与模拟，得到应用改造投入x（亿元）与产品的直接收益y（亿元）的数据统计如下：
序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
x
2
3
4
6
8
10
13
21
22
23
24
25
y
15
22
27
40
48
54
60
68.5
68
67.5
66
65
当0<x≤13时，建立了与的两个回归模型：
模型①:；模型②:；
当x>13时，确定y与x满足的线性回归直线方程为.
根据以上阅读材料，解答以下问题：
（1）根据下列表格中的数据，比较当0<x≤13时模型①，②的相关指数R2的大小，并选择拟合效果更好的模型.
回归模型
模型①
模型②
回归方程

79.13
20.2
（2）当应用改造的投入为20亿元时，以回归直线方程为预测依据，计算公司的收益约为多少.
附：①若最小二乘法求得回归直线方程为，则；
②
③，当时，.
20．（12分）已知函数
（1）求函数在区间上的最大值和最小值；
（2）求出方程的解的个数
21．（12分）已知椭圆的一个焦点是，且离心率.

（1）求椭圆的方程；
（2）设过点的直线交于两点，线段的垂直平分线交轴于点，求的取值范围.
22．（10分）已知数列的前项和为，且．数列是等比数列，，
（1）求，的通项公式；
（2）求数列的前项和
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】根据累加法得，，进而得.
【详解】解：因为
所以，当时，，，……，，
所以，将以上式子相加得，
所以，，.
当时，，满足；
所以，.
所以.
故选：A
2、C
【解析】构造等比数列模型，利用等比数列的前项和公式计算可得结果.
【详解】由题意可得该屠夫每天屠的肉成等比数列，记首项为，公比为，前项和为，
所以，，
因此前5天所屠肉的总两数为.
故选：C.
【点睛】本题考查了等比数列模型，考查了等比数列的前项和公式，属于基础题.
3、D
【解析】由双曲线定义结合参数a的取值分类讨论而得.
【详解】依题意得，当时，，且，点P的轨迹为双曲线的右支；当时，，故点P的轨迹为一条射线.故选D.
故选：D
4、B
【解析】建立平面直角坐标系，利用题设条件得到得点坐标，代入抛物线方程化简即可求解
【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的方程为（）

在中，
则
所以
则
所以，所以
将代入抛物线方程中得

所以或
即或（舍）
当时，
故选：B
5、B
【解析】两圆的方程消掉二次项后的二元一次方程即为公共弦所在直线方程.
【详解】由x2＋y2－4＝0与x2＋y2－4x＋4y－12＝0两式相减
得：，即.
故选：B
6、C
【解析】利用原命题与逆否命题之间的关系可得结论.
【详解】由原命题与逆否命题之间的关系可知，命题“若，则”的逆否命题是“若，则”.
故选：C.
7、D
【解析】直接利用向量的坐标运算求解即可
【详解】因为，
所以，
故选：D
8、C
【解析】若f(x)=x2+x+1在区间内有极值点,
则f'(x)=x2-ax+1在区间内有零点,且零点不是f'(x)的图象顶点的横坐标.
由x2-ax+1=0,得a=x+.因为x∈,y=x+的值域是,
当a=2时,f'(x)=x2-2x+1=(x-1)2,不合题意.
所以实数a的取值范围是,故选C.
9、D
【解析】由空间向量的坐标运算和空间向量平行的坐标表示，以及直线的方向向量的定义可得选项.
【详解】解：因为两点，则，
又因为与向量平行，所以直线的方向向量是，
故选：D.
10、B
【解析】取AD中点为G，连接GF、GE，易知△EFG为等腰三角形，且∠EGF为异面直线AC和BD所成角或其补角，据此可求∠FEG大小，从而得EF和AC所成的角的大小
【详解】如图，

取AD中点为G，连接GF、GE，
易知FG∥BD，GE∥AC，且FG＝，GE＝AC，
故FG＝GE，∠EGF为异面直线AC和BD所成角或其补角，
故∠EGF＝60°或120°
故EF和AC所成角为∠FEG或其补角，
当∠EGF＝60°时，∠FEG＝60°，
当∠EGF＝120°时，∠FEG＝30°，
∴EF和AC所成的角等于30°或60°
故选：B
11、B
【解析】根据椭圆的定义写出，再根据条件即可解得答案.
【详解】根据P为椭圆C：上一点，
则有，
又，所以，
故选：B.
12、C
【解析】由已知可求出，即可得出渐近线方程.
【详解】因为，所以，所以的渐近线方程为.
故选：C.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】设，，，，分别代入双曲线方程，两式相减，化简可得：，结合中点坐标公式求得直线的斜率，再利用点斜式即可求直线方程
【详解】过点的直线与该双曲线交于，两点，
设，，，，
，
两式相减可得：，
因为为的中点，
，，
，
则，
所以直线的方程为，即为
故答案为：
【点睛】方法点睛：对于有关弦中点问题常用“ 点差法”，其解题步骤为：①设点（即设出弦的两端点坐标）；②代入（即代入圆锥曲线方程）；③作差（即两式相减，再用平方差公式分解因式）；④整理（即转化为斜率与中点坐标的关系式），然后求解.
14、②③
【解析】由对立和互斥事件的定义判断①③；由独立事件的性质判断②④.
【详解】{红}，则E与F不是互斥事件；且，则F与G是对立事件；，则E与F是独立事件；，，则F与G不是独立事件
故答案为：②③
15、 ①.## ②.
【解析】由得到，即可得到数列是首项为1，公差为1的等差数列，从而求出，再根据求出，令，利用裂项相消法求出，即可求出的取值范围，从而得解；
【详解】解：由，
令，得，
，解得；
当时，，
即
因此，数列是首项为1，公差为1的等差数列，
，即
所以，
令，
所以，所以，则最大整数为；
故答案为：；；
16、##
【解析】利用直线所过点求得直线的斜率，从而求得.
【详解】由图象可知直线过，
所以直线的斜率为，
所以.
故答案为：

