2025-2026学年甘肃省岷县第二中学数学高一第一学期期末达标测试试题含解析.doc

2025-2026学年甘肃省岷县第二中学数学高一第一学期期末达标测试试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．如图，在正方体中，分别为的中点，则异面直线和所成角的大小为

A. B.
C. D.
2． “”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分且不必要条件 D.既不充分也不必要条件
3．设为大于1的正数，且，则，，中最小的是
A. B.
C. D.三个数相等
4．已知函数=的图象恒过定点,则点的坐标是
A.( 1,5 ) B.( 1, 4)
C.( 0,4) D.( 4,0)
5．已知圆,圆,则两圆的位置关系为
A.相离 B.相外切
C.相交 D.相内切
6．已知函数，则“”是“函数在区间上单调递增”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
7．若，则　　
A. B.
C. D.
8．若tan α＝2，则的值为（）
A.0 B.
C.1 D.
9．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为

A. B.
C.90 D.81
10．设的两根是，则
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．当时，函数取得最大值，则_______________
12．命题“，”的否定形式为__________________________.
13．______
14．设函数，则当时，的最小值为______；若恰有两个零点，则实数所在的区间是______.
15．已知f（x）=mx3-nx+1（m，n∈R），若f（-a）=3，则f（a）=______
16．设x，．若，且，则的最大值为___
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数
（1）求的值域；
（2）当时，关于的不等式有解，求实数的取值范围
18．（1）已知，求的值.
（2）已知，是第四象限角，，，求.
19．已知函数.
（1）求函数的定义域；
（2）设，若函数在上有且仅有一个零点，求实数的取值范围；
（3）设，是否存在正实数，使得函数在内的最大值为4？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
20．已知函数为偶函数，当时，，（a为常数).
（1）当x<0时，求的解析式：
(2)设函数在[0，5]上的最大值为,求的表达式；
(3)对于（2)中的，试求满足的所有实数成的取值集合.
21．已知实数，定义域为的函数是偶函数，其中为自然对数的底数
（Ⅰ）求实数值；
（Ⅱ）判断该函数在上的单调性并用定义证明；
（Ⅲ）是否存在实数，使得对任意的，不等式恒成立．若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】连DE，交AF于G，根据平面几何知识可得，于是
，进而得．又在正方体中可得底面，于是可得，根据线面垂直的判定定理得到平面，于是，所以两直线所成角为
【详解】如图，连DE，交AF于G

在和中，根据正方体的性质可得，
∴，
∴，
∴，
∴
又在正方体中可得底面，
∵底面，
∴，
又，
∴平面，
∵平面，
∴，
∴异面直线和所成角的大小为
故选D
【点睛】求异面直线所成的角常采用“平移线段法”，将空间角的问题转化为平面问题处理，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．计算异面直线所成的角时通常放在三角形中利用解三角形的方法进行求解，有时也可通过线面间的垂直关系进行求解
2、A
【解析】解指数不等式和对数不等式，求出两个命题的等价命题，进而根据充要条件的定义，可得答案
【详解】“”“”，
“” “”，
“”是“”的充分而不必要条件，
故“”是“”的的充分而不必要条件，
故选：
3、C
【解析】令，则
，
所以，，
对以上三式两边同时乘方，则，，，
显然最小，故选C.
4、A
【解析】令=，得x=1，此时y=5
所以函数=的图象恒过定点(1，5)．选A
点睛：
（1）求函数（且）的图象过的定点时，可令，求得的值，再求得，可得函数图象所过的定点为
（2）求函数（且）的图象过的定点时，可令，求得的值，再求得，可得函数图象所过的定点为
5、A
【解析】利用半径之和与圆心距的关系可得正确的选项.
【详解】圆,即，圆心为(0,3)，半径为1，
圆,即，圆心为(4,0)，半径为3.
.
所以两圆相离，
故选：A.
6、A
【解析】先由在区间上单调递增，求出的取值范围，再根据充分条件，必要条件的定义即可判断.
【详解】解：的对称轴为：，
若在上单调递增，
则，
即，在区间上单调递增，
反之，在区间上单调递增，，
故 “”是“函数在区间上单调递增”的充分不必要条件.
故选：A.
7、D
【解析】利用同角三角函数的基本关系，二倍角的余弦公式把要求的式子化为，把已知条件代入运算，求得结果．
【详解】，，
故选D．
【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角的余弦公式的应用，属于中档题．
8、B
【解析】将目标是分子分母同时除以，结合正切值，即可求得结果.
【详解】＝＝.
故选：
【点睛】本题考查齐次式的化简和求值，属基础题.
9、B
【解析】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的斜四棱柱，
其底面面积为：3×6=18，
前后侧面的面积为：3×6×2=36，
左右侧面的面积为： ，
故棱柱的表面积为：
故选B
点睛：本题考查知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键，由三视图判断空间几何体（包括多面体、旋转体和组合体）的结构特征是高考中的热点问题.
10、D
【解析】详解】解得或或即，
所以
故选D

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】利用三角恒等变换化简函数，根据正弦型函数的最值解得，利用诱导公式求解即可.
【详解】解析：当时，取得最大值（其中），
∴，即，
∴
故答案为：-3.
12、##
【解析】根据全称量词命题的否定直接得出结果.
【详解】命题“”的否定为：
，
故答案为：
13、
【解析】由指数和对数运算法则直接计算即可.
【详解】.
故答案为：.
14、 ①. ②.
【解析】当时得到，令，再利用定义法证明在上单调递减，从而得到，令，，根据指数函数的性质得到函数的单调性，即可求出的最小值，即可得到的最小值；分别求出与的零点，根据恰有两个零点，即可求出的取值范围；
【详解】解：当时，令，，设且，则