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（Ⅰ）见解析（Ⅱ）四月后20天总利润更大
【解析】（Ⅰ）根据众数的定义直接可求出众为255.利用平均数的公式可以求出平均数．根据给定的分组，通过计算完成频率分布直方图
（Ⅱ）设订单中百合花需求量为（支），由（Ⅰ）中频率分布直方图，可以求出可能取值、每个可能取值相应频率，每个可能取值相应的天数．分别求出空运250支， 255支百合花时，销售总利润的大小，进行比较，得出结论
【详解】解：（Ⅰ）四月前10天订单中百合需求量众数为255，
平均数
频率分布直方图补充如下：

（Ⅱ）设订单中百合花需求量为（支），由（Ⅰ）中频率分布直方图，
可能取值为235，245，255，265，相应频率分别为0.1，0.3，0.4，0.2，
∴20天中相应的天数为2天，6天，8天，4天.
①若空运250支
，当日利润为，
，当日利润为，
，当日利润为，
，当日利润为，
20天总利润为元.
②若空运255支
，当日利润为，
，当日利润为，
，当日利润为，
，当日利润为，
20天总利润为元.
∵，∴每天空运250支百合花四月后20天总利润更大.
【点睛】本题考查了众数、平均数、频率分布直方图；重点考查了学生通过阅读，提取有用信息，用数学知识解决实际生活问题的能力
18、（1）；（2）
【解析】（1）在△中，由余弦定理，即可求.
（2）在中，由正弦定理，即可求.
【详解】（1）在△中，，，，
由余弦定理得：，
∴
（2）在中，，，，
由正弦定理得：，即，
∴
19、（1）模型②拟合效果更好
（2）69.1（亿元）
【解析】（1）分别求出两个模型的相关指数，在进行比较即可，
（2）利用最小二乘法求出回归方程，再求收益即可
【小问1详解】
对于模型①，
因为，故对应的，
故对应的相关指数，
对于模型②，同理对应的相关指数，
故模型②拟合效果更好
【小问2详解】
当时，
后五组的，
由最小二乘法可得，
所以当时，确定y与x满足的线性回归直线方程为
故当投入20亿元时，预测公司的收益约为：（亿元）
20、（1）f(x)的最大值为7，最小值为－33；
（2）见解析.
【解析】(1)求函数f(x)的导数，列表求其单调性即可；
(2)求出函数f(x)的极值即可.
【小问1详解】

0

2

3

+

-

+

f(－2)＝－33
↗
f(0)＝7
↘
f(2)＝－1
↗
f(3)＝7
∴f(x)的最大值为7，最小值为－33；
【小问2详解】

0

2

+

-

+

↗
f(0)＝7
↘
f(2)＝－1
↗
当a＜－1或a＞7时，方程有一个根；
当a＝－1或7时，方程有两个根；
当－1＜a＜7时，方程有三个根.
21、（1）
（2）
【解析】（1）由条件可得，，然后可得答案；
（2）设直线的方程为，，联立直线与椭圆的方程消元，然后算出中点的坐标，然后可得线段的垂直平分线方程，然后可得，然后可求出答案.
【小问1详解】
因为椭圆的一个焦点是，且离心率
所以，，所以
所以椭圆的方程为
【小问2详解】
显然直线的斜率不为0，设直线的方程为，
联立可得，所以
所以中点的纵坐标为，横坐标为
所以线段的垂直平分线方程为
令，可得
当时，
当时，，因为，所以
综上：
22、（1），
（2）
【解析】（1）利用求出通项公式，根据已知求出公比即可得出的通项公式；
（2）利用错位相减法可求解.
【小问1详解】
因为数列的前项和为，且，
当时，，
当时，，满足，
所以，
设等比数列的公比为，
因为，，所以，解得，
所以；
【小问2详解】
因为，
，
则，
两式相减得

，
所以.