因为且，所以，，所以，所以，所以在上单调递减，所以，令，，函数在定义域上单调递增，所以，所以的最小值为；
对于，令，即，解得，对于，令，即，解得或或，因为恰有两个零点，则和一定为的零点，不为的零点，所以，即；
故答案为：；；
15、
【解析】直接证出函数奇偶性，再利用奇偶性得解
【详解】由题意得，
所以，
所以为奇函数，
所以，
所以
【点睛】本题是函数中的给值求值问题，一般都是利用函数的周期性和奇偶性把未知的值转化到已知值上，若给点函数为非系非偶函数可试着构造一个新函数为奇偶函数从而求解
16、##1.5
【解析】由化简得，再由基本不等式可求得，从而确定最大值
【详解】，
，，
，，
，
，
当且仅当时即取等号，
，解得，
故，
故的最大值为，
故答案为：

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）
【解析】（1）由．令，换元后再配方可得答案；
（2）由得，令，转化为时有解的问题可得答案
【小问1详解】
，
令，则，
所以的值域为
【小问2详解】
，即，
令，则，即在上有解，
当时，m无解；当时，可得，
因为，当且仅当时，等号成立，
所以．综上，实数m的取值范围为
18、（1）（2）
【解析】（1）由正余弦的齐次式化为正切即可求值；
（2）由同角的三角函数基本关系及两角和的正弦公式求解.
【详解】（1）
.
（2），是第四象限角，
，
，，
，

19、（1）；（2）；（3）存在，.
【解析】（1）根据对数函数的定义域列不等式求解即可.
（2）由函数的单调性和零点存在定理，列不等式求解即可.
（3）由对勾函数的性质可得函数的单调区间，利用分类讨论的思想讨论定义域与单调区间的关系，再利用函数的最值存在性问题求出实数的值.
【详解】（1）由题意，函数有意义，则满足，解得，
即函数的定义域为.
（2）由，且，
可得，
且为单调递增连续函数，
又函数在上有且仅有一个零点，
所以，即，解得，
所以实数的取值范围是.
（3）由，设，
则，
易证在为单调减函数，在为单调增函数，
当时，函数在上为增函数，所以最大值为，
解得，不符合题意，舍去；
当时，函数在上为减函数，所以最大值为，
解得，不符合题意，舍去；
当时，函数在上减函数，在上为增函数，
所以最大值为或，解得，符合题意，
综上可得，存在使得函数的最大值为4.
【点睛】本题考查了对数函数的定义域问题、零点存在定理、对勾函数的应用，考查了理解辨析的能力、数学运算能力、分类讨论思想和转化的数学思想，属于一般题目.
20、 (1) f(x)＝x2－2ax＋1；（2） ;(3){m| 或 }
【解析】（1）设x<0，则－x>0，所以f(－x)＝(－x)2＋2a(－x)＋1＝x2－2ax＋1,再根据函数的奇偶性化简即得函数的解析式.(2)对a分两种情况讨论，利用二次函数的图像和性质即得的表达式.(3)由题得 或，解不等式组即得解.
【详解】（1）设x<0，则－x>0，所以f(－x)＝(－x)2＋2a(－x)＋1＝x2－2ax＋1.
又因为f(x)为偶函数，所以f(－x)＝f(x)，所以当x<0时，f(x)＝x2－2ax＋1.
（2）当xÎ[0，5]，f(x)＝x2＋2ax＋1，对称轴x＝－a，
①当－a≥ ，即a≤－时，g(a)＝f(0)＝1；
②当－a＜，即a＞－时，g(a)＝f(5)＝10a＋26
综合以上 .
（3）由（2）知，
当a≤－时，g(a)为常函数，当a＞－时，g(a)为一次函数且为增函数
因为g(8m)＝g( )，所以有 或，解得或，
即m的取值集合为{m|或}
【点睛】本题主要考查奇偶函数的解析式的求法,考查函数的最值的求法,考查函数的图像和性质,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
21、（Ⅰ）1；（Ⅱ）在上递增，证明详见解析；（Ⅲ）不存在.
【解析】（Ⅰ）根据函数是偶函数，得到恒成立，即恒成立，进而得到，即可求出结果；
（Ⅱ）任取，且，根据题意，作差得到，进而可得出函数单调性；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知函数在上递增，由函数是偶函数，所以函数在上递减，再由题意，不等式恒成立可化为恒成立，即对任意的恒成立，根据判别式小于0，即可得出结果.
【详解】（Ⅰ）因为定义域为的函数是偶函数，则恒成立，
即，故恒成立，
因为不可能恒为，所以当时， 恒成立，
而，所以
（Ⅱ）该函数在上递增，证明如下
设任意，且，则
，因为，所以，且；
所以，即，即；
故函数在上递增
（Ⅲ）由（Ⅱ）知函数在上递增，而函数是偶函数，则函数在上递减．若存在实数，使得对任意的，不等式恒成立．则恒成立，即，
即对任意的恒成立，
则，得到，故，
所以不存在
【点睛】本主要考查由函数奇偶性求参数，用单调性的定义判断函数单调性，以及由不等式恒成立求参数的问题，熟记函数单调性与奇偶性的定义即可，属于常考题型.